Решение кубических уравнений.
Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.
Начнем обзор с простейших случаев - двучленного и возвратного уравнений. Затем перейдем к отысканию рациональных корней (если такие имеются). Закончим примером отыскания корней кубического уравнения по формуле Кардано для общего случая.
Решение двучленного кубического уравнения.
Двучленное кубическое уравнение имеет вид 
.
Это уравнение приводится к виду 
делением на коэффициент А, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:
Из первой скобки находим 
, а квадратный трехчлен 
имеет лишь комплексные корни.
Пример.
Найти действительные корни кубического уравнения 
.
Решение.
Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:
Из первой скобки находим 
, квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Ответ:
.
Решение возвратного кубического уравнения.
Возвратное кубическое уравнение имеет вид 
, где А и В – коэффициенты.
Проведем группировку:
Очевидно, что х = -1 является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена 
легко находятся через дискриминант.
Пример.
Решить кубическое уравнение 
.
Решение.
Это уравнение возвратное. Проведем группировку:
Очевидно, x = -1 является корнем уравнения.
Находим корни квадратного трехчлена 
:
Ответ:
.
Решение кубических уравнений с рациональными корнями.
Начнем с простейшего случая, когда х=0 является корнем кубического уравнения 
.
В этом случае свободный член D равен нулю, то есть уравнение имеет вид 
.
Если вынести х за скобки, то в скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти либо через дискриминант, либо по теореме Виета 
.
Пример.
Найти действительные корни уравнения 
.
Решение.
x=0 является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена 
.
Так как его дискриминант 
меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.
Ответ:
х=0.
Если коэффициенты кубического уравнения являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.
При 
, домножим обе части уравнения на 
и проведем замену переменных y = Ax:
Пришли к приведенному кубическому уравнению. Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена. Так что выписываем все делители и начинаем их подставлять в полученное уравнение до получения тождественного равенства. Тот делитель 
, при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является 
.
Далее делим многочлен 
на 
и находим корни полученного квадратного трехчлена.
Пример.
Найти корни кубического уравнения 
.
Решение.
Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на 
обе части и проведем замену переменной y = 2x.
Свободный член равен 36. Запишем все его делители: 
.
Подставляем их по очереди в равенство 
до получения тождества:
Таким образом, y = -1 является корнем. Ему соответствует 
.
Разделим 
на 
, используя схему Горнера:
Получаем,
Осталось найти корни квадратного трехчлена 
.
Очевидно, что 
, то есть, его кратным корнем является х=3.
Ответ:
.
Замечание.
По такому алгоритму можно решать возвратные уравнения. Так как -1 является корнем всякого возвратного кубического уравнения, то можно разделить левую часть исходного уравнения на х+1 и найти корни полученного квадратного трехчлена.
В случае, когда кубическое уравнение не имеет рациональных корней, применяются другие способы решения, к примеру, специфические способы разложения многочлена на множители.
Решение кубических уравнений по формуле Кардано.
В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.
Для кубического уравнения 
находятся значения 
. Далее находим 
и 
.
Подставляем полученные p и q в формулу Кардано:
Значения кубических корней следует брать такими, чтобы их произведение было равно 
. В итоге, находим корни исходного уравнения по формуле 
.
Решим по формуле Кардано предыдущий пример.
Пример.
Найти корни кубического уравнения .
Решение.
Имеем 
.
Находим 
, следовательно,
Подставляем в формулу Кардано:
принимает три значения (подробнее об этом поговорим в разделе теория функции комплексного переменного). Запишем их.
При k=0 имеем 
.
При k=1 имеем 
.
При k=2 имеем 
.
Разобьем эти значения по парам, которые в произведении дают 
.
Первая пара значений: 
и 
.
Вторая пара значений: 
и .
Третья пара значений: и .
Возвращаемся к формуле Кардано:
Таким образом,
Ответ:
.
К решению кубических уравнений сводится решение уравнений четвертой степени по методу Феррари.