Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Тождественно равные выражения: определение, примеры.

Получив представление о тождествах, логично перейти к знакомству с тождественно равными выражениями. В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения являются тождественно равными, а какие – нет.

Что такое тождественно равные выражения?

Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроках алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автора Ю. Н. Макарычев приведена такая формулировка:

Это определение используется вплоть до 8 класса, оно справедливо для целых выражений, так как они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. А в 8 классе определение тождественно равных выражений уточняется. Поясним, с чем это связано.

В 8 классе начинается изучение других видов выражений, которые, в отличие от целых выражений, при некоторых значениях переменных могут не иметь смысла. Это заставляет ввести определения допустимых и недопустимых значений переменных, а также области допустимых значений ОДЗ переменной, и как следствие - внести уточнение в определение тождественно равных выражений.

В данном определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «при всех допустимых значениях входящих в них переменных». Она подразумевает все такие значения переменных, при которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эту мысль разъясним в следующем пункте, рассмотрев примеры.

Определение тождественно равных выражений в учебнике Мордковича А. Г. дается немного иначе:

По смыслу это и предыдущее определения совпадают.

Примеры тождественно равных выражений

Введенные в предыдущем пункте определения позволяют привести примеры тождественно равных выражений.

Начнем с тождественно равных числовых выражений. Числовые выражения 1+2 и 2+1 являются тождественно равными, так как им соответствуют равные значения 3 и 3. Также тождественно равны выражения 5 и 30:6, как и выражения (2²)³ и 2⁶ (значения последних выражений равны в силу свойств степени). А вот числовые выражения 3+2 и 3−2 не являются тождественно равными, так как им соответствуют значения 5 и 1 соответственно, а они не равны.

Теперь приведем примеры тождественно равных выражений с переменными. Таковыми являются выражения a+b и b+a. Действительно, при любых значениях переменных a и b записанные выражения принимают одинаковые значения (что следует из переместительного свойства сложения чисел). К примеру, при a=1 и b=2 имеем a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3. При любых других значениях переменных a и b мы также получим равные значения этих выражений. Выражения 0·x·y·z и 0 тоже тождественно равны при любых значениях переменных x, y и z. А вот выражения 2·x и 3·x не являются тождественно равными, так как, к примеру, при x=1 их значения не равны. Действительно, при x=1 выражение 2·x равно 2·1=2, а выражение 3·x равно 3·1=3.

Когда области допустимых значений переменных в выражениях совпадают, как, например, в выражениях a+1 и 1+a, или a·b·0 и 0, или и , и значения этих выражений равны при всех значениях переменных из этих областей, то тут все понятно – эти выражения тождественно равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Так a+1≡1+a при любых a, выражения a·b·0 и 0 тождественно равны при любых значениях переменных a и b, а выражения и тождественно равны при всех x из промежутка [0, +∞).

Однако области допустимых значений переменных в выражениях могут отличаться. Для примера возьмем выражения x−1 и . Областью допустимых значений переменной x в выражении x−1 является все множество действительных чисел, а ОДЗ переменной x в выражении составляют все действительные числа, кроме нуля (иначе будет нуль в знаменателе, а деление на нуль не определено). «Общей» областью допустимых значений переменной x для обоих выражений является пересечение ОДЗ переменной x в каждом из этих выражений в отдельности.

Таким образом, оба выражения x−1 и имеют смысл при любых действительных значениях переменной x, кроме нуля. Понятно, что в силу основного свойства дроби значения выражений x−1 и равны для любых x≠0. Следовательно, выражения x−1 и тождественно равны на «общей» ОДЗ переменной x, то есть, при всех действительных значениях переменной x, кроме нуля. Отдельно отметим, что нельзя говорить о тождественном равенстве рассматриваемых выражений для любого действительного x.

Особую ценность имеет замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Такая замена называется тождественным преобразованием выражения, эта тема в силу своей важности заслуживают детального рассмотрения в отдельной статье.