Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Формулы сокращенного умножения (ФСУ): таблица, формулировки, примеры применения.

Для умножения и возведения в степень чисел и выражений (в частности многочленов) в некоторых случаях могут быть использованы так называемые формулы сокращенного умножения. Из названия понятно, что эти формулы позволяют проводить умножение сокращенно, то есть, быстрее при более компактной записи решения.

В этой статье мы перечислим все основные наиболее часто используемые формулы сокращенного умножения. Для удобства запоминания занесем их в таблицу. Дальше дадим формулировки – они позволят читать формулы сокращенного умножения. После этого остановимся на принципах доказательства этих формул. Наконец, дадим обзор задач, для решения которых применяются формулы сокращенного умножения, и рассмотрим несколько примеров с подробными решениями.

Список формул сокращенного умножения (ФСУ) в виде таблицы

Формулы сокращенного умножения (фсу) изучаются на уроках алгебры в 7 классе после разговора про действия с многочленами и одночленами, при этом рассматриваются 7 основных формул. Перечислим их по порядку в виде списка:

• (a+b)²=a²+2·a·b+b² – так называемая формула квадрата суммы;
• (a−b)²=a²−2·a·b+b² – эта формула имеет название квадрат разности;
• (a+b)³=a³+3·a²·b+3·a·b²+b³ – эта формула представляет собой куб суммы;
• (a−b)³=a³−3·a²·b+3·a·b²−b³ – формула куба разности;
• (a−b)·(a+b)=a²−b²;
• (a+b)·(a^2−a·b+b^2)=a^3+b^3;
• (a−b)·(a²+a·b+b²)=a³−b³.

Под буквами a и b понимаются числа, переменные, или, вообще, любые числовые и буквенные выражения.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой таблица формул сокращенного умножения, которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a²−a·b+b²) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a²+a·b+b²) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество. Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители, ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a²−b²=(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов, a³+b³=(a+b)·(a²−a·b+b²) - формулой суммы кубов, а a³−b³=(a−b)·(a²+a·b+b²) - формулой разности кубов. Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Во-первых, полезной будет формула бинома Ньютона вида , где - биномиальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. С ее помощью можно сокращенно возводить сумму двух выражений в любую натуральную степень. Кстати, ФСУ квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3.

Во-вторых, полезной бывает формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых вида
(a₁+a₂+…+a_n)²=a₁²+a₂²+…+a_n−1²+a_n²+
+2·a₁·a₂+2·a₁·a₃+2·a₁·a₄+…+
+2·a₁·a_n−1+2·a₁·a_n+
+2·a₂·a₃+2·a₂·a₄+…+2·a₂·a_n−1+2·a₂·a_n+
+…+
+2·a_n−1·a_n.

Она читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых a, b и c, имеем (a+b+c)²=a²+b²+c²+2·a·b+2·a·c+2·b·c. В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.

И еще не помешает держать перед глазами формулу разности n-ых степеней двух слагаемых вида aⁿ−bⁿ=
=(a−b)·(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²·b+aⁿ⁻³·b²+…+a·bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹), которую обычно представляют раздельно для четных и нечетных показателей. Для четных показателей 2·m она имеет вид a^2·m−b^2·m=
=(a²−b²)·(a^2·m−2+a^2·m−4·b²+a^2·m−6·b⁴+…+b^2·m−2), а для нечетных показателей 2·m+1 – вид a^2·m+1−b^2·m+1=
=(a−b)·(a^2·m+a^2·m−1·b+a^2·m−2·b²+…+b^2·m). Частными случаями этой формулы являются формулы разность квадратов (при n=2), разность кубов (при n=3) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b).

Как читаются формулы сокращенного умножения?

Чтобы рассказать решение примера, в котором были использованы формулы сокращенного умножения, нужно знать, как эти формулы читаются. Дадим соответствующие формулировки.

Сначала разберемся с принципом чтения формул сокращенного умножения. Это удобнее всего сделать, рассмотрев любую и них, например, первую формулу квадрата суммы вида (a+b)²=a²+2·a·b+b².

В левой ее части находится выражение (a+b)², которое представляет собой квадрат суммы двух выражений a и b, оно так и читается (отсюда понятно и название формулы). Дальше стоит знак равно, он и произносится как равно. В правой части формулы расположена сумма трех слагаемых a², 2·a·b и b². a² и b² – это квадраты первого и второго выражений соответственно, а 2·a·b читается как удвоенное произведение выражений a и b, слово «удвоенное» отвечает числовому коэффициенту 2. Осталось соединить все эти рассуждения в одно предложение, которое будет ответом на вопрос, как читается формула квадрата суммы.

Итак, квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения.

Аналогично читаются и остальные фсу.

Так квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения. Эта формулировка второй фсу вида (a−b)²=a²−2·a·b+b².

Дальше читаем формулу (a+b)³=a³+3·a²·b+3·a·b²+b³. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения.

Аналогично читается и формула куба разности (a−b)³=a³−3·a²·b+3·a·b²−b³. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго выражения минус куб второго выражения.

Переходим к чтению пятой по списку формулы сокращенного выражения (a−b)·(a+b)=a²−b². Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов первого и второго выражений.

А для удобства чтения шестой и, последней, седьмой ФСУ используют термины «неполный квадрат суммы» и «неполный квадрат разности» выражений a и b, которыми называют выражения a²+a·b+b² и a²−a·b+b² соответственно. (В свою очередь выражения a²+2·a·b+b² и a²−2·a·b+b² называют полным квадратом суммы и разности соответственно.)

Итак, произведение суммы двух выражений на их неполный квадрат разности равно сумме кубов этих выражений. Так читается формула (a+b)·(a²−a·b+b²)=a³+b³. И произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равен разности кубов этих выражений, этому утверждению отвечает формула сокращенного умножения вида (a−b)·(a²+a·b+b²)=a³−b³.

Доказательство

Сейчас самое время остановиться на доказательстве формул сокращенного умножения. Доказать их достаточно легко – для этого нужно лишь выполнить возведение в степень или умножение выражений, находящихся в левых частях формул, основываясь на свойствах умножения.

Для примера докажем формулу квадрата разности (a−b)²=a²−2·a·b+b². Возведем разность a−b во вторую степень. Для этого степень заменяем умножением, и выполняем это действие: (a−b)²=(a−b)·(a−b)=
=a·(a−b)−b·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)=
=a²−a·b−b·a+b·b=a²−a·b−a·b+b²=
=a²−2·a·b+b².

Абсолютно аналогично доказывается любая другая из 7 основных формул сокращенного умножения.

Доказательство дополнительных ФСУ можно провести с использованием метода наименьших квадратов.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений. Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений.

И если в 7 классе речь идет о преобразовании целых выражений с помощью формул сокращенного умножения, то в старших классах можно будет видеть применение ФСУ к преобразованию выражений всех других видов – дробных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических и других. К примеру, тождества сокращенного умножения с переставленными частями позволяют представлять выражения в виде степеней или произведений, в частности, выполнять разложение многочленов на множители. Это очень полезно, к примеру, при сокращении алгебраических дробей.

Формулы сокращенного умножения иногда позволяют рационально вычислять значения выражений. В качестве примера покажем, как можно возвести число 79 в квадрат с помощью формулы квадрата разности: 79²=(80−1)²=80²−2·80·1+1²=6 400−160+1=6 241. Такой подход позволяет выполнять подобные вычисления даже устно.

В заключение скажем еще про одно важное преобразование – выделение квадрата двучлена, в основе которого лежит формула сокращенного умножения квадрат суммы. Например, выражение 4·x²+4·x−3 может быть преобразовано к виду (2·x)²+2·2·x·1+1²−4, и первые три слагаемых заменяются с использованием формулы квадратом суммы. Так что выражение принимает вид (2·x+1)²−4. Подобные преобразования широко используются, например, при интегрировании.