Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение плоскости, которая проходит через заданную прямую и заданную точку.


В этой статье собрана информация, необходимая для решения задачи составления уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку. После решения этой задачи в общем виде мы приведем развернутые решения примеров на составление уравнения плоскости, которая проходит через заданную прямую и точку.


Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана прямая a и точка формула, не лежащая на прямой a. Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости формула, проходящей через прямую a и точку М3.

Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.

Напомним две аксиомы:

Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точку M3 проходит единственная плоскость формула, и нам требуется написать уравнение этой плоскости.

Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку формула.

Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М1 и М2, лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М1, М2 и М3.

Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М1 и М2, лежащих на прямой a, а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1, М2 и М3, которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую a и точку М3.

Разберемся, как найти координаты двух различных точек М1 и М2, лежащих на заданной прямой a.

В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула. Тогда, приняв формула, имеем точку формула, лежащую на прямой a. Придав параметру формула отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты формула точки М2, также лежащей на прямой a и отличной от точки М1.

После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки формула и формула, в виде формула.

Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М3, не лежащую на прямой a.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую.


Покажем решения нескольких примеров, в которых разберем рассмотренный метод нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Начнем с самого простого случая.

Пример.

Напишите общее уравнение плоскости, которая проходит через координатную прямую Ox и точку формула.

Решение.

Возьмем на координатной прямой Ox две различные точки, например, формула и формула.

Теперь получим уравнение плоскости, проходящей через три точки М1, М2 и М3:
формула

Это уравнение является искомым общим уравнением плоскости, проходящей через заданную прямую Ox и точку формула.

Ответ:

формула.

Если известно, что плоскость проходит через заданную точку и заданную прямую, и требуется написать уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости, то следует сначала получить общее уравнение заданной плоскости, а от него переходить к уравнению плоскости требуемого вида.

Пример.

Составьте нормальное уравнение плоскости, которая проходит через прямую формула и точку формула.

Решение.

Сначала напишем общее уравнение заданной плоскости. Для этого найдем координаты двух различных точек, лежащих на прямой формула. Параметрические уравнения этой прямой имеют вид формула. Пусть точка М1 соответствует значению формула, а точка М2 - формула. Вычисляем координаты точек М1 и М2:
формула

Теперь мы можем составить общее уравнение прямой, проходящей через точку формула и прямую формула:
формула

Осталось получить требуемый вид уравнения плоскости, умножив обе части полученного уравнения на нормирующий множитель формула.

Ответ:

формула.

Итак, нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и заданную прямую, упирается в нахождение координат двух различных точек, лежащих на заданной прямой. В этом часто состоит основная сложность при решении подобных задач. В заключении разберем решение примера на составление уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую, которую определяют уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка формула и прямая a, которая является линией пересечения двух плоскостей формула и формула. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую a и точку М3.

Решение.

Отталкиваясь от заданных уравнений двух пересекающихся плоскостей формула и формула, получим параметрические уравнения прямой a, чтобы найти координаты двух точек М1 и М2, лежащих на прямой a. После этого напишем требуемое уравнение плоскости, проходящей через точку М3 и прямую a, как уравнение плоскости, проходящей через три точки М1, М2 и М3.

Процесс перехода от уравнений двух плоскостей, пересекающихся по прямой a, к параметрическим уравнениям прямой a подробно описан в статье уравнения прямой – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Не будем на этом подробно останавливаться, а запишем лишь итоговый результат формула. При формула получаем точку формула, при формула - точку формула.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку формула и прямую формула, имеет вид
формула

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+