Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, примеры и свойства.
В этой статье всесторонне рассмотрено наименьшее общее кратное (НОК) данных чисел. Сначала дано определение общих кратных, на основании которого дано определение наименьшего общего кратного. После этого введены обозначения НОК, и приведены примеры. Дальше рассмотрена теорема, устанавливающая связь НОК и НОД данных чисел. В заключение показано, как нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел сводится к последовательному вычислению НОК двух чисел.
Общие кратные – определение, примеры
Если знать, что такое кратные числа, то определение общих кратных воспримется очень естественно. Мы будем говорить лишь об общих кратных таких целых чисел, которые отличны от нуля.
Определение.
Общие кратные данных целых чисел – это такие целые числа, кратные всех данных чисел. Другими словами, общим кратным данных целых чисел называется любое целое число, которое делится на каждое из данных чисел.
Определение общих кратных относится как к двум целым числам, так и к трем, и к большему количеству целых чисел. То есть, мы можем говорить об общих кратных двух, трех, четырех и так далее целых чисел.
Приведем примеры общих кратных.
По определению число 12 является общим кратным двух чисел 2 и 3, так как 12 кратно и двум и трем. Число 12 также является общим кратным трех чисел 2, 3 и 4. Это же число 12 есть общее кратное двенадцати чисел: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Все приведенные примеры также имеют место, если вместо 12 взять число −12.
С другой стороны общее кратное двух чисел 2 и 3 это не только число 12, целые числа 6, −24, 72, 468, −100 010 004 также являются общими кратными чисел 2 и 3. Более того, существуют и другие общие кратные чисел 2 и 3.
А вот числа 16, −27, 5 009, 27 001 не являются общими кратными чисел 2 и 3. Действительно, 16 делится на 2, но не делится на 3; число −27 делится на 3, но не делится на 2; а числа 5 009 и 27 001 не делятся ни на 2, ни на 3.
Отдельно отметим, что число нуль является общим кратным любого множества ненулевых целых чисел.
Из свойств делимости следует, что если некоторое целое число s является общим кратным данных чисел, то число −s, также является общим кратным данных чисел, так как множества делителей противоположных чисел s и −s совпадают. То есть, общие делители данных чисел могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Из выше рассмотренных примеров это отчетливо видно.
Нужно еще обговорить два нюанса, которые мы сформулируем в виде вопросов и дадим на них ответы.
Всегда ли существует общее кратное данных целых чисел»? Да, всегда. Покажем это. Пусть нам даны k целых чисел a1, a2, …, ak. Рассмотрим число, равное произведению a1·a2·…·ak. Свойства делимости позволяют утверждать, что это число делится на каждое из чисел a1, a2, …, ak, следовательно, является общим кратным данных чисел.
А сколько всего общих кратных имеют данные целые числа? Ответ на поставленный вопрос таков: данные целые числа имеют бесконечно много общих кратных. Действительно, выше мы показали, что общее кратное данных чисел всегда существует, пусть это число s. Тогда любое из чисел s·z, где z – любое целое число, является общим кратным данных чисел. А так как целых чисел бесконечно много, то и общих кратных данных чисел бесконечно много.
В заключение этого пункта скажем, что можно ограничиться рассмотрением общих кратных лишь целых положительных (то есть, натуральных) чисел. Это не ограничит общности, и связано с тем, что множество кратных данного числа и множество кратных числа, противоположного данному, совпадают (что следует из свойств делимости).
Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры
Среди всех кратных данных чисел особый интерес и особую практическую значимость представляет наименьшее общее кратное (понятие наименьшего числа из данного множества чисел мы ввели, когда изучали сравнение целых чисел). Дадим определение наименьшего общего кратного.
Определение.
Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.
В предыдущем пункте мы сказали, что данные числа всегда имеют общее кратное, причем, если s – общее кратное этих чисел, то и −s, также является общим кратным. Следовательно, наименьшее общее кратное данных чисел всегда существует.
Часто при описании наименьшего общего кратного используют аббревиатуру НОК. Также для краткой записи принято обозначение наименьшего общего кратного чисел a1, a2, …, ak вида НОК(a1, a2, …, ak). Также в математической литературе можно встретить обозначение наименьшего кратного чисел a1, a2, …, ak вида [a1, a2, …, ak].
Приведем примеры наименьших общих кратных. Например, НОК двух целых чисел 5 и 6 равно 30, то есть, НОК(5, 6)=30, а наименьшее общее кратное четырех чисел 2, −12, 15 и −3 равно 60, то есть, НОК(2, −12, 15, −3)=60.
Следует отметить, что в предыдущих примерах далеко не очевидно, что указанные числа являются наименьшими общими кратными соответствующих чисел. Этим мы хотим сказать, что в общем случае не удается сразу сказать, чему равен НОК данных чисел, и приходится провести вычисление наименьшего общего кратного.
Связь между НОК и НОД
Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.
Теорема.
Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b, деленному на наибольший общий делитель чисел a и b, то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).
Доказательство.
Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b. То есть, М делится на a, и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенство M=a·k. Но М делится и на b, тогда a·k делится на b.
Обозначим НОД(a, b) как d. Тогда можно записать равенства a=a1·d и b=b1·d, причем a1=a:d и b1=b:d будут взаимно простыми числами. Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b, можно переформулировать так: a1·d·k делится на b1·d, а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a1·k делится на b1.
В этом случае по свойству взаимно простых чисел, так как a1·k делится на b1, и a1 не делится на b1 (a1 и b1 – взаимно простые числа), то на b1 должно делиться k. Тогда должно существовать некоторое целое число t, для которого k=b1·t, а так как b1=b:d, то k=b:d·t. Подставив в равенство M=a·k вместо k его выражение вида b:d·t, приходим к равенству M=a·b:d·t.
Так мы получили равенство M=a·b:d·t, которое дает вид всех общих кратных чисел a и b. Из того, что a и b числа положительные по условию следует, что при t=1 мы получим их наименьшее положительное общее кратное, которое равно a·b:d. Этим доказано, что НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).
Доказанная связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух данных чисел позволяет найти НОК через НОД.
Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.
-
Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.
Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t.
-
Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.
Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1, следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел
Нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме.
Теорема.
Пусть даны целые положительные числа a1, a2, …, ak, наименьшее общее кратное mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk-1, ak).
Доказательство.
Доказательство базируется на первом следствии из теоремы, разобранной в предыдущем пункте. Общие кратные чисел a1 и a2 совпадают с кратными их НОК, то есть, совпадают с кратными числа m2. Тогда общие кратные чисел a1, a2 и a3 совпадают с общими кратными чисел m2 и a3, следовательно, совпадают с кратными числа m3. И так далее. Общие кратные чисел a1, a2, …, ak совпадают с общими кратными чисел mk-1 и ak, следовательно, совпадают с кратными числа mk. А так как наименьшим положительным кратным числа mk является само число mk, то наименьшим общим кратным чисел a1, a2, …, ak является mk.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Виноградов И.М. Основы теории чисел.
- Михелович Ш.Х. Теория чисел.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.