Уравнения, решение уравнений Помощь в написании работ

Решение квадратных уравнений, формула корней, примеры


Продолжаем изучение темы «решение уравнений». Мы уже познакомились с линейными уравнениями и переходим к знакомству с квадратными уравнениями.

Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами.


Что такое квадратное уравнение? Их виды

Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений. После этого можно рассмотреть основные виды квадратных уравнений: приведенные и неприведенные, а также полные и неполные уравнения.

Определение и примеры квадратных уравнений

Определение.

Квадратное уравнение – это уравнение вида a·x2+b·x+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Так 2·x2+6·x+1=0, 0,2·x2+2,5·x+0,03=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Определение.

Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x2, b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x, а c – свободным членом.

Для примера возьмем квадратное уравнение вида 5·x2−2·x−3=0, здесь старший коэффициент есть 5, второй коэффициент равен −2, а свободный член равен −3. Обратите внимание, когда коэффициенты b и/или c отрицательные, как в только что приведенном примере, то используется краткая форма записи квадратного уравнения вида 5·x2−2·x−3=0, а не 5·x2+(−2)·x+(−3)=0.

Стоит отметить, что когда коэффициенты a и/или b равны 1 или −1, то они в записи квадратного уравнения обычно не присутствуют явно, что связано с особенностями записи таких числовых коэффициентов. Например, в квадратном уравнении y2−y+3=0 старший коэффициент есть единица, а коэффициент при y равен −1.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением. В противном случае квадратное уравнение является неприведенным.

Согласно данному определению, квадратные уравнения x2−3·x+1=0, x2−x−2/3=0 и т.п. – приведенные, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5·x2−x−1=0, и т.п. - неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1.

От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является равносильным преобразованием, то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Пример.

От уравнения 3·x2+12·x−7=0 перейдите к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Решение.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3, он отличен от нуля, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3·x2+12·x−7):3=0:3, что то же самое, (3·x2):3+(12·x):3−7:3=0, и дальше (3:3)·x2+(12:3)·x−7:3=0, откуда . Так мы получили приведенное квадратное уравнение, равносильное исходному.

Ответ:

.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения присутствует условие a≠0. Это условие нужно для того, чтобы уравнение a·x2+b·x+c=0 было именно квадратным, так как при a=0 оно фактически становится линейным уравнением вида b·x+c=0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, причем как по отдельности, так и вместе. В этих случаях квадратное уравнение называют неполным.

Определение.

Квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

В свою очередь

Определение.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие названия даны не случайно. Из следующих рассуждений это станет понятно.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид a·x2+0·x+c=0, и оно равносильно уравнению a·x2+c=0. Если c=0, то есть, квадратное уравнение имеет вид a·x2+b·x+0=0, то его можно переписать как a·x2+b·x=0. А при b=0 и c=0 мы получим квадратное уравнение a·x2=0. Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название – неполные квадратные уравнения.

Так уравнения x2+x+1=0 и −2·x2−5·x+0,2=0 – это примеры полных квадратных уравнений, а x2=0, −2·x2=0, 5·x2+3=0, −x2−5·x=0 – это неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений


Из информации предыдущего пункта следует, что существует три вида неполных квадратных уравнений:

Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих видов.

a·x2=0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x2=0. Уравнению a·x2=0 равносильно уравнение x2=0, которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a. Очевидно, корнем уравнения x2=0 является нуль, так как 02=0. Других корней это уравнение не имеет, что объясняется свойствами степени, действительно, для любого отличного от нуля числа p имеет место неравенство p2>0, откуда следует, что при p≠0 равенство p2=0 никогда не достигается.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x2=0 имеет единственный корень x=0.

В качестве примера приведем решение неполного квадратного уравнения −4·x2=0. Ему равносильно уравнение x2=0, его единственным корнем является x=0, следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень нуль.

Краткое решение в этом случае можно оформить следующим образом:
−4·x2=0,
x2=0,
x=0.

a·x2+c=0

Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0, то есть, уравнения вида a·x2+c=0. Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x2+c=0:

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях. В зависимости от значений a и c значение выражения может быть отрицательным (например, если a=1 и c=2, то ) или положительным, (к примеру, если a=−2 и c=6, то ), оно не равно нулю, так как по условию c≠0. Отдельно разберем случаи и .

Если , то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное. Из этого вытекает, что когда , то ни для какого числа p равенство не может быть верным.

Если , то дело с корнями уравнения обстоит иначе. В этом случае, если вспомнить о квадратном корне, то сразу становится очевиден корень уравнения , им является число , так как . Несложно догадаться, что и число тоже является корнем уравнения , действительно, . Других корней это уравнение не имеет, что можно показать, например, методом от противного. Сделаем это.

Обозначим только что озвученные корни уравнения как x1 и −x1. Предположим, что уравнение имеет еще один корень x2, отличный от указанных корней x1 и −x1. Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное числовое равенство. Для x1 и −x1 имеем , а для x2 имеем . Свойства числовых равенств нам позволяют выполнять почленное вычитание верных числовых равенств, так вычитание соответствующих частей равенств и дает x12−x22=0. Свойства действий с числами позволяют переписать полученное равенство как (x1−x2)·(x1+x2)=0. Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно, из полученного равенства следует, что x1−x2=0 и/или x1+x2=0, что то же самое, x2=x1 и/или x2=−x1. Так мы пришли к противоречию, так как вначале мы сказали, что корень уравнения x2 отличен от x1 и −x1. Этим доказано, что уравнение не имеет других корней, кроме и .

Обобщим информацию этого пункта. Неполное квадратное уравнение a·x2+c=0 равносильно уравнению , которое

Рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений вида a·x2+c=0.

Начнем с квадратного уравнения 9·x2+7=0. После переноса свободного члена в правую часть уравнения, оно примет вид 9·x2=−7. Разделив обе части полученного уравнения на 9, придем к . Так как в правой части получилось отрицательное число, то это уравнение не имеет корней, следовательно, и исходное неполное квадратное уравнение 9·x2+7=0 не имеет корней.

Решим еще одно неполное квадратное уравнение −x2+9=0. Переносим девятку в правую часть: −x2=−9. Теперь делим обе части на −1, получаем x2=9. В правой части находится положительное число, откуда заключаем, что или . После извлечения корня записываем окончательный ответ: неполное квадратное уравнение −x2+9=0 имеет два корня x=3 или x=−3.

a·x2+b·x=0

Осталось разобраться с решением последнего вида неполных квадратных уравнений при c=0. Неполные квадратные уравнения вида a·x2+b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители. Очевидно, мы можем разложить на множители многочлен, находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x. Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида x·(a·x+b)=0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 и a·x+b=0, последнее из которых является линейным и имеет корень x=−b/a.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x2+b·x=0 имеет два корня x=0 и x=−b/a.

Для закрепления материала разберем решение конкретного примера.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

Выносим x за скобки, это дает уравнение . Оно равносильно двум уравнениям x=0 и . Решаем полученное линейное уравнение: , и выполнив деление смешанного числа на обыкновенную дробь, находим . Следовательно, корнями исходного уравнения являются x=0 и .

После получения необходимой практики, решения подобных уравнений можно записывать кратко:

Ответ:

x=0, .

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Для решения квадратных уравнений существуют формула корней. Запишем формулу корней квадратного уравнения: , где D=b2−4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения. Запись по сути означает, что .

Полезно знать, как была получена формула корней, и как она применяется при нахождении корней квадратных уравнений. Разберемся с этим.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Пусть нам нужно решить квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0. Выполним некоторые равносильные преобразования:

В итоге мы приходим к уравнению , которое равносильно исходному квадратному уравнению a·x2+b·x+c=0.

Аналогичные по форме уравнения мы уже решали в предыдущих пунктах, когда разбирали решение неполных квадратных уравнений. Это позволяет сделать следующие выводы, касающиеся корней уравнения :

Таким образом, наличие или отсутствие корней уравнения , а значит и исходного квадратного уравнения, зависит от знака выражения , стоящего в правой части. В свою очередь знак этого выражения определяется знаком числителя, так как знаменатель 4·a2 всегда положителен, то есть, знаком выражения b2−4·a·c. Это выражение b2−4·a·c, назвали дискриминантом квадратного уравнения и обозначили буквой D. Отсюда понятна суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, имеет ли квадратное уравнение действительные корни, и если имеет, то каково их количество - один или два.

Возвращаемся к уравнению , перепишем его с использованием обозначения дискриминанта: . И делаем выводы:

Так мы вывели формулы корней квадратного уравнения, они имеют вид , где дискриминант D вычисляется по формуле D=b2−4·a·c.

С их помощью при положительном дискриминанте можно вычислить оба действительных корня квадратного уравнения. При равном нулю дискриминанте обе формулы дают одно и то же значение корня, соответствующее единственному решению квадратного уравнения. А при отрицательном дискриминанте при попытке воспользоваться формулой корней квадратного уравнения мы сталкиваемся с извлечением квадратного корня из отрицательного числа, что выводит нас за рамки действительных чисел и школьной программы. При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет пару комплексно сопряженных корней, которые можно найти по тем же полученным нами формулам корней .

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения. Чтобы решить квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, надо:

Здесь лишь заметим, что при равном нулю дискриминанте можно использовать и формулу , она даст то же значение, что и .

Можно переходить к примерам применения алгоритма решения квадратных уравнений.

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и равным нулю дискриминантом. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение. Начнем.

Пример.

Найдите корни уравнения x2+2·x−6=0.

Решение.

В этом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1, b=2 и c=−6. Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант, для этого подставляем указанные a, b и c в формулу дискриминанта, имеем D=b2−4·a·c=22−4·1·(−6)=4+24=28. Так как 28>0, то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней , получаем , здесь можно упростить полученные выражения, выполнив вынесение множителя за знак корня с последующим сокращением дроби:

Ответ:

.

Переходим к следующему характерному примеру.

Пример.

Решите квадратное уравнение −4·x2+28·x−49=0.

Решение.

Начинаем с нахождения дискриминанта: D=282−4·(−4)·(−49)=784−784=0. Следовательно, это квадратное уравнение имеет единственный корень, который находим как , то есть,

Ответ:

x=3,5.

Остается рассмотреть решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример.

Решите уравнение 5·y2+6·y+2=0.

Решение.

Здесь такие коэффициенты квадратного уравнения: a=5, b=6 и c=2. Подставляем эти значения в формулу дискриминанта, имеем D=b2−4·a·c=62−4·5·2=36−40=−4. Дискриминант отрицательный, следовательно, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если же потребуется указать комплексные корни, то применяем известную формулу корней квадратного уравнения , и выполняем действия с комплексными числами:

Ответ:

действительных корней нет, комплексные корни таковы: .

Еще раз отметим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то в школе обычно сразу записывают ответ, в котором указывают, что действительных корней нет, и не находят комплексные корни.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней квадратного уравнения , где D=b2−4·a·c позволяет получить формулу более компактного вида, позволяющую решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x (или просто с коэффициентом, имеющим вид 2·n, например, , или 14·ln5=2·7·ln5). Выведем ее.

Допустим нам нужно решить квадратное уравнение вида a·x2+2·n·x+c=0. Найдем его корни с использованием известной нам формулы. Для этого вычисляем дискриминант D=(2·n)2−4·a·c=4·n2−4·a·c=4·(n2−a·c), и дальше используем формулу корней:

Обозначим выражение n2−a·c как D1 (иногда его обозначают D'). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид , где D1=n2−a·c.

Несложно заметить, что D=4·D1, или D1=D/4. Другими словами, D1 – это четвертая часть дискриминанта. Понятно, что знак D1 такой же, как знак D. То есть, знак D1 также является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение со вторым коэффициентом 2·n, надо

Рассмотрим решение примера с использованием полученной в этом пункте формулы корней.

Пример.

Решите квадратное уравнение 5·x2−6·x−32=0.

Решение.

Второй коэффициент этого уравнения можно представить в виде 2·(−3). То есть, можно переписать исходное квадратное уравнение в виде 5·x2+2·(−3)·x−32=0, здесь a=5, n=−3 и c=−32, и вычислить четвертую часть дискриминанта: D1=n2−a·c=(−3)2−5·(−32)=9+160=169. Так как его значение положительно, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя соответствующую формулу корней:

Заметим, что можно было использовать обычную формулу корней квадратного уравнения, но в этом случае пришлось бы выполнить больший объем вычислительной работы.

Ответ:

.

Упрощение вида квадратных уравнений

Порой, прежде чем пускаться в вычисление корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задаться вопросом: «А нельзя ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане вычислений проще будет решить квадратное уравнение 11·x2−4·x−6=0, чем 1100·x2−400·x−600=0.

Обычно упрощение вида квадратного уравнения достигается путем умножения или деления его обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце удалось достичь упрощения уравнения 1100·x2−400·x−600=0, разделив обе его части на 100.

Подобное преобразование проводят с квадратными уравнениями, коэффициенты которого не являются взаимно простыми числами. При этом обычно делят обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Для примера возьмем квадратное уравнение 12·x2−42·x+48=0. Найдем НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6. Разделив обе части исходного квадратного уравнения на 6, мы придем к равносильному ему квадратному уравнению 2·x2−7·x+8=0.

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно производится для избавления от дробных коэффициентов. При этом умножение проводят на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК(6, 3, 1)=6, то оно примет более простой вид x2+4·x−18=0.

В заключение этого пункта заметим, что почти всегда избавляются от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1. Например, обычно от квадратного уравнения −2·x2−3·x+7=0 переходят к решению 2·x2+3·x−7=0.

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Наиболее известны и применимы формулы из теоремы Виета вида и . В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену. Например, по виду квадратного уравнения 3·x2−7·x+22=0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: .

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+