Решите иррациональное уравнение

Попробуем решить иррациональное уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Напомним его алгоритм:

• Переходим к более простому уравнению, для чего один или большее число раз выполняем по кругу три следующих действия:
  • Уединяем радикал.
  • Возводим обе части уравнения в одну и ту же степень.
  • Упрощаем вид полученного после возведения в степень уравнения.
• Решаем полученное уравнение.
• Отсеиваем посторонние корни, если раннее мы проводили возведение в четную степень.

Начнем с первого прохода тройки действий – уединим радикал, возведем обе части в степень и упростим полученное уравнение.

Уединение радикала приводит к уравнению .

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, что позволит в дальнейшем избавиться от корня в левой части. Имеем .

Упрощаем вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений. Отталкиваясь от определения корня, заменяем выражение в левой части уравнения тождественно равным ему выражением 2·x+1, это дает уравнение . Что касается дальнейшего упрощения вида уравнения, то целесообразно по одному из свойств корней вторую степень отправить под кубический корень, то есть, перейти к уравнению .

Как видно, первый проход цикла тройки действий (уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень и упрощение вида уравнения) позволил избавиться от одного корня, но остался еще один корень. Чтобы избавиться от него, еще раз выполним три уже упомянутых действия.

Радикал у нас уже уединен в правой части. Переходим к возведению в степень.

Степень корня равна трем, поэтому обе части возведем в третью степень: .

Упростим вид полученного уравнения. Для этого заменим выражение в правой части уравнения тождественно равным ему выражением (x+1)², получим (2·x+1)³=(x+1)². После этого перенесем это выражение в левую часть: (2·x+1)³−(x+1)²=0. Дальше воспользуемся формулами сокращенного умножения квадрат суммы и куб суммы, раскроем скобки, а также сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
8·x³+12·x²+6·x+1−(x²+2·x+1)=0,
8·x³+12·x²+6·x+1−x²−2·x−1=0,
8·x³+(12·x²−x²)+(6·x−2·x)+(1−1)=0,
8·x³+11·x²+4·x=0.

Так мы получили кубическое уравнение. В еще одном проходе тройки действий нет необходимости, так как полученное уравнение не содержит корней, и мы знаем, как решать кубические уравнения. Поэтому, переходим ко второму этапу алгоритма – решению полученного уравнения.

Для решения полученного кубического уравнения подходит метод разложения на множители. После вынесения за скобки переменной x, уравнение принимает вид x·(8·x²+11·x+4)=0, а оно равносильно совокупности двух уравнений x=0 и 8·x²+11·x+4=0. Отсюда первый корень уравнения очевиден: x₁=0. Остальные корни найдем, решив квадратное уравнение 8·x²+11·x+4=0. Вычисляем дискриминант D=11²−4·8·4=121−128=−7, он отрицательный, следовательно, квадратное уравнение не имеем действительных корней. Таким образом, кубическое уравнение 8·x³+11·x²+4·x=0 имеет единственный корень x₁=0.

Остался последний этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае этот этап необходим, так как найденный корень может оказаться посторонним для решаемого иррационального уравнения. Причин для этого две. Первая - выше мы проводили возведение обеих частей уравнения квадрат, а, как известно, это преобразование может привести к появлению посторонних корней. Вторая – мы переходили от уравнения к уравнению , при таком переходе происходит расширение ОДЗ, а это может привести к появлению посторонних корней. Итак, отсеем посторонние корни. Сделаем это через проверку подстановкой. Подставляем x₁=0 в исходное уравнение:

Так как подстановка дала верное числовое равенство, то x₁=0 – корень исходного уравнения. Других корней уравнение не имеет.

Замечание.

На первом этапе мы избавлялись от корней по очереди, в два приема, сначала от квадратного, затем - от кубического. При этом нам пришлось два раза проходить цикл из трех действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида. Но можно было избавиться сразу от обоих радикалов, прибегнув к одному возведению в степень. В какую именно степень? Несложно догадаться, что в шестую, или в двенадцатую, или в восемнадцатую, и т.д., то есть, в любую степень, равную кратному показателей корней. Целесообразно брать наименьшее общее кратное (НОК), так как это дает наиболее простое уравнение из возможных. В нашем случае НОК(2, 3)=6, поэтому, следует выполнять возведение в шестую степень. Покажем, как выглядит решение иррационального уравнения при таком подходе.

0.