Уравнение плоскости, которая проходит через заданную прямую и заданную точку.
В этой статье собрана информация, необходимая для решения задачи составления уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку. После решения этой задачи в общем виде мы приведем развернутые решения примеров на составление уравнения плоскости, которая проходит через заданную прямую и точку.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана прямая a и точка 
, не лежащая на прямой a. Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости 
, проходящей через прямую a и точку М3.
Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.
Напомним две аксиомы:
- через три различные точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;
- если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точку M3 проходит единственная плоскость , и нам требуется написать уравнение этой плоскости.
Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку .
Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М1 и М2, лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М1, М2 и М3.
Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М1 и М2, лежащих на прямой a, а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1, М2 и М3, которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую a и точку М3.
Разберемся, как найти координаты двух различных точек М1 и М2, лежащих на заданной прямой a.
В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида 
. Тогда, приняв 
, имеем точку 
, лежащую на прямой a. Придав параметру 
отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты 
точки М2, также лежащей на прямой a и отличной от точки М1.
После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки 
и , в виде 
.
Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М3, не лежащую на прямой a.
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую.
Покажем решения нескольких примеров, в которых разберем рассмотренный метод нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.
Начнем с самого простого случая.
Пример.
Напишите общее уравнение плоскости, которая проходит через координатную прямую Ox и точку 
.
Решение.
Возьмем на координатной прямой Ox две различные точки, например, 
и 
.
Теперь получим уравнение плоскости, проходящей через три точки М1, М2 и М3:
Это уравнение является искомым общим уравнением плоскости, проходящей через заданную прямую Ox и точку .
Ответ:
.
Если известно, что плоскость проходит через заданную точку и заданную прямую, и требуется написать уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости, то следует сначала получить общее уравнение заданной плоскости, а от него переходить к уравнению плоскости требуемого вида.
Пример.
Составьте нормальное уравнение плоскости, которая проходит через прямую 
и точку 
.
Решение.
Сначала напишем общее уравнение заданной плоскости. Для этого найдем координаты двух различных точек, лежащих на прямой . Параметрические уравнения этой прямой имеют вид 
. Пусть точка М1 соответствует значению 
, а точка М2 - 
. Вычисляем координаты точек М1 и М2:
Теперь мы можем составить общее уравнение прямой, проходящей через точку и прямую :
Осталось получить требуемый вид уравнения плоскости, умножив обе части полученного уравнения на нормирующий множитель 
.
Ответ:
.
Итак, нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и заданную прямую, упирается в нахождение координат двух различных точек, лежащих на заданной прямой. В этом часто состоит основная сложность при решении подобных задач. В заключении разберем решение примера на составление уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую, которую определяют уравнения двух пересекающихся плоскостей.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка 
и прямая a, которая является линией пересечения двух плоскостей 
и 
. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую a и точку М3.
Решение.
Отталкиваясь от заданных уравнений двух пересекающихся плоскостей и , получим параметрические уравнения прямой a, чтобы найти координаты двух точек М1 и М2, лежащих на прямой a. После этого напишем требуемое уравнение плоскости, проходящей через точку М3 и прямую a, как уравнение плоскости, проходящей через три точки М1, М2 и М3.
Процесс перехода от уравнений двух плоскостей, пересекающихся по прямой a, к параметрическим уравнениям прямой a подробно описан в статье уравнения прямой – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Не будем на этом подробно останавливаться, а запишем лишь итоговый результат 
. При получаем точку 
, при - точку 
.
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую 
, имеет вид
Ответ:
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?