Подобные члены многочлена и их приведение.
Многочлены, содержащие в своей записи подобные члены, с помощью тождественных преобразований могут быть приведены к виду, в котором не будет подобных членов. Такое преобразование многочлена называется приведением подобных членов. Ниже мы разберемся, как оно выполняется.
Подобные члены многочлена
Напомним, какие члены многочлена называются подобными. Дадим определение.
Определение.
Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые в записи многочлена.
Итак, подобными членами многочлена являются члены с одинаковой буквенной частью, а также числа без буквенной части. Приведем пример: в многочлене 3·a·b3−3+4·b2−5+a·b3−11 подобными членами являются члены 3·a·b3 и a·b3, а также числа −3, −5 и −11. Вот их то и можно привести.
Как приводить подобные члены?
Так как подобные члены многочлена являются подобными слагаемыми, то и приводить их можно также как приводят подобные слагаемые:
- сначала выполняется группировка подобных членов многочлена;
- после этого общая буквенная часть выносится за скобки;
- наконец, выполняются действия с числами в скобках.
Рассмотрим решения примеров. Начнем с простого примера, на нем легко проследить все действия, которые необходимо выполнить для приведения подобных членов.
Пример.
Выполните приведение подобных членов в многочлене 5·x2−3·x+2·x2.
Решение.
Очевидно, подобными членами являются 5·x2 и 2·x2, сгруппируем их: 5·x2−3·x+2·x2=(5·x2+2·x2)−3·x. После вынесения общего множителя x2 за скобки, получаем выражение x2·(5+2)−3·x. Так как 5+2=7, то x2·(5+2)−3·x=x2·7−3·x, а так как принято числовой коэффициент записывать перед переменными, то полученное выражение перепишем как 7·x2−3·x. На этом приведение подобных членов завершено.
Решение без пояснений может быть оформлено так:
5·x2−3·x+2·x2=(5·x2+2·x2)−3·x=
Ответ:
5·x2−3·x+2·x2=7·x2−3·x.
В многочленах могут быть несколько групп подобных членов.
Пример.
Приведите подобные члены в многочлене 2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z2.
Решение.
В данном многочлене подобными членами являются 2·x, −x, 12·x и 3·x, также 3·x·y и −x·y, и еще −5 и 7. После их группировки приходим к выражению (2·x−x+12·x+3·x)+(3·x·y−x·y)+
Все преобразования, которые мы провели для приведения подобных членов многочлена, удобно представить в виде цепочки равенств:
2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z2=
После того, как все шаги приведения подобных членов будут отработаны до автоматизма, часть действий можно выполнять в уме. При этом решение можно будет оформлять очень кратко. Покажем, как выглядит приведение подобных членов в краткой записи:
2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z2=
Ответ:
2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z2=
В заключение стоит сказать пару слов о том, в чем приведение подобных членов может быть полезно. Понятно, что приведение подобных членов позволяет упрощать вид многочленов. Без приведения подобных членов редко удается обойтись при выполнении действий с многочленами. А иногда приведение подобных членов помогает привести многочлен к стандартному виду.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.