Полезные статьи.

Решение кубических уравнений.

Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.

Начнем обзор с простейших случаев - двучленного и возвратного уравнений. Затем перейдем к отысканию рациональных корней (если такие имеются). Закончим примером отыскания корней кубического уравнения по формуле Кардано для общего случая.

Решение двучленного кубического уравнения.

Двучленное кубическое уравнение имеет вид формула.

Это уравнение приводится к виду формула делением на коэффициент А, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:
формула

Из первой скобки находим формула, а квадратный трехчлен формула имеет лишь комплексные корни.

Пример.

Найти действительные корни кубического уравнения формула.

Решение.

формула

Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:
формула

Из первой скобки находим формула, квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Ответ:

формула.

Решение возвратного кубического уравнения.

Возвратное кубическое уравнение имеет вид формула, где А и В – коэффициенты.

Проведем группировку:
формула

Очевидно, что х = -1 является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена формула легко находятся через дискриминант.

Пример.

Решить кубическое уравнение формула.

Решение.

Это уравнение возвратное. Проведем группировку:
формула

Очевидно, x = -1 является корнем уравнения.

Находим корни квадратного трехчлена формула:
формула

Ответ:

формула.

Решение кубических уравнений с рациональными корнями.

Начнем с простейшего случая, когда х=0 является корнем кубического уравнения формула.

В этом случае свободный член D равен нулю, то есть уравнение имеет вид формула.

Если вынести х за скобки, то в скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти либо через дискриминант, либо по теореме Виета формула.

Пример.

Найти действительные корни уравнения формула.

Решение.

формула

x=0 является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена формула.

Так как его дискриминант формула меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Ответ:

х=0.

Если коэффициенты кубического уравнения формула являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.

При формула, домножим обе части уравнения на формула и проведем замену переменных y = Ax:
формула

Пришли к приведенному кубическому уравнению. Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена. Так что выписываем все делители и начинаем их подставлять в полученное уравнение до получения тождественного равенства. Тот делитель формула, при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является формула.

Далее делим многочлен формула на формула и находим корни полученного квадратного трехчлена.

Пример.

Найти корни кубического уравнения формула.

Решение.

Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на формула обе части и проведем замену переменной y = 2x.
формула

Свободный член равен 36. Запишем все его делители: формула.

Подставляем их по очереди в равенство формула до получения тождества:
формула

Таким образом, y = -1 является корнем. Ему соответствует формула.

Разделим формула на формула, используя схему Горнера:
формула

Получаем,
формула

Осталось найти корни квадратного трехчлена формула.

Очевидно, что формула, то есть, его кратным корнем является х=3.

Ответ:

формула.

Замечание.

По такому алгоритму можно решать возвратные уравнения. Так как -1 является корнем всякого возвратного кубического уравнения, то можно разделить левую часть исходного уравнения на х+1 и найти корни полученного квадратного трехчлена.

В случае, когда кубическое уравнение не имеет рациональных корней, применяются другие способы решения, к примеру, специфические способы разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано.

В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.

Для кубического уравнения формула находятся значения формула. Далее находим формула и формула.

Подставляем полученные p и q в формулу Кардано:
формула

Значения кубических корней следует брать такими, чтобы их произведение было равно формула. В итоге, находим корни исходного уравнения по формуле формула.

Решим по формуле Кардано предыдущий пример.

Пример.

Найти корни кубического уравнения формула.

Решение.

Имеем формула.

Находим формула, следовательно,
формула

Подставляем в формулу Кардано:
формула

формула принимает три значения (подробнее об этом поговорим в разделе теория функции комплексного переменного). Запишем их.
формула

При k=0 имеем формула.

При k=1 имеем формула.

При k=2 имеем формула.

Разобьем эти значения по парам, которые в произведении дают формула.

Первая пара значений: формула и формула.

Вторая пара значений: формула и формула.

Третья пара значений: формула и формула.

Возвращаемся к формуле Кардано:
формула

Таким образом,
формула

Ответ:

формула.

К решению кубических уравнений сводится решение уравнений четвертой степени по методу Феррари.

Профиль автора статьи в Google+