Математика на cleverstudents.ru

Корень, его свойства, извлечение корня

Свойства корней, формулировки, доказательства, примеры.

В этой статье мы разберем основные свойства корней. Начнем со свойств арифметического квадратного корня, дадим их формулировки и приведем доказательства. После этого займемся свойствами арифметического корня n-ой степени.

Свойства квадратного корня

В этом пункте мы разберемся со следующими основными свойствами арифметического квадратного корня:

1. свойство квадратного корня из произведения двух неотрицательных действительных чисел a и b, задающееся равенством вида , его можно распространить на произведение k неотрицательных множителей a₁, a₂, …, a_k как ;
2. корень из частного , которое часто записывают с помощью дробей как ;
3. свойство арифметического квадратного корня из степени числа a с четным показателем при любом действительном a, в частности, свойство квадратного корня из квадрата числа .

В каждом из записанных равенств можно левую и правую части поменять местами, например, равенство можно переписать как . В таком «обратном» виде свойства арифметического квадратного корня применяются при упрощении выражений столь же часто, как и в «прямом» виде.

Доказательство первых двух свойств базируется на определении арифметического квадратного корня и на свойствах степени с натуральным показателем. А для обоснования последнего свойства арифметического квадратного корня придется вспомнить определение модуля числа.

Итак, начнем с доказательства свойства арифметического квадратного корня из произведения двух неотрицательных чисел: . Для этого, согласно определению арифметического квадратного корня, достаточно показать, что - неотрицательное число, квадрат которого равен a·b. Сделаем это. Значение выражения неотрицательно как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени произведения двух чисел позволяет записать равенство , а так как по определению арифметического квадратного корня и , то .

Аналогично доказывается, что арифметический квадратный корень из произведения k неотрицательных множителей a₁, a₂, …, a_k равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. Действительно, . Из этого равенства следует, что .

Приведем примеры: и .

Теперь докажем свойство арифметического квадратного корня из частного: . Свойство частного в натуральной степени позволяет нам записать равенство , а , при этом есть неотрицательное число. Это и является доказательством.

Например, и .

Пришло время разобрать свойство арифметического квадратного корня из квадрата числа, в виде равенства оно записывается как . Для его доказательства рассмотрим два случая: при a≥0 и при a<0.

Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство . Также легко заметить, что при a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 и (−a)²=a². Таким образом, , что и требовалось доказать.

Приведем примеры: и .

Только что доказанное свойство квадратного корня позволяет обосновать следующий результат , где a – любое действительное число, а m – любое натуральное число. В самом деле, свойство возведения степени в степень позволяет заменить степень a^2·m выражением (a^m)², тогда .

К примеру, и .

Свойства корня n-ой степени

Сначала перечислим основные свойства корней n-ой степени:

1. свойство корня из произведения двух неотрицательных чисел a и b, ему отвечает равенство , это свойство распространяется на произведение k неотрицательных чисел a₁, a₂, …, a_k как ;
2. корень из дроби обладает следующим свойством , где a – любое неотрицательное действительное число, а b – положительное действительное число;
3. при любом действительном a и четных показателях n=2·m справедливо , а при нечетных n=2·m−1 выполняется равенство .
4. свойство корня из корня , где a – любое неотрицательное число, n и m – натуральные числа, это свойство можно распространить как ;
5. для любого неотрицательного a и произвольных натуральных n и m справедливо равенство ;
6. свойство корня степени n из степени неотрицательного числа a в натуральной степени m, определяемое равенством ;
7. свойство сравнения корней с одинаковым показателем: для любых положительных чисел a и b таких, что a<b, выполняется неравенство ;
8. свойство сравнения корней с одинаковыми подкоренными числами: если m и n такие натуральные числа, что m>n, тогда при 0<a<1 справедливо неравенство , а при a>1 выполняется .

Все записанные равенства остаются справедливыми, если в них поменять местами левую и правую части. В таком виде они употребляются также часто, в основном при упрощении и преобразовании выражений.

Доказательство всех озвученных свойств корня основывается на определении арифметического корня n-ой степени, на свойствах степени и на определении модуля числа. Докажем их в порядке очередности.

1. Начнем с доказательства свойства корня n-ой степени из произведения . Для неотрицательных a и b значение выражения тоже неотрицательно, как произведение неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство . По определению арифметического корня n-ой степени и , следовательно, . Этим доказано рассматриваемое свойство корня.

   Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a₁, a₂, …, a_n выполняется и .

   Приведем примеры использования свойства корня n-ой степени из произведения: и .

2. Докажем свойство корня из частного . При a≥0 и b>0 выполняется условие , а .

   Покажем примеры: и .

3. Двигаемся дальше. Докажем свойство корня n-ой степени из числа в степени n. То есть, докажем, что и для любого действительного a и натурального m. При a≥0 имеем и , что доказывает равенство , а равенство очевидно. При a<0 имеем и (последний переход справедлив в силу свойства степени с четным показателем), что доказывает равенство , а справедливо в силу того, что при разговоре о корне нечетной степени мы приняли для любого неотрицательного числа c.

   Приведем примеры использования разобранного свойства корня: и .

4. Переходим к доказательству свойства корня из корня . Поменяем местами правую и левую части, то есть, докажем справедливость равенства , которое будет означать справедливость исходного равенства. Для неотрицательного числа a корень из корня вида является неотрицательным числом. Вспомнив свойство возведения степени в степень, и воспользовавшись определением корня, можно записать цепочку равенств вида . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

   Аналогично доказывается и свойство корня из корня из корня и т.д. Действительно, .

   Например, и .

5. Докажем следующее свойство сокращения показателя корня . Для этого в силу определения корня достаточно показать, что есть неотрицательное число, которое при возведении в степень n·m равно a^m. Сделаем это. Понятно, что если число a неотрицательное, то корень n-ой степени из числа a является неотрицательным числом. При этом , что и завершает доказательство.

   Приведем пример применения разобранного свойства корня: .

6. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида . Очевидно, что при a≥0 степень является неотрицательным числом. Более того, ее n-ая степень равна a^m, действительно, . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

   Например, .

7. Переходим дальше. Докажем, что для любых положительных чисел a и b, для которых выполняется условие a<b, выполняется неравенство . Доказательство проведем от противного. Предположим, что . Тогда по свойству степеней с натуральным показателем должно быть справедливым неравенство , то есть, a≥b. А это противоречит условию a<b. Следовательно, при a<b.

   Для примера приведем верное неравенство .

8. Наконец, осталось доказать последнее свойство корня n-ой степени. Докажем сначала первую часть этого свойства, то есть, докажем, что при m>n и 0<a<1 справедливо неравенство . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что при указанных выше условиях . Свойства корня позволяют это неравенство переписать в виде . Тогда в силу свойств степени с натуральным показателем должно выполняться неравенство , то есть, aⁿ≤a^m. А полученное неравенство при m>n и 0<a<1 противоречит свойствам степени с натуральным показателем.

   Аналогично методом от противного доказывается, что при m>n и a>1 выполняется условие .

   Приведем примеры применения доказанного свойства корня в конкретных числах. К примеру, верны неравенства и .