Метод разложения на множители, теория, практика

Метод разложения на множители применяется для решения уравнений, в левой части которых находится произведение конечного числа выражений, а в правой – нуль, то есть, для решения уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0, где f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) – некоторые выражения. Например, он подходит для решения уравнений x³·(x²−4)=0, и т.п.

Метод разложения на множители состоит в переходе от решения уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 к решению совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 на области допустимых значений переменной x для исходного уравнения. Поясним на примерах. Согласно методу разложения на множители от решения уравнения x·(x+1)·(x+2)=0 следует перейти к решению совокупности трех уравнений x=0, x+1=0, x+2=0 на ОДЗ для исходного уравнения, которая в данном примере, очевидно, есть множество всех действительных чисел R. Еще пример: решение уравнения можно заменить решением совокупности двух уравнений , на ОДЗ переменной x для исходного уравнения, которая здесь определяется условиями .

Все сказанное в двух предыдущих абзацах полностью согласуется с информацией по теме из школьных учебников, например, с [1, с. 212-213].

В основе метода разложения на множители лежит следующее утверждение:

Докажем его в следующем пункте.

К началу страницы

Обоснуем метод разложения на множители. Для этого достаточно доказать, что любой корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 является корнем совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 и что любой корень совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0, принадлежащий ОДЗ для исходного уравнения, является корнем уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0.

Начнем с доказательства первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0. Докажем, что x₀ является корнем совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0.

Так как x₀ – корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0, то f₁(x₀)·f₂(x₀)·…·f_n(x₀)=0 - верное числовое равенство. Известно, что произведение нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Значит, из равенства f₁(x₀)·f₂(x₀)·…·f_n(x₀)=0 следует, что f₁(x₀)=0, и/или f₂(x₀)=0, и/или …, f_n(x₀)=0. А это означает, что x₀ является корнем хотя бы одного из уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0, а значит, является корнем совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0.

Переходим к доказательству второй части. Пусть x₀ – корень совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0, причем x₀ принадлежит ОДЗ переменной x для уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0. Докажем, что x₀ – корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0.

Так как x₀ принадлежит ОДЗ переменной x для уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0, то запись f₁(x₀)·f₂(x₀)·…·f_n(x₀)=0 имеет смысл. А так как x₀ – корень совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0, то x₀ – корень хотя бы одного из уравнений совокупности, значит, хотя бы одно из числовых равенств f₁(x₀)=0, f₂(x₀)=0, …, f_n(x₀)=0 является верным. Следовательно, f₁(x₀)·f₂(x₀)·…·f_n(x₀)=0 - верное числовое равенство. Из этого вытекает, что x₀ – корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0.

К началу страницы

Сформулированное и доказанное в предыдущих пунктах утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений методом разложения на множители. Чтобы решить уравнение f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 методом разложения на множители, нужно

• Перейти к совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 и найти ее решение,
• Оставить корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, остальные отсеять как посторонние корни.

Стоит кратко пояснить второй шаг алгоритма. Переход от уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 к совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 в общем случае не является равносильным, то есть, среди корней совокупности могут быть корни, посторонние для исходного уравнения. Посторонними корнями для исходного уравнения являются все корни совокупности, выходящие за пределы ОДЗ для исходного уравнения. Именно поэтому алгоритм решения уравнений методом разложения на множители содержит второй шаг, предписывающий оставить лишь корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения. Заметим, что в данной ситуации отсеивание посторонних корней целесообразно проводить либо по ОДЗ (когда ОДЗ несложно найти в виде числового множества), либо по условиям ОДЗ (когда по этим условиям сложно или невозможно найти ОДЗ в виде числового множества).

К началу страницы

Обычно первое знакомство с методом разложения на множители происходит при изучении целых рациональных уравнений. Если в левой части целого рационального уравнения произведение нескольких выражений с переменной, а в правой части – нуль, то оно решается методом разложения на множители. С решением таких уравнений все обстоит особо просто: достаточно перейти к совокупности уравнений и найти ее решение. При этом даже не приходится заботиться об отсеивании посторонних корней, ведь ОДЗ для целых рациональных уравнений есть множество всех действительных чисел. Например, решение уравнения (x−2)·(x+1)=0 сводится к решению совокупности двух уравнений x−2=0 и x+1=0. Решив эти линейные уравнения и объединив их решения, имеем решение исходного уравнения: 2, −1.

Позже изучаются иррациональные уравнения, и обязательно рассматривается решение иррациональных уравнений методом разложения на множители. Дальше идут тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения, и там вновь всплывает метод разложения на множители. Решения соответствующих примеров Вы без труда найдете на данном сайте. Наконец, к концу изучения школьного курса математики мы начинаем понимать, что метод разложения на множители позволяет справляться с уравнениями, в записи которых одновременно присутствуют самые разнообразные функции. Главное, чтобы уравнение имело вид f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0. Давайте решим подобное уравнение.

В заключение заметим, что часто метод разложения на множители требует предварительной подготовки, то есть, приведения уравнения к виду f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0. Например, уравнение сначала нужно привести к виду , а уже после этого действовать по методу разложения на множители. Впрочем, это скорее вопрос преобразования уравнений.