Корень n-ой степени: определения, обозначение, примеры

Чтобы понять определение корня из числа, и квадратного корня в частности, нужно иметь представление о степени с натуральным показателем. В этом пункте мы часто будем сталкиваться со второй степенью числа - квадратом числа.

Начнем с определения квадратного корня.

Чтобы привести примеры квадратных корней, возьмем несколько чисел, например, 5, −0,3, 0,3, 0, и возведем их в квадрат, получим соответственно числа 25, 0,09, 0,09 и 0 (5²=5·5=25, (−0,3)²=(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)²=0,3·0,3=0,09 и 0²=0·0=0). Тогда по данному выше определению число 5 является квадратным корнем из числа 25, числа −0,3 и 0,3 есть квадратные корни из 0,09, а 0 – это квадратный корень из нуля.

Следует отметить, что не для любого числа a существует действительное число, квадрат которого равен a. А именно, для любого отрицательного числа a не существует ни одного действительного числа b, квадрат которого равнялся бы a. В самом деле, равенство a=b² невозможно для любого отрицательного a, так как b² – неотрицательное число при любом b. Таким образом, на множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа. Иными словами, на множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не определяется и не имеет смысла.

Отсюда вытекает логичный вопрос: «А для любого ли неотрицательного a существует квадратный корень из a»? Ответ – да. Обоснованием этого факта можно считать конструктивный способ, используемый для нахождения значения квадратного корня.

Тогда встает следующий логичный вопрос: «Каково число всех квадратных корней из данного неотрицательного числа a – один, два, три, или еще больше»? Вот ответ на него: если a равно нулю, то единственным квадратным корнем из нуля является нуль; если же a – некоторое положительное число, то количество квадратных корней из числа a равно двум, причем корни являются противоположными числами. Обоснуем это.

Начнем со случая a=0. Сначала покажем, что нуль действительно является квадратным корнем из нуля. Это следует из очевидного равенства 0²=0·0=0 и определения квадратного корня.

Теперь докажем, что 0 – единственный квадратный корень из нуля. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует некоторое число b, отличное от нуля, которое является квадратным корнем из нуля. Тогда должно выполняться условие b²=0, что невозможно, так как при любом отличном от нуля b значение выражения b² является положительным. Мы пришли к противоречию. Это доказывает, что 0 – единственный квадратный корень из нуля.

Переходим к случаям, когда a – положительное число. Выше мы сказали, что всегда существует квадратный корень из любого неотрицательного числа, пусть квадратным корнем из a является число b. Допустим, что существует число c, которое тоже является квадратным корнем из a. Тогда по определению квадратного корня справедливы равенства b²=a и c²=a, из них следует, что b²−c²=a−a=0, но так как b²−c²=(b−c)·(b+c), то (b−c)·(b+c)=0. Полученное равенство в силу свойств действий с действительными числами возможно лишь тогда, когда b−c=0 или b+c=0. Таким образом, числа b и c равны или противоположны.

Если же предположить, что существует число d, являющееся еще одним квадратным корнем из числа a, то рассуждениями, аналогичными уже приведенным, доказывается, что d равно числу b или числу c. Итак, число квадратных корней из положительного числа равно двум, причем квадратные корни являются противоположными числами.

Для удобства работы с квадратными корнями отрицательный корень «отделяется» от положительного. С этой целью вводится определение арифметического квадратного корня.

Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение . Знак называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Поэтому можно часть слышать как «корень», так и «радикал», что означает один и тот же объект.

Число под знаком арифметического квадратного корня называют подкоренным числом, а выражение под знаком корня – подкоренным выражением, при этом термин «подкоренное число» часто заменяют на «подкоренное выражение». Например, в записи число 151 – это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением.

При чтении слово «арифметический» часто опускается, например, запись читают как «квадратный корень из семи целых двадцати девяти сотых». Слово «арифметический» произносят лишь тогда, когда хотят особо подчеркнуть, что речь идет именно о положительном квадратном корне из числа.

В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что и для любого неотрицательного числа a.

Квадратные корни из положительного числа a с помощью знака арифметического квадратного корня записываются как и . Например, квадратные корни из числа 13 есть и . Арифметический квадратный корень из нуля равен нулю, то есть, . Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишены смысла выражения и .

На базе определения квадратного корня доказываются свойства квадратных корней, которые часто применяются на практике.

Нахождение квадратных корней заслуживает детального изучения, этой теме посвящена отдельная статья извлечение квадратных корней.

В заключение этого пункта заметим, что квадратные корни из числа a являются решениями квадратного уравнения вида x²=a относительно переменной x.

К началу страницы

Определение кубического корня из числа a дается аналогично определению квадратного корня. Только оно базируется на понятии куба числа, а не квадрата.

Приведем примеры кубических корней. Для этого возьмем несколько чисел, например, 7, 0, −2/3, и возведем их в куб: 7³=7·7·7=343, 0³=0·0·0=0, . Тогда, основываясь на определении кубического корня, можно утверждать, что число 7 – это кубический корень из 343, 0 есть кубический корень из нуля, а −2/3 является кубическим корнем из −8/27.

Можно показать, что кубический корень из числа a, в отличие от квадратного корня, всегда существует, причем не только для неотрицательных a, но и для любого действительного числа a. Для этого можно использовать тот же способ, о котором мы упоминали при изучении квадратного корня.

Более того, существует только единственный кубический корень из данного числа a. Докажем последнее утверждение. Для этого отдельно рассмотрим три случая: a – положительное число, a=0 и a – отрицательное число.

Легко показать, что при положительном a кубический корень из a не может быть ни отрицательным числом, ни нулем. Действительно, пусть b является кубическим корнем из a, тогда по определению мы можем записать равенство b³=a. Понятно, что это равенство не может быть верным при отрицательных b и при b=0, так как в этих случаях b³=b·b·b будет отрицательным числом либо нулем соответственно. Итак, кубический корень из положительного числа a является положительным числом.

Теперь предположим, что помимо числа b существует еще один кубический корень из числа a, обозначим его c. Тогда c³=a. Следовательно, b³−c³=a−a=0, но b³−c³=(b−c)·(b²+b·c+c²) (это формула сокращенного умножения разность кубов), откуда (b−c)·(b²+b·c+c²)=0. Полученное равенство возможно только когда b−c=0 или b²+b·c+c²=0. Из первого равенства имеем b=c, а второе равенство не имеет решений, так как левая его часть является положительным числом для любых положительных чисел b и c как сумма трех положительных слагаемых b², b·c и c². Этим доказана единственность кубического корня из положительного числа a.

При a=0 кубическим корнем из числа a является только число нуль. Действительно, если предположить, что существует число b, которое является отличным от нуля кубическим корнем из нуля, то должно выполняться равенство b³=0, которое возможно лишь при b=0.

Для отрицательных a можно привести рассуждения, аналогичные случаю для положительных a. Во-первых, показываем, что кубический корень из отрицательного числа не может быть равен ни положительному числу, ни нулю. Во-вторых, предполагаем, что существует второй кубический корень из отрицательного числа и показываем, что он обязательно будет совпадать с первым.

Итак, всегда существует кубический корень из любого данного действительного числа a, причем единственный.

Дадим определение арифметического кубического корня.

Арифметический кубический корень из неотрицательного числа a обозначается как , знак называется знаком арифметического кубического корня, число 3 в этой записи называется показателем корня. Число под знаком корня – это подкоренное число, выражение под знаком корня – это подкоренное выражение.

Хотя арифметический кубический корень определяется лишь для неотрицательных чисел a, но удобно также использовать записи, в которых под знаком арифметического кубического корня находятся отрицательные числа. Понимать их будем так: , где a – положительное число. Например, .

О свойствах кубических корней мы поговорим в общей статье свойства корней.

Вычисление значения кубического корня называется извлечением кубического корня, это действие разобрано в статье извлечение корней: способы, примеры, решения.

В заключение этого пункта скажем, что кубический корень из числа a является решением кубического уравнения вида x³=a.

К началу страницы

Обобщим понятие корня из числа – введем определение корня n-ой степени для натуральных чисел n.

Из данного определения понятно, что корень первой степени из числа a есть само число a, так как при изучении степени с натуральным показателем мы приняли a¹=a.

Выше мы рассмотрели частные случаи корня n-ой степени при n=2 и n=3 – квадратный корень и кубический корень. То есть, квадратный корень – это корень второй степени, а кубический корень – корень третьей степени. Для изучения корней n-ой степени при n=4, 5, 6, … их удобно разделить на две группы: первая группа – корни четных степеней (то есть, при n=4, 6, 8, …), вторая группа – корни нечетных степеней (то есть, при n=5, 7, 9, …). Это связано с тем, что корни четных степеней аналогичны квадратному корню, а корни нечетных степеней – кубическому. Разберемся с ними по очереди.

Начнем с корней, степенями которых являются четные числа 4, 6, 8, … Как мы уже сказали, они аналогичны квадратному корню из числа a. То есть, корень любой четной степени из числа a существует лишь для неотрицательного a. Причем, если a=0, то корень из a единственный и равен нулю, а если a>0, то существует два корня четной степени из числа a, причем они являются противоположными числами.

Обоснуем последнее утверждение. Пусть b – корень четной степени (обозначим ее как 2·m, где m – некоторое натуральное число) из числа a. Предположим, что существует число c – еще один корень степени 2·m из числа a. Тогда b^2·m−c^2·m=a−a=0. Но мы знаем формулу сокращенного умножения вида b^2·m−c^2·m=(b−c)·(b+c)·(b^2·m−2+b^2·m−4·c²+b^2·m−6·c⁴+…+c^2·m−2), тогда (b−c)·(b+c)·(b^2·m−2+b^2·m−4·c²+b^2·m−6·c⁴+…+c^2·m−2)=0. Из этого равенства следует, что b−c=0, или b+c=0, или b^2·m−2+b^2·m−4·c²+b^2·m−6·c⁴+…+c^2·m−2=0. Первые два равенства означают, что числа b и c равны или b и c – противоположны. А последнее равенство справедливо лишь при b=c=0, так как в его левой части находится выражение, которое неотрицательно при любых b и c как сумма неотрицательных чисел.

Что касается корней n-ой степени при нечетных n, то они аналогичны кубическому корню. То есть, корень любой нечетной степени из числа a существует для любого действительного числа a, причем для данного числа a он является единственным.

Единственность корня нечетной степени 2·m+1 из числа a доказывается по аналогии с доказательством единственности кубического корня из a. Только здесь вместо равенства a³−b³=(a−b)·(a²+a·b+c²) используется равенство вида b^2·m+1−c^2·m+1=(b−c)·(b^2·m+b^2·m−1·c+b^2·m−2·c²+… +c^2·m). Выражение в последней скобке можно переписать как b^2·m+c^2·m+b·c·(b^2·m−2+c^2·m−2+b·c·(b^2·m−4+c^2·m−4+b·c·(…+(b²+c²+b·c)))). Например, при m=2 имеем b⁵−c⁵=(b−c)·(b⁴+b³·c+b²·c²+b·c³+c⁴)=(b−c)·(b⁴+c⁴+b·c·(b²+c²+b·c)). Когда a и b оба положительны или оба отрицательны их произведение является положительным числом, тогда выражение b²+c²+b·c, находящееся в скобках самой высокой степени вложенности, является положительным как сумма положительных чисел. Теперь, продвигаясь последовательно к выражениям в скобках предыдущих степеней вложенности, убеждаемся, что они также положительны как суммы положительных чисел. В итоге получаем, что равенство b^2·m+1−c^2·m+1=(b−c)·(b^2·m+b^2·m−1·c+b^2·m−2·c²+… +c^2·m)=0 возможно только тогда, когда b−c=0, то есть, когда число b равно числу c.

Пришло время разобраться с обозначениями корней n-ой степени. Для этого дается определение арифметического корня n-ой степени.

Арифметический корень n-ой степени из неотрицательного числа a обозначается как . Число a называют подкоренным числом, а число n – показателем корня. Для примера рассмотрим запись , здесь подкоренным числом является 125,36, а показатель корня равен 5.

Заметим, что при n=2 мы имеем дело с квадратным корнем из числа, в этом случае показатель корня принято не записывать, то есть, записи и означают одно и то же число.

Несмотря на то, что определение арифметического корня n-ой степени, а также его обозначение введены для неотрицательных подкоренных чисел, мы в целях удобства для нечетных показателей корня и отрицательных подкоренных чисел будем использовать записи вида , которые будем понимать как . Например, и .

Корням же четной степени с отрицательными подкоренными числами мы не будем придавать никакого смысла (до начала изучения комплексных чисел). К примеру, выражения и не имеют смысла.

Вычисление корней n-ой степени подробно разобрано в статье извлечение корней.

На основании данного выше определения обосновываются свойства корней n-ой степени, которые имеют широкое практическое применение.

В заключение стоит сказать, что корни n-ой степени являются корнями уравнений вида xⁿ=a.

К началу страницы

Первый практически важный результат: .

Этот результат по сути отражает определение корня четной степени. Знак ⇔ означает равносильность. То есть, приведенную запись стоит понимать так: если , то , и если , то . А теперь то же самое, но словами: если b есть корень четной степени 2·k из числа a, то b – это неотрицательное число, удовлетворяющее равенству b^2·k=a, и обратно, если b – неотрицательное число, удовлетворяющее равенству b^2·k=a, то b есть корень четной степени 2·k из числа a.

Из первого равенства системы понятно, что число a – неотрицательное, так как оно равно неотрицательному числу b, возведенному в четную степень 2·k.

Таким образом, в школе рассматривают корни четных степеней только из неотрицательных чисел, понимают их как , а корням четных степеней из отрицательных чисел не придают никакого смысла.

Второй практически важный результат: .

Он по сути объединяет определение арифметического корня нечетной степени и определение корня нечетной степени из отрицательного числа. Поясним это.

Из определений, данных в предыдущих пунктах, понятно, что придают смысл корням нечетных степеней из любых действительных чисел, не только неотрицательных, но и отрицательных. Для неотрицательных чисел b считают, что . Из последней системы вытекает условие a≥0. Для отрицательных чисел −a (при этом a – положительное число) принимают . Понятно, что при таком определении - отрицательное число, так как оно равно , а есть положительное число. Также понятно, что возведение в степень 2·k+1 корня дает подкоренное число –a. Действительно, учитывая такое определение и свойства степеней, имеем

Из этого заключаем, что корень нечетной степени 2·k+1 из отрицательного числа −a есть такое отрицательное число b, степень 2·k+1 которого равна −a, в буквенном виде . Объединяя результаты для a≥0 и для –a<0, приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a, то есть .

Таким образом, в школе рассматривают корни нечетных степеней из любых действительных чисел и понимают их так: .

В заключение еще раз запишем два интересующих нас результата: и .