Посторонние корни уравнения, отсеивание посторонних корней

Решение уравнений через переход к уравнениям-следствиям может привести к появлению так называемых посторонних корней. В этой статье мы, во-первых, детально разберем, что такое посторонние корни. Во-вторых, поговорим о причинах их возникновения. И в-третьих, на примерах рассмотрим основные способы отсеивания посторонних корней, то есть, проверки корней на предмет наличия среди них посторонних с целью исключения их из ответа.

Посторонние корни уравнения, определение, примеры

В школьных учебниках по алгебре не дается определение постороннего корня. Там представление о постороннем корне формируется путем описания следующей ситуации: при помощи некоторых преобразований уравнения осуществляется переход от исходного уравнения к уравнению-следствию, находятся корни полученного уравнения-следствия, и осуществляется проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, которая показывает, что некоторые из найденных корней не являются корнями исходного уравнения, эти корни называют посторонними корнями для исходного уравнения [1, с. 174-175; 2, с. 202; 3, с. 187-188].

Отталкиваясь от этой базы, для себя можно принять такое определение постороннего корня:

Определение

Посторонние корни – это корни полученного в результате проведения преобразований уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение и следствие этого уравнения x·(x−1)=0, полученное в результате замены выражения тождественно равным ему выражением x·(x−1). Исходное уравнение имеет единственный корень 1. Уравнение, полученное в результате проведения преобразования, имеет два корня 0 и 1. Значит 0 – это посторонний корень для исходного уравнения.

К началу страницы

Причины возможного появления посторонних корней

Если для получения уравнения-следствия не использовать никакие «экзотические» преобразования, а использовать только основные преобразования уравнений, то посторонние корни могут возникнуть лишь по двум причинам:

  • из-за расширения ОДЗ и
  • из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Здесь стоит напомнить, что расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения в основном происходит

  • При сокращении дробей;
  • При замене нулем произведения с одним или несколькими нулевыми множителями;
  • При замене нулем дроби с нулевым числителем;
  • При использовании некоторых свойств степеней, корней, логарифмов;
  • При использовании некоторых тригонометрических формул;
  • При умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ для этого уравнения;
  • При освобождении в процессе решения от знаков логарифмов.

Пример из предыдущего пункта статьи иллюстрирует появление постороннего корня из-за расширения ОДЗ, которое имеет место при переходе от уравнения к уравнению-следствию x·(x−1)=0. ОДЗ для исходного уравнения есть множество всех действительных чисел, за исключением нуля, ОДЗ для полученного уравнения есть множество R, то есть, ОДЗ расширяется числом нуль. Это число в итоге и оказывается посторонним корнем.

Также приведем пример появления постороннего корня из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Иррациональное уравнение имеет единственный корень 4, а следствие этого уравнения, полученное из него путем возведения обеих частей уравнения в квадрат, то есть, уравнение , имеет два корня 1 и 4. Из этого видно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат привело к появлению постороннего корня для исходного уравнения.

Заметим, что расширение ОДЗ и возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, не всегда приводит к появлению посторонних корней. Например, при переходе от уравнения к уравнению-следствию x=2 ОДЗ расширяется с множества всех неотрицательных чисел до множества всех действительных чисел, но посторонние корни не появляются. 2 – это единственный корень как первого, так и второго уравнения. Также не происходит появления посторонних корней при переходе от уравнения к уравнению-следствию . Единственным корнем и первого, и второго уравнения является x=16. Именно поэтому мы говорим не о причинах появления посторонних корней, а о причинах возможного появления посторонних корней.

К началу страницы

Что такое отсеивание посторонних корней?

Термин «отсеивание посторонних корней» лишь с натяжкой можно назвать устоявшимся, он встречается далеко не во всех учебниках алгебры, но является интуитивно понятным, из-за чего обычно и используется. Что понимают под отсеиванием посторонних корней, становится понятно из следующей фразы: «… проверка – обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»)» [1, с.176].

Таким образом,

Определение

Отсеивание посторонних корней – это обнаружение и отбрасывание посторонних корней.

Теперь можно переходить к способам отсеивания посторонних корней.

К началу страницы

Способы отсеивания посторонних корней

Проверка подстановкой

Основной способ отсеивания посторонних корней – это проверка подстановкой. Он позволяет отсеять посторонние корни, которые могли возникнуть и по причине расширения ОДЗ, и по причине возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Проверка подстановкой состоит в следующем: найденные корни уравнения-следствия по очереди подставляются в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение, те из них, которые дают верное числовое равенство, являются корнями исходного уравнения, а те, которые дают неверное числовое равенство или выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Покажем на примере, как проводится отсеивание посторонних корней через подстановку в исходное уравнение.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

В некоторых случаях отсеивание посторонних корней целесообразнее проводить другими способами. Это относится в основном к тем случаям, когда проверка подстановкой связана со значительными вычислительными трудностями или когда стандартный способ решения уравнений какого-то определенного вида предполагает другой проверки (например, отсеивание посторонних корней при решении дробно-рациональных уравнений проводится по условию не равенства нулю знаменателя дроби). Разберем альтернативные способы отсеивания посторонних корней.

К началу страницы

По ОДЗ

В отличие от проверки подстановкой, отсеивание посторонних корней по ОДЗ уместно не всегда. Дело в том, что этот способ позволяет отсеивать лишь посторонние корни, возникающие по причине расширения ОДЗ, и он не гарантирует отсеивание посторонних корней, которые могли возникнуть по другим причинам, например, из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Более того, не всегда просто отыскать ОДЗ для решаемого уравнения. Тем не менее, способ отсеивания посторонних корней по ОДЗ стоит держать на вооружении, так как часто его использование требует меньших вычислительных работ, чем использование других способов.

Отсеивание посторонних корней по ОДЗ проводится следующим образом: все найденные корни уравнения-следствия проверяются на предмет принадлежности области допустимых значений переменной для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения, те из них, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те из них, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Анализ приведенной информации приводит к выводу, что отсеивание посторонних корней по ОДЗ целесообразно проводить, если единовременно:

  • легко находится ОДЗ для исходного уравнения,
  • посторонние корни могли возникнуть только по причине расширения ОДЗ,
  • проверка подстановкой связана со значительными вычислительными сложностями.

Покажем, как проводится отсеивание посторонних корней, на практике.

Пример

Решите логарифмическое уравнение .

Смотреть решение

К началу страницы

По условиям ОДЗ

Как мы сказали в предыдущем пункте, если посторонние корни могли возникнуть лишь по причине расширения ОДЗ, то их можно отсеять по ОДЗ для исходного уравнения. Но не всегда просто найти ОДЗ в виде числового множества. В таких случаях можно проводить отсеивание посторонних корней не по ОДЗ, а по условиям, определяющим ОДЗ. Разъясним, как проводится отсеивание посторонних корней по условиям ОДЗ.

Найденные корни по очереди подставляются в условия, определяющие ОДЗ для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения. Те из них, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями уравнения. А те из них, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию или дают не имеющее смысла выражение, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Приведем пример отсеивания посторонних корней по условиям ОДЗ.

К началу страницы

Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень

Понятно, что отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, можно осуществить путем подстановки в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Но такая проверка может быть связана со значительными вычислительными трудностями. На этот случай стоит знать альтернативный способ отсеивания посторонних корней, о котором мы сейчас и поговорим.

Отсеивание посторонних корней, которые могут возникнуть при возведении в одну и ту же четную степень обеих частей иррациональных уравнений вида , где n – некоторое четное число, можно проводить по условию g(x)≥0. Это вытекает из определения корня четной степени: корень четной степени n есть неотрицательное число, n-ая степень которого равна подкоренному числу, откуда . Таким образом, озвученный подход представляет собой своего рода симбиоз метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метода решения иррациональных уравнений по определению корня. То есть, уравнение , где n –четное число, решается методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а отсеивание посторонних корней выполняется по условию g(x)≥0, взятому из метода решения иррациональных уравнений по определению корня.

Покажем, как на практике отсеиваются посторонние корни указанным способом.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

В заключение скажем, что рассмотренный подход является частным случаем более общего подхода к отсеиванию посторонних корней, возникающих при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Отсеять посторонние корни, которые могут возникнуть при возведении обеих частей уравнения f(x)=g(x) в одну и ту же четную степень, можно по условию . Несомненно, озвученное утверждение нуждается в доказательстве. Оставим это Вам.

Приведем пример отсеивания посторонних корней предложенным способом. Возьмем уравнение , «сделанное» из только что решенного уравнения. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат и некоторые дальнейшие преобразования позволяют найти корни и . Проведем отсеивание посторонних корней по условию , которое в нашем случае таково

Подстановка в неравенство корня дает

Полученное неравенство верное, так как в числителе положительное число, а в знаменателе – отрицательное, поэтому, отношение этих чисел есть отрицательное число. Значит, - корень исходного уравнения.

Подстановка в неравенство корня дает неравенство , которое является неверным, так как отношение двух положительных чисел есть число положительное. Значит, - посторонний корень для решаемого уравнения.

К началу страницы