Математика на cleverstudents.ru

Системы, решение систем уравнений и неравенств

Совокупности уравнений, неравенств, систем и т.п.

Вообще в школьных учебниках алгебры о совокупностях информации очень мало. Про совокупности упоминается лишь вскользь, да и то в старших классах. С нашей точки зрения это не очень справедливо хотя бы потому, что использование совокупностей довольно удобно при оформлении решений уравнений, неравенств и их систем. Давайте восполним этот пробел.

Ниже представлен материал, дающий общее представление о совокупностях уравнений, неравенств, систем и их всевозможных комбинаций. Здесь вы найдете определения совокупностей и их решений, принятые обозначения, а также поясняющие примеры.

Что такое совокупность уравнений, неравенств, систем?

Сразу скажем, что если у Вас сформировано четкое представление о системах уравнений и системах неравенств, то определения совокупностей воспримутся очень легко. Прочитав их, Вы сразу почувствуете, будто уже их встречали.

Информация из учебников [1, с. 24; 2, с. 129; 3, с. 64-65] позволяет записать следующее определение совокупности уравнений:

Давайте проведем параллель между системами и совокупностями. Системы записывают с помощью фигурной скобки, а совокупности – с помощью квадратной, системы обозначают множество решений, которые являются решениями каждого уравнения системы, а совокупности – множество решений, которые являются решениями хотя бы одного уравнения совокупности.

Для наглядности приведем примеры совокупностей уравнений: , .

Здесь заметим, что в школе при записи совокупностей часто не используют квадратную скобку, а просто перечисляют через запятую составляющие этой совокупности. Так последняя совокупность из предыдущего абзаца может быть записана как x+y²+z⁴=0, x·y·z=0, z=5.

Аналогично определяется и совокупность неравенств:

Это определение находится в согласии с описанием совокупностей неравенств, приведенным в учебнике Мордковича [1, с. 222].

Вот пример совокупности неравенств .

При описании совокупностей при надобности можно уточнять число составляющих их уравнений и неравенств, число переменных и вид уравнений и неравенств. К примеру, совокупность из предыдущего абзаца – это совокупность двух неравенств с одной переменной x, причем составляющие ее неравенства – целые рациональные первой степени.

Под знак совокупности можно поместить не только уравнения или неравенства по отдельности. Есть смысл рассматривать, например, совокупность уравнения и двух неравенств, неравенства и системы уравнений, совокупность двух систем неравенств и т.п. При этом главное сохранять смысл, заключающийся в совокупности, - она означает множество решений, являющихся решением хотя бы одного объекта совокупности.

Для примера приведем совокупность двух систем неравенств и совокупность такого вида .

Что называется решением совокупности?

К совокупностям непосредственно относятся их решения. Дадим определения решений совокупностей с одной переменной, а также с двумя, тремя и большим числом переменных.

Например, если речь идет о совокупности уравнений с одной переменной, то решение совокупности – это значение переменной, которое является решением хотя бы одного составляющего ее уравнения. Так x=3 – это решение совокупности неравенств , так как 3 является решением первого неравенства. А вот нуль не является решением записанной совокупности, так как это значение не является решением ни одного неравенства совокупности, действительно, 0>1 и 0²≥4·0+2 – неверные числовые неравенства.

В качестве примера рассмотрим следующую совокупность . Пара значений (3, 0) есть решение этой совокупности, так как она является решением системы , потому что 3+0>0 и 3≥3 - верные неравенства. А пара значений x=−1, y=2 не является решением совокупности, так как она не является решением ни уравнения x²+y²=4, ни системы неравенств .

Иногда используются термины «частное решение совокупности» и «общее решение совокупности». Под частным решением совокупности понимают одно отдельно взятое решение, а общим решением называют множество всех частных решений совокупности. Но чаще говорят просто о решении совокупности, а уже из контекста черпают дополнительную информацию, о частном или об общем решении идет речь.

В заключение заметим, что из определения совокупности и ее решений следует такой вывод: решение совокупности есть объединение решений всех элементов, составляющих совокупность. А решение систем, напомним, есть пересечение решений всех ее элементов.

Продолжить изучение темы рекомендуем материалом статьи равносильные совокупности.

Некогда разбираться?

Закажите решение