Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения.

Одним из видов преобразования выражения является раскрытие скобок. В этой статье мы разберемся, что называют раскрытием скобок, подробно опишем правила раскрытия скобок и рассмотрим применение этих правил при решении примеров.

Что называется раскрытием скобок?

Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными бывают составлены с использованием скобок, которые могут указывать порядок выполнения действий, содержать отрицательное число и т.п. Бывает удобно перейти от этого выражения со скобками к тождественно равному выражению, которое уже не содержит этих скобок. К примеру, от выражения 2·(3+4) можно перейти к выражению без скобок вида 2·3+2·4. Этот переход от выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок дает представление о раскрытии скобок.

В школьном курсе математики к раскрытию скобок подходят в 6 классе. На этом этапе под раскрытием скобок понимают избавление от скобок, указывающих порядок выполнения действий. А изучают раскрытие скобок при рассмотрении выражений, которые содержат:

• знаки плюс или минус перед скобками, заключающими суммы и/или разности, например, (a+7) и −(−3+2·a−12−b);
• произведение числа, одной или нескольких букв и суммы и/или разности в скобках, например, 3·(2−7), (3−a+8·c)·(−b) или −2·a·(b+2·c−3·m).

Однако ничто не мешает раскрытие скобок рассматривать немного шире. Почему бы не назвать раскрытием скобок переход от выражения, содержащего отрицательные числа в скобках, к выражению без скобок, например, переход от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7? Или замена произведения выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d противоречит смыслу раскрытия скобок?

Можно пойти еще дальше. Допустим, что в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения. В полученных таким способом выражениях тоже можно проводить раскрытие скобок. Для иллюстрации возьмем выражение , ему соответствует выражение без скобок вида .

Итак, мы под раскрытием скобок будем понимать избавление от скобок, указывающих порядок выполнения действий, а также избавление от скобок, в которые заключены отдельные числа и выражения.

И обратим внимание еще на один момент, касающийся особенностей записи решения при раскрытии скобок. Начальное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, удобно записывать в виде равенства. Например, выражение 3−(5−7) после раскрытия скобок принимает вид 3−5+7, это наглядно отражает равенство 3−(5−7)=3−5+7. При раскрытии скобок в громоздких выражениях возникает необходимость в записи промежуточных результатов, в этом случае решение удобно оформлять в виде цепочки равенств, к примеру, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.

Правила раскрытия скобок, примеры

В предыдущем пункте мы разобрались с тем, что называют раскрытием скобок. Пришло время поговорить о том, как оно выполняется. Для этого существуют правила раскрытия скобок, к обзору которых мы и приступаем.

У одиночных чисел в скобках

В выражениях можно встретить отрицательные числа в скобках, например, (−4) и 3+(−4). Иногда можно встретить и положительные числа в скобках, к примеру, (4) и 3+(4).

Сначала сформулируем правило раскрытия скобок, в которые заключены одиночные положительные числа: пусть a – положительное число, тогда (a) заменяется на a, +(a) заменяется на +a и −(a) заменяется на −a.

Например, число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Это правило продиктовано тем, что положительные числа принято записывать без скобок, скобки в этом случае излишни.

Можно переходить к правилу раскрытия скобок, в которых содержатся одиночные отрицательные числа: +(−a) заменяется на −a, а −(−a) заменяется на +a, если же выражение начинается с отрицательного числа (−a), записанного в скобках, то скобки, содержащие это число, просто опускаются, и вместо (−a) остается −a.

Рассмотрим примеры. Возьмем простейшее выражение, состоящее из одного отрицательного числа в скобках, например, (−5). Его можно записать без скобок как −5. Аналогично, в выражении (−3)+0,5 скобки можно опустить, выражение примет вид −3+0,5. Дальше рассмотрим выражение 4+(−3), для избавления от скобок нам нужно согласно правилу заменить +(−3) на −3, имеем 4−3. Наконец, выражение −(−4)−(−3) после раскрытия скобок примет вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3, а положительное число +4 вначале выражения можно записать без знака плюс (об этом мы упоминали при знакомстве с положительными и отрицательными числами). Для закрепления материала приведем еще один пример. Выражение (−3,7)−(−2)+4+(−9) может быть записано без скобок как −3,7+2+4−9.

Отдельно заметим, что выражение 3·(−5) нельзя записать как 3·−5, так как озвученное правило не говорит нам о том, на что заменяется отрицательное число в скобках со знаком умножить перед ними вида ·(−a). О раскрытии скобок в подобных выражениях мы поговорим в следующих пунктах.

Теперь поясним, на чем базируется приведенное правило раскрытия скобок.

Первая часть правила следует из того, что разность a−b равна a+(−b), так как в силу свойств действий с числами справедлива цепочка равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая в силу смысла вычитания доказывает, что a+(−b) есть ни что иное как разность a−b. Вторая часть правила следует из свойства противоположных чисел, которому соответствует формула −(−a)=a, а также правила вычитания отрицательного числа вида a−(−b)=a+b. Наконец, третья часть правила просто обусловлена особенностями записи отрицательных чисел, стоящих слева в выражении (о чем мы упоминали в разделе скобки для записи отрицательных чисел).

Можно столкнуться с выражениями, составленными из числа, знаков минус и нескольких пар скобок. Приведенные выше правила позволяют избавиться от скобок в них. При этом удобно раскрытие скобок проводить, последовательно продвигаясь либо от внутренних скобок к внешним, либо наоборот – от внешних к внутренним. Для примера раскроем скобки в выражении −(−((−(5)))), для наглядности пары скобок мы изобразили разными цветами. Если раскрывать скобки, продвигаясь от внутренних к внешним, то решение будет таким: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Если двигаться в обратном направлении, то соответствующая цепочка равенств будет иметь вид −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Озвученные в этом пункте правила, можно использовать и в том случае, если под a и b понимать не только числа, а произвольные числовые или буквенные выражения, со знаком плюс впереди, которые не являются суммами или разностями (тогда −a и −b будут аналогичными выражениями, но со знаком минус впереди). Например, выражение −(−2·x)−(x²)+(−1/x)−(2·x·y²:z) после раскрытия скобок примет вид 2·x−x²−1/x−2·x·y²:z. Вот тому пояснение: −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x²)=−x², +(−1/x)=−1/x и −(2·x·y²:z)=−2·x·y²:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Пусть a и b – положительные числа. Тогда произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) заменяется на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменяются на (−a·b).

Иными словами, умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Первая часть записанного правила раскрытия скобок напрямую следует из правила умножения отрицательных чисел. Вторая его часть является следствием правила умножения чисел с разными знаками.

Аналогичное правило справедливо и для частного двух чисел, так как деление можно рассматривать как умножение на обратное число.

Переходим к примерам.

Начнем с примеров раскрытия скобок в произведениях и частных двух отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел −2 и вида можно заменить на , а окончательно раскрыть скобки можно на базе информации предыдущего пункта этой статьи, в итоге имеем . Аналогично, частное отрицательных чисел вида (−4):(−2) без скобок запишется как 4:2.

Вместо отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, не являющиеся суммами или разностями, например, произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п. Для примера, раскроем скобки в выражении . Согласно записанному выше правилу, получаем .

Переходим к примерам раскрытия скобок в произведениях и частных двух чисел с разными знаками. Выражение (−3)·2 по озвученному выше правилу можно записать как (−3·2), оно после окончательного раскрытия скобок примет вид −3·2. Аналогично . Вот еще примеры раскрытия скобок при делении чисел с разными знаками: так (−5):2=(−5:2)=−5:2 и .

Аналогичное правило применяется при умножении и делении выражений, имеющих разные знаки. Например, и .

В произведениях трех и большего количества чисел

Теперь от произведений и частных двух чисел перейдем к произведениям и частным с бо́льшим количеством чисел. Для раскрытия скобок, содержащих отрицательные числа, в таких выражениях следует руководствоваться следующим правилом:

Если количество отрицательных чисел четно, то можно опустить скобки, заменив эти числа противоположными, после чего заключить полученное выражение в новые скобки; если же количество отрицательных чисел нечетно, то нужно опустить скобки, заменить эти числа на противоположные, поставить минус перед полученным выражением и заключить его в скобки.

Например, произведение трех чисел 5·(−3)·(−2) содержит два отрицательных числа, так как 2 – четное число, то по озвученному правилу исходное выражение можно записать как (5·3·2), а после окончательного раскрытия скобок оно примет вид 5·3·2. А выражение (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1) содержит пять отрицательных чисел, 5 – нечетное число, поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1), и после окончательного раскрытия скобок оно будет иметь вид −2,5·3:2·4:1,25:1.

Дадим обоснование приведенного правила. Во-первых, такие выражения можно переписать в виде произведения, заменив деление умножением на обратное число. Дальше каждое отрицательное число можно представить в виде произведения −1 и соответствующего положительного числа, то есть, каждое отрицательное число (−a) можно заменить на (−1)·a. Переместительное свойство умножения позволяет менять множители местами, что дает возможность все множители, равные −1, перенести в начало выражения. Наконец, произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно −1, что объясняет постановку знака минус.

Приведенное выше правило учитывает всю цепочку этих действий и значительно ускоряет процесс раскрытия скобок. Если бы мы его не использовали, то раскрытие скобок в выражении выглядело бы так:

Это же правило позволяет раскрывать скобки в выражениях, представляющих собой произведения и частные выражений со знаком минус, не являющихся суммами и разностями. К примеру, выражение можно привести к выражению без скобок вида .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +

В этом пункте мы запишем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, и эти скобки не умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. О раскрытии скобок, которые умножаются на число или выражение мы поговорим в одном из следующих пунктов.

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс или не стоит никакого знака, таково: скобки вместе с этим знаком опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. При этом если первое слагаемое в скобках записано без знака, то перед ним нужно поставить знак плюс.

Рассмотрим примеры применения этого правила.

Возьмем выражение (12−3,5)−7. Здесь скобки опускаются, знаки слагаемых в скобках сохраняются, а перед первым слагаемым ставится плюс, получаем (12−3,5)−7=+12−3,5−7. Здесь знак плюс перед первым слагаемым можно было не ставить, так как +12−3,5−7=12−3,5−7. Абсолютно аналогично скобки раскрываются в выражении , имеем .

Еще примеры: выражение 3+(−4+7) после раскрытия скобок примет вид 3−4+7, а раскрытие скобок в выражении 3+(4+7) приведет нас к выражению 3+4+7, здесь перед слагаемым 4 мы поставили знак плюс, так как оно является первым слагаемым в скобках и записано в них без знака.

Для закрепления материала покажем еще один пример раскрытия скобок: .

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак −

Переходим к раскрытию скобок, перед которыми стоит знак минус, и которые не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Дадим соответствующее правило.

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: скобки вместе со знаком минус опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

Выше мы уже сталкивались с выражениями вида −(a) и −(−a), которые без скобок записываются как −a и a соответственно. Например, −(3)=3, , и . Это частные случаи озвученного правила.

Теперь рассмотрим примеры раскрытия скобок, когда в них заключены суммы или разности. Например, выражение −(−9+5) после раскрытия скобок примет вид 9−5, здесь мы опустили скобки со знаком минус перед ним, заменив знаки слагаемых на противоположные. Еще пример: 5+2,2−(6−2/3−4,1+11)+2=5+2,2−6+2/3+4,1−11+2.

Это же правило применяется при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, и которые содержат выражения с переменными. Для примера раскроем скобки в выражении с переменными вида , имеем .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

В двух предыдущих пунктах мы говорили о раскрытии скобок, которые не умножаются на какое-либо число или выражение. Сейчас мы как раз перейдем к раскрытию скобок в выражениях, в которых выражение в скобках умножается на число или выражение.

Раскрытие скобок в этих случаях проводится с использованием формул вида (a₁±a₂±…±a_n)·b=(a₁·b±a₂·b±…±a_n·b) или b·( a₁±a₂±…±a_n)=(b·a₁±b·a₂±…±b·a_n), где a₁, a₂, …, a_n и b – некоторые числа или выражения.

Покажем примеры использования этого правила. Раскроем скобки в выражении (3−7)·2. По записанному правилу получаем (3−7)·2=(3·2−7·2), последние выражение по правилу раскрытия скобок, перед которыми не стоит никакого знака, принимает вид 3·2−7·2. Еще пример: возьмем выражение , после раскрытия скобок получаем .

Умножение скобки на скобку

Используя правило из предыдущего пункта, можно получить правило раскрытия скобок при умножении скобки на скобку. Чтобы оно легко воспринялось, рассмотрим произведение двух скобок вида (a₁+a₂)·(b₁+b₂).

Обозначим выражение (b₁+b₂) как b, после чего используем правило умножения скобки на выражение из предыдущего пункта, имеем (a₁+a₂)·(b₁+b₂)=(a₁+a₂)·b=(a₁·b+a₂·b)=a₁·b+a₂·b. Теперь выполним обратную замену b на (b₁+b₂), и снова воспользуемся правилом умножения выражения на скобку:
a₁·b+a₂·b=a₁·(b₁+b₂)+a₂·(b₁+b₂)==(a₁·b₁+a₁·b₂)+(a₂·b₁+a₂·b₂)=a₁·b₁+a₁·b₂+a₂·b₁+a₂·b₂.

Так мы от произведения двух скобок пришли к сумме произведений каждого слагаемого из первой скобки на каждое слагаемое из второй скобки. По индукции это утверждение можно распространить на произвольное количество слагаемых в каждой скобке.

Теперь можно дать формулировку правила умножения скобки на скобку. Оно звучит так: чтобы умножить одну сумму на другую, надо каждое слагаемое первой суммы умножить на каждое слагаемое второй суммы и сложить полученные произведения. Запишем соответствующую формулу:

Для примера раскроем скобки в выражении (1+x)·(x²+x+6), представляющим собой произведение двух сумм. Для этого записываем сумму произведений первого слагаемого 1 из первой скобки на каждое слагаемое x², x и 6 из второй скобки, а также второго слагаемого x из первой скобки на каждое слагаемое x², x и 6 из второй скобки, получаем (1+x)·(x²+x+6)=(1·x²+1·x+1·6+x·x²+x·x+x·6)=1·x²+1·x+1·6+x·x²+x·x+x·6.

Стоит отдельно заметить, что если в скобках наряду со знаками плюс присутствуют знаки минус, то выражения в скобках перед использованием записанного выше правила нужно представить в виде сумм. Покажем это на примере.

Раскроем скобки в выражении (1−x)·(3·x·y−2·x·y³). Перед использованием правила нужно выражения в скобках представить в виде сумм как (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y³)). Теперь умножаем скобку на скобку: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y³))=(1·3·x·y+1·(−2·x·y³)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y³)). Осталось раскрыть скобки в полученном выражении, используя правила из предыдущих пунктов, в итоге получаем 1·3·x·y−1·2·x·y³−x·3·x·y+x·2·x·y³.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

Раскрытие скобок в выражениях, которые представляют собой произведение трех и большего количества выражений в скобках, проводится последовательно. Сначала берутся два первых множителя, заключаются еще в одни скобки, и внутри этих скобок проводится раскрытие скобок по одному из уже известных правил. И этот процесс продолжается.

Лучше разобраться с этим на примере. Раскроем скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8). Это выражение представляет собой произведение трех множителей (2+4), 3 и (5+7·8). Раскрывать скобки придется последовательно. Для этого заключаем первые два множителя еще в одни скобки, для наглядности изобразим их другим цветом: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8). Теперь используем правило умножения скобки на число, имеем ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8). Осталось выполнить умножение скобки на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Понятно, что вместо чисел могут быть и переменные, и другие выражения.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Для примера преобразуем выражение (a+b+c)². Сначала запишем его в виде произведения двух скобок (a+b+c)·(a+b+c), теперь выполним умножение скобки на скобку, получаем a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Стоит отметить, что подобные преобразования более уместно называть возведением выражения в степень, нежели раскрытием скобок.

Вот еще пример возведения выражения в скобках в третью степень:

Также скажем, что для возведения сумм и разностей двух чисел в натуральную степень целесообразно применять формулу бинома Ньютона.

Деление скобки на число и скобки на скобку

В этом пункте мы покажем, как стоит раскрывать скобки в выражениях, в которых имеет место деление скобки на число или выражение.

При делении скобки на число можно раскрыть скобки, разделив на это число каждое из заключенных в скобки слагаемых.

К примеру, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Вот еще пример раскрытия скобок при делении выражения на число: .

Не менее удобно предварительно деление заменить умножением, после чего воспользоваться соответствующим правилом раскрытия скобок в произведении. Это правило позволяет раскрывать скобки и при делении скобки на скобку.

Приведем примеры. Раскроем скобки в выражении . Заменим сначала деление умножением на обратное число, имеем . Осталось выполнить умножение скобки на число, получаем .

Покажем еще пример, рассмотрев выражение, в котором содержится деление на скобку, вида . Заменяем деление умножением: . И осталось лишь выполнить умножение: .

И прежде чем перейти к следующему разделу информации стоит сказать, что все перечисленные правила раскрытия скобок следуют из правил выполнения действий с числами, а также правил использования скобок в математике.

Порядок раскрытия скобок

Вот мы и добрались до раздела, который объясняет, как с помощью всей представленной выше информации выполняется раскрытие скобок в выражениях общего вида, то есть, в выражениях, содержащих и суммы с разностями, и произведения с частными, и скобки в натуральной степени.

В таких выражениях порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий:

• сначала выполняется возведение скобок в натуральную степень,
• дальше раскрываются скобки в произведениях и частных,
• наконец, когда скобок в произведениях не остается, раскрываются скобки в суммах и разностях.

Осталось разобраться с порядком раскрытия скобок на примерах.

Возьмем выражение (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Раскрытие скобок нужно начинать с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), после применения соответствующих правил раскрытия скобок, они примут вид (3·2:4) и (−6·7). Подставляем эти результаты в исходное выражение: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Остается лишь закончить раскрытие скобок, в результате имеем −5+3·2:4+6·7.

Как Вы заметили, мы исходное выражение разбили на составные части, в каждой части провели раскрытие скобок по разобранным правилам, после чего собрали полученные результаты воедино, и пришли к требуемому результату.

Раскрытие скобок в выражениях, содержащих скобки в скобках, удобно проводить, продвигаясь от внутренних скобок к внешним.

В заключение статьи заметим, что раскрытие скобок в основном применяется при упрощении выражений, и в сложных выражениях раскрытие скобок проводится вместе с другими преобразованиями до получения нужного результата.