Решение уравнений методом оценки

Одним из направлений функционально-графического метода решения уравнений является метод оценки. В этой статье мы рассмотрим все ситуации, в которых применяется метод оценки, разберем, в чем состоит метод и на чем базируется. Также запишем алгоритмы решения уравнений методом оценки и приведем решения характерных примеров с подробными пояснениями.

Для решения каких уравнений применяется?

Чтобы успешно использовать метод оценки для решения уравнений, нужно отчетливо понимать, для решения каких уравнений он вообще подходит. Стоит отметить два основных признака, которые склоняют к использованию метода оценки для решения уравнений. Первый из них – это отсутствие привычных более простых методов решения. Второй – ограниченность функций (или значений соответствующих выражений), отвечающих частям решаемого уравнения.

На ограниченности стоит остановиться подробнее, так как ограниченность функций, отвечающих частям уравнения, не всегда бывает полезна в плане нахождения решения. Так что есть смысл расписать все наиболее характерные ситуации, в которых применяется метод оценки. Их довольно много, и для их лучшего восприятия целесообразно обращаться к графическим иллюстрациям, соответствующим оценкам значений функций. При этом нужно понимать, что для уравнений, решающихся методом оценки, далеко не всегда есть возможность построить графики функций, отвечающих частям уравнения. Да строить их и не нужно. К графическим иллюстрациям мы обращаемся лишь для того, чтобы иметь представление о том, какие геометрические образы соответствуют полученным оценкам, что очень помогает сделать вывод о корнях решаемого уравнения. Также будем приводить конкретные примеры уравнений, подходящих под каждую ситуацию.

Итак, опишем наиболее характерные ситуации по следующей схеме: вид уравнения, оценки значений его частей, геометрическая интерпретация, пример.

Во-первых, методом оценки могут быть решены уравнения f(x)=C, где C – некоторое число, для которых имеют место следующие оценки:

  1. f(x)<A, где A такое число, что A<C.

    Дадим графическую иллюстрацию этой ситуации. С геометрической точки зрения условия f(x)<A, A<C означают, что график функции y=f(x) располагается ниже прямой y=A, которая располагается ниже прямой y=C. Изобразим это схематично на чертеже:

    Приведем пример уравнения f(x)=C, части которого удовлетворяют условиям f(x)<A, A<C. Таким, например, является уравнение , поскольку для значений выражения имеет место оценка (получению оценок посвящена отдельная статья «Как оценить значения выражения»). В данном случае .
  2. f(x)<C.

    Эту ситуацию иллюстрирует следующий чертеж

    Уравнением f(x)=C, находящимся в согласии с условием f(x)<C, является, например, , поскольку для значений выражения имеет место оценка . Здесь .
  3. f(x)≤A, где A<C.

    Давайте выполним чертеж, отражающий данные условия. Геометрически условия f(x)≤A, A<C означают, что все точки графика функции y=f(x) располагаются не выше прямой y=A, которая располагается ниже прямой y=C. При этом нужно понимать, что при оценке f(x)≤A графики функций y=f(x) и y=A могут иметь общие точки (как в случае sinx≤1), а могут и не иметь общих точек (как в случае sinx+cosx≤2). Это зависит от точности оценки. Таким образом, для иллюстрации оценки f(x)≤A, A<C нужны два рисунка:

    В качестве примера уравнения f(x)=C, для которого f(x)≤A, A<C, приведем уравнение . Значения выражения в его левой части не превосходят , а значение этого выражения меньше, чем 6 (при необходимости смотрите сравнение чисел). Здесь .
  4. f(x)≤C.

    Дадим графическую иллюстрацию. Записанной оценке отвечает график функции y=f(x), все точки которого располагаются не выше прямой y=C.

    В рамках этой ситуации интерес представляют два случая, когда выражение f(x) представляет собой сумму или произведение нескольких выражений, которые по отдельности оцениваются определенным образом. Сейчас мы дадим их подробное описание. Но сначала заметим, что если f(x) не есть сумма или произведение нескольких выражений, то уравнение f(x)=C с оценкой f(x)≤C обычно не представляет интереса в свете его решения методом оценки, так как оно может быть решено при помощи других привычных методов решения. Например, выражение в левой части уравнения оценивается как , но для его решения прибегать к методу оценки не нужно. А вот для решения уравнения с суммой в левой части, которая оценивается как , метод оценки – самое то.

    Метод оценки позволяет решать уравнения f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C, для которых f1(x)≤C1, f2(x)≤C2, …, fn(x)≤Cn и C1+C2+…+Cn=C. Например, таковым является уравнение . Это уравнение вида f1(x)+f2(x)=C, где f1(x)=2sinx, . Значения выражений 2sinx и можно оценить следующим образом: 2sinx≤2, . То есть, f1(x)≤C1 и f2(x)≤C2, где C1=2, C2=1/3. При этом, C1+C2=C, так как .

    Метод оценки подходит для решения уравнений f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=C, для которых значения выражений f1(x), f2(x), …, fn(x) положительные и не превосходят чисел C1, C2, …, Cn соответственно, то есть, 0<f1(x)≤C1, 0<f2(x)≤C2, …, 0<fn(x)≤Cn, и кроме того C1·C2·…·Cn=C. Например, метод оценки позволяет решить уравнение . Это уравнение можно рассматривать как уравнение f1(x)·f2(x)=C, где , , C=5. При этом можно получить оценки и . Значит, значения выражений f1(x) и f2(x) положительные и не превосходят чисел C1=1 и C2=5 соответственно, при этом C1·C2=C, так как 1·5=5.
  5. f(x)>B, где B такое число, что B>C.

    Записанные условия можно интерпретировать так: график функции y=f(x) расположен выше прямой y=B, которая расположена выше прямой y=C. Изобразим это в виде рисунка.

    Приведем пример уравнения, которое имеет вид f(x)=C и для которого f(x)>B, B>C. Например, . Для его левой части имеет место оценка .
  6. f(x)>C.

    Геометрическая интерпретация данной ситуации такова: график функции y=f(x) находится выше прямой y=C.

    Примером уравнения f(x)=С для левой части которого имеет место оценка f(x)>C, выступает . Оно может быть решено с опорой на оценку .
  7. f(x)≥B, где B>C.

    Изобразим соответствующий чертеж. На нем нам нужно изобразить график функции y=f(x), все точки которого расположены выше и на прямой y=B, которая расположена выше прямой y=C.

    Под эти условия попадает, например, уравнение с оценкой его левой части в виде .
  8. f(x)≥C.

    При такой оценке график функции y=f(x) располагается не ниже прямой y=C.

    В данной ситуации интерес представляют два случая, когда выражение в левой части уравнения представляет собой сумму или произведение нескольких выражений. Опишем их.

    Метод оценки подходит для решения уравнений f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C, для которых f1(x)≥C1, f2(x)≥C2, …, fn(x)≥Cn и C1+C2+…+Cn=C. Примером такого уравнения выступает . Действительно. Это уравнение имеет вид f1(x)+f2(x)+f3(x)=C, где f1(x)=x2+2·x, , f3(x)=sinx, C=1. Имеют место оценки x2+2·x≥−1, , sinx≥−1. Значит, в наших обозначениях C1=−1, C2=3, C3=−1, при этом −1+3+(−1)=1, то есть, C1+C2+C3=C.

    Метод оценки подходит для решения уравнений f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=C, для которых f1(x)≥C1, f2(x)≥C2, …, fn(x)≥Cn, где C1, C2, …, Cn – неотрицательные числа и C1·C2·…·Cn=C. Например, этим условиям удовлетворяет уравнение . Это уравнение соответствует структуре f1(x)·f2(x)=C, где , , C=8. При этом имеют место оценки и , то есть, f1(x)≥C1 и f2(x)≥C2, где C1=4, C2=2, причем C1·C2=C, поскольку 4·2=8.

Во-вторых, методом оценки решаются уравнения g(x)=h(x), для которых имеют место следующие оценки:

  1. Значения одного из выражений меньше некоторого числа A, значения другого выражения больше некоторого числа B (пусть g(x)<A, h(x)>B), причем A<B.

    Дадим геометрическую интерпретацию неравенств g(x)<A, h(x)>B, A<B. Первое из них означает, что график функции y=g(x) располагается ниже прямой y=A. Второе означает, что график функции y=h(x) располагается выше прямой y=B. Последнее неравенство означает, что прямая y=A находится ниже, чем прямая y=B. Схематично изобразим все это на чертеже.

    В пример приведем уравнение . На ОДЗ для этого уравнения значения выражения в левой части уравнения меньше, чем , а значения выражения в правой части уравнения больше нуля.
  2. Значения одного из выражений меньше некоторого числа C, значения другого выражения больше некоторого числа C (пусть g(x)<C, h(x)>C).

    Оценки g(x)<C и h(x)>C означают, что график функции y=g(x) расположен ниже прямой y=C, а график функции y=h(x) – выше этой прямой.

    Например, такие оценки соответствуют частям уравнения . Значения выражения в его левой части меньше нуля, а значения выражения в его правой части – больше нуля.
  3. Значения одного из выражений не больше некоторого числа A, значения другого выражения больше некоторого числа B (пусть g(x)≤A, h(x)>B), причем A<B.

    На координатной плоскости этим условиям отвечает следующая картина: график функции y=g(x) расположен не выше прямой y=A, график функции y=h(x) расположен выше прямой y=B, которая находится выше прямой y=A.

    Под этот случай попадает, например, уравнение . Здесь 4·x−x2−5≤−1, 1/x6>0, при этом −1<0.
  4. Значения одного из выражений не больше некоторого числа C, значения другого выражения больше некоторого числа C (пусть g(x)≤C, h(x)>C).

    Геометрической моделью этой ситуации выступают графики функций y=g(x) и y=h(x), первый из которых располагается не выше прямой y=C, а второй – выше этой прямой.

    Примером уравнения, подходящего под этот случай, является . Здесь 4·x−x2−4≤0, 1/x6>0.
  5. Значения одного из выражений меньше некоторого числа A, значения другого выражения не меньше некоторого числа B (пусть g(x)<A, h(x)≥B), причем A<B.

    Разберем, что значат оценки g(x)<A, h(x)≥B и условие A<B в геометрических образах. g(x)<A - график функции y=g(x) расположен ниже прямой y=A, h(x)≥B - график функции y=h(x) расположен не ниже (выше или на) прямой y=B, A<B - прямая y=A находится ниже прямой y=B.

    Вот пример такого уравнения: . Для левой и правой частей этого уравнения можно получить оценки и , при этом условие A<B выполнено, так как 2<3.
  6. Значения одного из выражений меньше некоторого числа C, значения другого выражения не меньше некоторого числа C (будем считать, что g(x)<C, h(x)≥C).

    Оценка g(x)<C означает, что на координатной плоскости график функции y=g(x) расположен ниже прямой y=C. Оценка h(x)≥C означает, что график функции y=h(x) расположен не ниже прямой y=C. Записанным оценкам отвечают два чертежа: на первом чертеже график функции y=h(x) имеет точки, лежащие на прямой y=C, а на втором – не имеет.

    Приведем пример уравнения, попадающего под эту ситуацию: . Для этого уравнения имеем и .
  7. Значения одного из выражений не больше некоторого числа A, значения другого выражения не меньше некоторого числа B (пусть g(x)≤A, h(x)≥B), причем A<B.

    Из оценок g(x)≤A, h(x)≥B и условия A<B понятно, что график функции y=g(x) находится не выше прямой y=A, график функции y=h(x) находится не ниже прямой y=B, при этом прямая y=A находится ниже прямой y=B. При этом графики функций y=g(x) и y=h(x) могут как иметь общие точки с прямыми y=A и y=B соответственно, так и не иметь общих точек с этими прямыми. Поэтому в данной ситуации для иллюстрации нам потребуются четыре чертежа.


    Здесь в пример приведем уравнение . Здесь имеют место оценки sin(2·x)≤1 и , при этом 1<2.
  8. Значения одного из выражений не больше некоторого числа C, значения другого выражения не меньше некоторого числа C (пусть g(x)≤C, h(x)≥C).

    Оценки g(x)≤C, h(x)≥C с геометрической точки зрения означают, что график функции y=g(x) располагается не выше прямой y=C, а график функции y=h(x) располагается не ниже прямой y=C. Всего для схематичного изображения всех возможных вариантов нам потребуется пять рисунков. На первых двух будем считать, что графики функций y=g(x) и y=h(x) имеют общие точки с прямой y=C. При этом сами графики функций y=g(x) и y=h(x) могут иметь общие точки, а могут и не иметь таковых. Пусть на первом рисунке графики функций y=g(x) и y=h(x) имеют одну общую точку, а на втором – не имеют общих точек.

    На двух следующих рисунках изобразим варианты, когда только один из графиков функций y=g(x) и y=h(x) имеет общие точки с прямой y=C.

    Наконец, остался вариант, когда ни один из графиков функций y=g(x) и y=h(x) не имеет общих точек с прямой y=C.

    В этой ситуации в пример приведем уравнение . Для этого уравнения имеют место оценки sin(2·x)≤1 и .

Это основные ситуации, в которых стоит применять метод оценки для решения уравнений. Есть и другие ситуации, когда возможно получить решение методом оценки. Однако их можно свести к перечисленным выше. В частности, это касается уравнений, ОДЗ для которых представляет собой объединение нескольких числовых промежутков, и при этом на каждом отдельно взятом промежутке ОДЗ имеет место одна из перечисленных выше ситуаций. В данном случае следует решить уравнение методом оценки на каждом отдельно взятом числовом промежутке, после чего объединить полученные результаты.

Итак, если на практике при решении уравнения получены оценки, не попадающие под описанные ситуации, то для решения этого уравнения метод оценки почти наверняка не подходит, и нужно искать альтернативный подход к решению. Для примера обратимся к двум уравнениям и . Очевидно, их левые части одинаковые, для их значений имеет место оценка . Первое уравнение попадает под шестую из перечисленных выше ситуаций, значит, это уравнение вполне можно решать методом оценки. А второе уравнение не попадает ни под одну из перечисленных выше ситуаций, значит, для его решения стоит поискать метод, отличный от метода оценки.

К началу страницы

В чем состоит метод оценки и на чем базируется?

Метод оценки состоит в использовании оценок значений выражений, отвечающих частям решаемого уравнения, для обоснования отсутствия решений или для перехода к равносильной системе уравнений.

Очевидно, что во всех описанных в предыдущем пункте ситуациях, кроме трех (для уравнения y=f(x) при оценках f(x)≤C или f(x)≥C и для уравнения g(x)=h(x) при оценках g(x)≤C, h(x)≥C), уравнение однозначно не имеет решений. Оно и понятно: при указанных условиях для уравнения f(x)=C или g(x)=h(x) равенства f(x0)=C и g(x0)=h(x0) являются неверными для любого числа x0 из ОДЗ для соответствующего уравнения. Это же видно и из соответствующих графических иллюстраций: графики не имеют общих точек, что свидетельствует об отсутствии решений уравнения (см. графический метод решения уравнений).

А вот в оставшихся трех ситуациях, то есть, в случае уравнения y=f(x) при оценках f(x)≤C или f(x)≥C (при этом нас интересуют случаи, когда f(x) есть сумма или произведение нескольких выражений f1(x), f2(x), …, fn(x)), и в случае уравнения g(x)=h(x) при оценках g(x)≤C, h(x)≥C, уравнение может иметь решения. Решение уравнений методом оценки в этих случаях проходит через переход к равносильной системе уравнений. Переход осуществляется на основании следующих утверждений:

Утверждение

Уравнение

  • f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C, на ОДЗ для которого f1(x)≤C1, f2(x)≤C2, …, fn(x)≤Cn и C1+C2+…+Cn=C;
  • f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=C, на ОДЗ для которого значения выражений f1(x), f2(x), …, fn(x) положительные и не превосходят чисел C1, C2, …, Cn соответственно, то есть, 0<f1(x)≤C1, 0<f2(x)≤C2, …, 0<fn(x)≤Cn, и кроме того C1·C2·…·Cn=C;
  • f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C, на ОДЗ для которого f1(x)≥C1, f2(x)≥C2, …, fn(x)≥Cn и C1+C2+…+Cn=C;
  • f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=C, на ОДЗ для которого f1(x)≥C1, f2(x)≥C2, …, fn(x)≥Cn, где C1, C2, …, Cn – неотрицательные числа и C1·C2·…·Cn=C

равносильно системе уравнений .

Утверждение

Уравнение g(x)=h(x), на ОДЗ для которого значения одного из выражений f(x) и g(x) не больше некоторого числа C, а значения другого – не меньше числа C (пусть g(x)≤C, h(x)≥C), равносильно системе уравнений .

Похожие утверждения встречаются на страницах школьных учебников, например, [1, c. 217].

К началу страницы

Обоснование

Докажем утверждения из предыдущего пункта.

Первое утверждение докажем лишь для одного вида уравнений. Для остальных трех видов доказательства аналогичны, только используются другие свойства верных числовых неравенств.

Докажем, что уравнение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C, на ОДЗ для которого f1(x)≤C1, f2(x)≤C2, …, fn(x)≤Cn и C1+C2+…+Cn=C, равносильно системе уравнений . Для этого достаточно обосновать, во-первых, что любой корень уравнения f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C при указанных условиях является решением системы , и, во-вторых, что любое решение системы является корнем уравнения. Сделаем это.

Начинаем с первой части. Пусть x0 – корень уравнения f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C, на ОДЗ для которого f1(x)≤C1, f2(x)≤C2, …, fn(x)≤Cn и C1+C2+…+Cn=C. Докажем, что x0 – решение системы .

Так как x0 – корень уравнения, то числовое равенство f1(x0)+f2(x0)+…+fn(x0)=C является верным. Так как на ОДЗ для уравнения выполняются условия f1(x)≤C1, f2(x)≤C2, …, fn(x)≤Cn и C1+C2+…+Cn=C, то они выполняются и для x0, значит, f1(x0)≤C1, f2(x0)≤C2, …, fn(x0)≤Cn и C1+C2+…+Cn=C. Нам известны свойства верных числовых неравенств, в частности, нам известно, что можно складывать верные числовые неравенства одного смысла. Сложив n последних неравенств, имеем верное числовое неравенство f1(x0)+f2(x0)+…+fn(x0)≤C1+C2+…+Cn, которое в силу условия C1+C2+…+Cn=C можно переписать как f1(x0)+f2(x0)+…+fn(x0)≤С. При этом из того же свойства мы знаем, что равенство возможно тогда и только тогда, когда f1(x0)=C1, f2(x0)=C2, …, fn(x0)=Cn. Полученные равенства означают, что x0 – это решение системы .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Пусть x0 –решение системы , и при этом на ОДЗ для уравнения f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C выполняются условия f1(x)≤C1, f2(x)≤C2, …, fn(x)≤Cn и C1+C2+…+Cn=C. Докажем, что x0 – решение уравнения f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C.

Так как x0 – решение системы , то f1(x0)=C1, f2(x0)=C2, …, fn(x0)=Cn - верные числовые равенства. Нам известны свойства верных числовых равенств, одно из них узаконивает их сложение. Сложив последние n равенств, имеем верное числовое равенство f1(x0)+f2(x0)+…+fn(x0)=C1+C2+…+Cn, которое в силу условия C1+C2+…+Cn=C можно переписать в виде f1(x0)+f2(x0)+…+fn(x0)=C. Из полученного равенства следует, что x0 – корень уравнения f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C, что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение из предыдущего пункта. То есть, докажем, что уравнение g(x)=h(x), на ОДЗ для которого g(x)≤C и h(x)≥C, равносильно системе уравнений . Для этого достаточно доказать, во-первых, что любой корень уравнения g(x)=h(x) при условии, что на ОДЗ для этого уравнения g(x)≤C, h(x)≥C, является решением системы , и, во-вторых, что любое решение системы является корнем уравнения g(x)=h(x).

Начинаем с доказательства первой части. Пусть x0 – корень уравнения g(x)=h(x), на ОДЗ для которого g(x)≤C и h(x)≥C. Докажем, что x0 – решение системы .

Так как x0 – корень уравнения g(x)=h(x), на ОДЗ для которого g(x)≤C и h(x)≥C, то g(x0)=h(x0) – верное числовое равенство, а g(x0)≤C и h(x0)≥C – верные числовые неравенства. Два последних неравенства можно разложить на четыре ситуации. Первая: g(x0)=C и h(x0)=C. Вторая: g(x0)=C и h(x0)>C. Третья: g(x0)<C и h(x0)=C. Четвертая: g(x0)<C и h(x0)>C. Очевидно, в первой ситуации x0 – решение системы. В остальных ситуациях равенство g(x0)=h(x0) невозможно, что противоречит тому, что x0 – корень уравнения. То есть, три последних ситуации невозможны. Таким образом, если x0 корень уравнения g(x)=h(x), на ОДЗ для которого g(x)≤C и h(x)≥C, то g(x0)=C и h(x0)=C, откуда следует, что x0 – решение системы .

Теперь обратно. Пусть x0 – решение системы . Докажем, что при этом x0 – корень уравнения g(x)=h(x).

Так как x0 – решение системы , то g(x0)=С и h(x0)=C – верные числовые равенства. Из них в силу свойств верных числовых равенств следует, что g(x0)=h(x0) – верное числовое равенство. А из него следует, что x0 – корень уравнения g(x)=h(x). Что и требовалось доказать.

К началу страницы

Как оценивать значения выражений?

Понятно, что для решения уравнений методом оценки нужны оценки значений соответствующих выражений или отвечающих им функций. Также понятно, что эти оценки не даются в условии вместе с уравнением. Значит, мы должны сами получать нужные нам оценки. Другими словами, мы должны уметь оценивать значения выражений и функций.

Вопрос получения оценок значений выражений и функций довольно обширный. Давайте вынесем его в отдельную статью «Как оценить значение выражения». Там мы разберем основные способы оценивания значений выражений, поговорим о грубых и более точных оценках, и, конечно же, рассмотрим решения характерных примеров.

К началу страницы

Алгоритмы

Изложенная в предыдущих пунктах информация позволяет нам записать два алгоритма решения уравнений методом оценки: для уравнений f(x)=C и для уравнения g(x)=h(x).

Алгоритм решения уравнения f(x)=C методом оценки

  1. Оцениваем значения выражения f(x) (или значения функции y=f(x)). При этом
    • Если

      f(x)<A, где A такое число, что A<C или

      f(x)<C или

      f(x)≤A, где A<C или

      f(x)>B, где B такое число, что B>C или

      f(x)>C или

      f(x)≥B, где B>C,

      то уравнение не имеет решений.
    • Если f(x)≤C или f(x)≥C, то переходим к следующему пункту алгоритма.
    • Если получена оценка, отличная от перечисленных выше, то пробуем уточнить оценку. Если это невозможно или опять получена оценка, отличная от перечисленных выше, то метод оценки не подходит для решения уравнения. Следует поискать другой метод решения.
  2. Если уравнение имеет вид f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=C, причем

    f1(x)≤C1, f2(x)≤C2, …, fn(x)≤Cn и C1+C2+…+Cn=C или

    f1(x)≥C1, f2(x)≥C2, …, fn(x)≥Cn и C1+C2+…+Cn=C,

    или если уравнение имеет вид f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=C, причем

    значения выражений f1(x), f2(x), …, fn(x) положительные и не превосходят чисел C1, C2, …, Cn соответственно, то есть, 0<f1(x)≤C1, 0<f2(x)≤C2, …, 0<fn(x)≤Cn, и кроме того C1·C2·…·Cn=C или

    f1(x)≥C1, f2(x)≥C2, …, fn(x)≥Cn, где C1, C2, …, Cn – неотрицательные числа и C1·C2·…·Cn=C,

    то переходим к системе уравнений .

    Если уравнение имеет другой вид, то есть, если f(x) не есть сумма или произведение нескольких выражений f1(x), f2(x), …, fn(x), то стоит поискать другой метод решения уравнения.
  3. Решаем систему уравнений, составленную на предыдущем шаге. Ее решение есть искомое решение исходного уравнения.

Алгоритм решения уравнения g(x)=h(x) методом оценки

  1. Оцениваем значения выражений g(x) и h(x) (или значения соответствующих функций y=g(x) и y=h(x)) на ОДЗ для решаемого уравнения. При этом
    • Если

      значения одного из выражений меньше некоторого числа A, значения другого выражения больше некоторого числа B, причем A<B или

      значения одного из выражений меньше некоторого числа C, значения другого выражения больше некоторого числа C или

      значения одного из выражений не больше некоторого числа A, значения другого выражения больше некоторого числа B, причем A<B или

      значения одного из выражений не больше некоторого числа C, значения другого выражения больше некоторого числа C или

      значения одного из выражений меньше некоторого числа A, значения другого выражения не меньше некоторого числа B, причем A<B или

      значения одного из выражений меньше некоторого числа C, значения другого выражения не меньше некоторого числа C или

      значения одного из выражений не больше некоторого числа A, значения другого выражения не меньше некоторого числа B, причем A<B,

      то уравнение не имеет решений.
    • Если значения одного из выражений не больше некоторого числа C, значения другого выражения не меньше некоторого числа C, то составляем систему уравнений .
    • Если получены оценки, отличные от перечисленных выше, то попробовать их уточнить. Если это невозможно или уточненные оценки опять отличны от перечисленных выше, то следует поискать другой метод решения.
  2. Решаем систему, составленную на предыдущем шаге. Ее решение есть искомое решение исходного уравнения.

К началу страницы

Примеры решения характерных уравнений

Череду примеров начнем с уравнений, для которых очевидны оценки значений их частей, причем эти оценки обуславливают отсутствие решений.

Обратимся к уравнению . Очевидно, что выражение в левой части уравнения может принимать только неотрицательные значения, так как оно представляет собой степень с четным показателем 6. Другими словами, для значений выражения, находящегося в левой части уравнения, справедлива оценка (x7−3·x4+2x+3)6≥0. Из этого следует, что равенство (x7−3·x4+2·x+3)6=−1 не достигается ни при каком значении переменной. То есть, уравнение не имеет решений. Данное уравнение попадает под седьмую ситуацию из первого пункта этой статьи.

Аналогично очевидные оценки значений частей следующих уравнений , и позволяют прийти к выводу, что эти уравнения не имеют решений.

Так для первого уравнения имеет место оценка , ведь корень четной степени по определению есть неотрицательное число, из которой следует, что равенство не достигается ни при каком значении переменной x. Значит, уравнение не имеет решений. Это уравнение также попадает под седьмую ситуацию.

Для значений левой части второго уравнения очевидна оценка , ведь мы знаем, что степень положительного числа есть положительное число. Из нее вытекает, что равенство невозможно. Значит, уравнение не имеет решений. Это уравнение соответствует шестой ситуации.

Для уравнения тоже очевидны оценки значений его частей: (известно, что значения синуса лежат в числовом отрезке от −1 до 1, значит, значения синуса минус пи лежат в пределах от −1−π до 1−π, что следует из свойств числовых неравенств) и (мы знаем, что степень любого положительного числа с показателем −2/3 есть число положительное). Из этих оценок следует, что уравнение не имеет решений. Это уравнение попадает под одиннадцатую ситуацию из первого пункта этой статьи.

Проблема очевидных оценок состоит в том, что они часто оказываются довольно грубыми, и их приходится уточнять, чтобы получить возможность на их основе делать выводы о решении уравнений. Для наглядности рассмотрим уравнение , которое можно решить методом оценки. Очевидной оценкой значений его левой части является . Но она мало что дает в плане решения уравнения. А вот более точная оценка позволяет сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

В рамках метода оценки наиболее интересны случаи, когда уравнение можно заменить равносильной системой уравнений. Это относится к уравнениям, попадающим под четвертую, восьмую и последнюю ситуации из первого пункта. Рассмотрим решения характерных уравнений.

Начнем с решения методом оценки уравнения, в левой части которого находится произведение трех выражений, причем значения этого произведения больше или равны числу, находящемуся в правой части уравнения.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Для закрепления навыков перехода от исходного уравнения к равносильной системе по методу оценки рекомендуем ознакомиться с решением сравнительно сложного уравнения . Его решение разобрано здесь.

Осталось привести пример уравнения, которое решается методом оценки путем перехода от уравнения g(x)=h(x) к равносильной системе . На нем же продемонстрируем тот факт, что часто основная сложность решения уравнений методом оценки заключается именно в получении самих оценок. Для их получения порою приходится использовать чуть ли не весь арсенал средств, перечисленных в статье «Как оценить значения выражения». При этом остальные действия по методу оценки обычно оказываются чисто техническими.

Под сказанное хорошо подходит уравнение . Для получения оценки значений его левой части приходится прибегать к производной, оценить значения правой части позволяет выделение полного квадрата под корнем. В итоге оценки и позволяют перейти к равносильной системе , из которой находится решение. Вот подробное решение этого уравнения.

К началу страницы