Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень при решении иррациональных уравнений

Продолжаем изучать методы решения иррациональных уравнений. Эта статья посвящена методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Это один из основных методов решения иррациональных уравнений. Здесь мы дадим его суть, приведем обоснование метода, для чего докажем соответствующее утверждение, запишем алгоритм решения иррациональных уравнений, и, конечно же, рассмотрим решения характерных примеров.

Суть метода и его обоснование

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень в основном используется для решения иррациональных уравнений, так как в определенных случаях это преобразование позволяет освободиться от знаков корней. Например, возведение обеих частей уравнения в степень n дает уравнение , которое в дальнейшем можно преобразовать в уравнение f(x)=gn(x), не содержащее корня в левой части. Приведенный пример иллюстрирует суть метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень: при помощи соответствующего преобразования получить более простое уравнение, не имеющее в своей записи радикалов, и через его решение получить решение исходного иррационального уравнения.

Дальнейшее изложение подразумевает наличие у читателя представления о равносильных уравнениях и уравнениях-следствиях.

В основе метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень лежит следующее утверждение:

Утверждение

возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Доказательство

Докажем его для уравнений с одной переменной. Для уравнений с несколькими переменными принципы доказательства те же.

Пусть A(x)=B(x) – исходное уравнение и x0 – его корень. Так как x0 является корнем этого уравнения, то A(x0)=B(x0)верное числовое равенство. Мы знаем такое свойство числовых равенств: почленное умножение верных числовых равенств дает верное числовое равенство. Умножим почленно 2·k, где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0), это нам даст верное числовое равенство A2·k(x0)=B2·k(x0). А полученное равенство означает, что x0 является корнем уравнения A2·k(x)=B2·k(x), которое получено из исходного уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную натуральную степень 2·k.

Для обоснования возможности существования корня уравнения A2·k(x)=B2·k(x), который не является корнем исходного уравнения A(x)=B(x), достаточно привести пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , и уравнение , которое получено из исходного путем возведением его обеих частей в квадрат. Несложно проверить, что нуль является корнем уравнения , действительно, , что то же самое 4=4 - верное равенство. Но при этом нуль является посторонним корнем для уравнения , так как после подстановки нуля получаем равенство , что то же самое 2=−2, которое неверное. Этим доказано, что уравнение, полученное из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень, может иметь корни, посторонние для исходного уравнения.

Так доказано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию.

Остается доказать, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Покажем, что каждый корень уравнения является корнем уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, и обратно, что каждый корень уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, является корнем исходного уравнения.

Пусть перед нами уравнение A(x)=B(x). Пусть x0 – его корень. Тогда является верным числовое равенство A(x0)=B(x0). Изучая свойства верных числовых равенств, мы узнали, что верные числовые равенства можно почленно умножать. Почленно умножив 2·k+1, где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0) получим верное числовое равенство A2·k+1(x0)=B2·k+1(x0), которое означает, что x0 является корнем уравнения A2·k+1(x)=B2·k+1(x). Теперь обратно. Пусть x0 – корень уравнения A2·k+1(x)=B2·k+1(x). Значит числовое равенство A2·k+1(x0)=B2·k+1(x0) - верное. В силу существования корня нечетной степени из любого действительного числа и его единственности будет верным и равенство . Оно в свою очередь в силу тождества , где a – любое действительное число, которое следует из свойств корней и степеней, может быть переписано как A(x0)=B(x0). А это означает, что x0 является корнем уравнения A(x)=B(x).

Так доказано, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень дает равносильное уравнение.

Доказанное утверждение пополняет известный нам арсенал, использующийся для решения уравнений, еще одним преобразованием уравнений – возведением обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Возведение в одну и ту же четную степень обеих частей уравнения является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию, а возведение в нечетную степень – равносильным преобразованием. На этом преобразовании базируется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

К началу страницы

Алгоритм

Помимо общего алгоритма решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, имеет смысл записать еще два алгоритма, определяющих последоватльность действий при решении простейших иррациональных уравнений. Эти алгоритмы являются частными случаями общего алгоритма. Приведем их лишь из тех соображений, что они проще и удобнее в использовании при решении простейших иррациональных уравнений.

Итак, начнем с алгоритма решения простейших иррациональных уравнений с четными показателями корня, то есть, уравнений , где k – натуральное число, f(x) и g(x) – рациональные выражения. Алгоритм решения простейших иррациональных уравнений с нечетными показателями корня, то есть, уравнений , приведем следом. Затем пойдем еще дальше: распространим метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень на более сложные иррациональные уравнения, содержащие корни под знаками корней, несколько знаков корней и т.д., и запишем общий алгоритм.

Алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень:

  • Обе части иррационального уравнения возводятся в одну и ту же четную степень 2·k.
  • Решается полученное уравнение.
    • Если полученное уравнение корней не имеет, то не имеет корней исходное иррациональное уравнение.
    • Если же полученное уравнение имеет корни, то проводится отсеивание посторонних корней.

Из приведенной в предыдущем пункте информации понятно, что после первого шага алгоритма мы придем к уравнению, среди корней которого содержатся все корни исходного уравнения, но которое может иметь и корни, посторонние для исходного уравнения. Поэтому алгоритм содержит пункт про отсеивание посторонних корней.

Алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень:

  • Обе части иррационального уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1.
  • Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Обратите внимание: приведенный алгоритм, в отличие от алгоритма решения простейших иррациональных уравнений с четным показателем корня, не содержит пункта, касающегося отсеивания посторонних корней. Выше мы показали, что возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием уравнения, значит, такое преобразование не приводит к появлению посторонних корней, поэтому нет необходимости в их отсеивании.

Теперь пришло время взглянуть на возведение в одну и ту же степень обеих частей уравнения с общих позиций. Это позволит нам распространить базирующийся на нем метод решения иррациональных уравнений с простейших иррациональных уравнений на иррациональные уравнения более сложного вида. Давайте этим и займемся.

По сути, при решении уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется уже известный нам общий подход: исходное уравнение путем каких-либо преобразований преобразуется в более простое уравнение, оно преобразуется в еще более простое, и так далее, вплоть до уравнения, которое мы в состоянии решить. Понятно, что если в цепочке таких преобразований мы прибегаем к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень, то можно сказать, что мы действуем по одноименному методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Остается лишь разобраться, какие именно преобразования и в какой последовательности нужно проводить для решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Вот общий подход к решению иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

  • Во-первых, нужно перейти от исходного иррационального уравнения к более простому уравнению, чего обычно позволяет добиться циклическое выполнение следующих трех действий:
    • Уединение радикала (или аналогичные приемы, например, уединение произведения радикалов, уединение дроби, числителем и/или знаменателем которой является корень, позволяющие при последующем возведении обеих частей уравнения в степень избавиться от корня).
    • Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
    • Упрощение вида уравнения.
  • Во-вторых, нужно решить полученное уравнение.
  • Наконец, если в процессе решения были переходы к уравнениям-следствиям (в частности, если проводилось возведение обеих частей уравнения в четную степень), то нужно отсеять посторонние корни.

Теперь можно рассмотреть, как записанные алгоритмы реализуются на практике.

К началу страницы

Примеры решения уравнений

Начнем с решения несложного и довольно типичного иррационального уравнения, возведение обеих частей которого в квадрат приводит к квадратному уравнению, не имеющему корней.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Вот пример, в котором все корни уравнения, полученного из исходного иррационального уравнения путем возведения его обеих частей в квадрат, оказываются посторонними для исходного уравнения. Вывод: оно не имеет корней.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Следующий пример чуть сложнее. Его решение, в отличие от двух предыдущих, требует возведения обеих частей уже не в квадрат, а в шестую степень, и это приведет уже не к линейному или квадратному уравнению, а к кубическому уравнению. Здесь проверка нам покажет, что все три его корня будут корнями иррационального уравнения, заданного изначально.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

А здесь пойдем еще дальше. Для избавления от корня придется возводить обе части иррационального уравнения в четвертую степень, что в свою очередь приведет к уравнению четвертой степени. Проверка покажет, что лишь один из четырех потенциальных корней будет искомым корнем иррационального уравнения, а остальные будут посторонними.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Три последних примера являются иллюстрацией следующего утверждения: если при возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же четную степень получается уравнение, имеющее корни, то последующая их проверка может показать, что

  • либо все они являются посторонними корнями для исходного уравнения, и оно не имеет корней,
  • либо среди них вообще нет посторонних корней, и все они являются корнями исходного уравнения,
  • либо посторонними являются лишь некоторые из них.

Пришло время перейти к решению простейших иррациональных уравнений с нечетным показателем корня, то есть, уравнений . Здесь напомним, что при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень не требуется проводить отсеивание посторонних корней.

Знание этого факта позволяет на законных основаниях не проводить отсеивание посторонних корней при решении иррационального уравнения . Тем более в данном случае проверка связана с «неприятными» вычислениями. Посторонних корней и так не будет, так как проводится возведение в нечетную степень, а именно в куб, что является равносильным преобразованием. Понятно, что проверку можно и выполнить, но больше для самоконтроля, чтобы дополнительно убедиться в правильности найденного решения.

Пример

Решить иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Переходим к решению еще более сложных иррациональных уравнений, отличных от простейших. Здесь нам придется использовать общий алгоритм.

Решим пример, в котором уединение радикала приводит иррациональное уравнение к простейшему виду, после чего остается выполнить возведение обеих частей в квадрат, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни при помощи проверки.

Пример

Решить иррациональное уравнение , пользуясь возведением обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Следующее иррациональное уравнение может быть решено путем уединения дроби с радикалом в знаменателе, избавиться от которого позволяет последующее возведение в квадрат обеих частей уравнения. А дальше все просто: решается полученное дробно-рациональное уравнение и делается проверка, исключающая попадание в ответ посторонних корней.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Довольно характерными являются иррациональные уравнения, в записи которых присутствуют два корня. Они обычно с успехом решаются методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Если корни имеют одинаковую степень, и кроме них нет других слагаемых, то для избавления от радикалов достаточно уединить радикал и выполнить возведение в степень один раз, как в следующем примере.

Пример

Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

А вот пример, в котором также два корня, помимо них также нет никаких слагаемых, но степени корней различны. В этом случае после уединения радикала целесообразно возводить обе части уравнения в степень, освобождающую от обоих радикалов сразу. В качестве такой степени выступает, например, наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней. В нашем случае степени корней равны 2 и 3, НОК(2, 3)=6, поэтому, мы будем возводить обе части в шестую степень. Заметим, что можно действовать и по стандартному пути, но в этом случае нам придется дважды прибегать к возведению обеих частей в степень: сначала во вторую, затем в третью. Покажем оба способа решения.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

В более сложных случаях, решая иррациональные уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, к возведению в степень приходится прибегать два раза, реже – три раза, еще реже - большее число раз. Первое иррациональное уравнение, иллюстрирующее сказанное, содержит в записи два радикала и еще одно слагаемое.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Решение следующего иррационального уравнения тоже требует двух последовательных возведений в степень. Если не забывать уединять радикалы, то двух возведений в степень достаточно, чтобы избавиться от трех присутствующих в его записи радикалов.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Метод возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень позволяет справляться и с иррациональными уравнениями, в которых под корнем, содержится еще один корень. Вот решение характерного примера.

Пример

Решите иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень .

Смотреть решение

Наконец, прежде чем переходить к разбору следующих методов решения иррациональных уравнений, нужно обязательно отметить тот факт, что возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень может в результате дальнейших преобразований дать уравнение, имеющее бесконечное множество решений. Уравнение, имеющее бесконечно много корней, получается, например, в результате возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения и последующего упрощения вида полученного уравнения. При этом по понятным причинам мы не имеем возможности выполнить проверку подстановкой. В таких случаях приходится либо прибегать к другим способам проверки, либо отказаться от метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в пользу другого метода решения, например, в пользу метода, предполагающего переход от иррационального уравнения к уравнению с модулем.

Мы рассмотрели решения наиболее характерных иррациональных уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Изученный общий подход позволяет справиться и с другими уравнениями, если для них вообще подходит этот метод решения.

Можно продолжать изучение методов решения иррациональных уравнений. Следующий по очереди - метод введения новой переменной.

К началу страницы