Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.
В этой статье мы разберемся с задачей нахождения уравнения плоскости в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, когда известны координаты трех различных точек этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Сначала покажем принцип нахождения уравнения плоскости, после чего перейдем к решению примеров и задач, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
Прежде чем приступать к составлению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки пространства, вспомним одну аксиому: через три несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки трехмерного пространства проходит единственная плоскость. Таким образом, задав три различных и не лежащих на одной прямой точки, мы в трехмерном пространстве однозначно определим плоскость, проходящую через эти точки.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней заданы три несовпадающие точки 
, которые не лежат на одной прямой. Поставим перед собой следующую задачу: написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.
Покажем два способа ее решения.
Первый способ составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .
Известно, что общее уравнение плоскости вида 
задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость 
, которая проходит через точку 
, а нормальный вектор плоскости имеет координаты 
. Следовательно, мы можем составить общее уравнение плоскости, если знаем координаты точки, через которую она проходит, и координаты нормального вектора этой плоскости. От этого знания и будем отталкиваться при нахождении уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .
Итак, из условия задачи нам известны координаты точки (даже координаты трех точек), через которую проходит плоскость, уравнение которой нам требуется составить. Осталось отыскать координаты нормального вектора 
этой плоскости.
Так как нормальный вектор плоскости и любой ненулевой вектор этой плоскости перпендикулярны, то вектор перпендикулярен как вектору 
, так и вектору 
. Следовательно, в качестве вектора можно принять векторное произведение векторов и . Так как 
и 
(при необходимости обращайтесь к статье вычисление координат вектора по координатам точек), то 
. После вычисления записанного определителя, станут видны координаты нормального вектора , и можно записывать требуемое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Второй способ нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .
Очевидно, что множество точек 
определяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость, проходящую через три различные и не лежащие на одной прямой точки , тогда и только тогда, когда три вектора 
и компланарны.
Следовательно, должно выполняться условие компланарности трех векторов и , то есть, смешанное произведение векторов 
должно быть равно нулю: 
. Это равенство в координатной форме имеет вид 
. Оно, после вычисления определителя, представляет собой общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .
Далее, от полученного общего уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки, Вы при необходимости можете перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости.
Осталось рассмотреть решения примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через три несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки.
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
В предыдущем пункте статьи мы рассмотрели два способа нахождения уравнения плоскости, проходящей через три различные и не лежащие на одной прямой точки. Давайте рассмотрим их применение при решении задачи.
Пример.
Напишите уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки 
.
Решение.
Первый способ решения.
По координатам заданных точек вычисляем координаты векторов и :
Найдем векторное произведение векторов 
и 
, при этом не будем подробно расписывать вычисление определителя:
Следовательно, нормальным вектором плоскости, проходящей через три заданные точки, является вектор 
.
Теперь записываем уравнение плоскости, проходящей через точку 
(можно взять точку М2 или М3) и имеющей нормальный вектор . Оно имеет вид 
. Так мы получили общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Второй способ решения.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , записывается как . Из условия задачи имеем 
. Тогда
Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид 
.
Ответ:
.
В заключении рассмотрим решение примера, в котором требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, которые лежат на одной прямой. Сразу отметим, что эта задача не корректна (то есть, имеет не единственное решение), так как существует бесконечное множество плоскостей, проходящих через заданную прямую. Обычно такие задачи получаются из-за опечатки в условии. Такую задачу мы приводим лишь для того, чтобы Вы посмотрели, что происходит при ее решении разобранными способами, и знали, как быть в этом случае.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы три точки 
. Составьте уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Решение.
Воспользуемся первым способом решения.
Вычисляем координаты векторов и : 
. Находим векторное произведение векторов и : 
.
Так как 
, то векторы и коллинеарны (при необходимости смотрите статью условие коллинеарности вкторов), следовательно, заданные точки лежат на одной прямой. Таким образом, поставленная задача имеет бесконечное множество решений, так как любая плоскость, содержащая прямую, на которой лежат точки М1, М2, М3, является решением задачи.
Если будем решать эту задачу вторым способом, то получим:
Мы приходим к тождеству, из которого можно заключить, что заданные точки лежат на одной прямой.
Если Вам все же захочется написать уравнение какой-нибудь плоскости (из их бесконечного числа), проходящей через три точки , то следует выполнить следующие действия:
- написать уравнения прямой М1М2 (прямой М1М3 или М2М3) (здесь Вам будем полезна статья уравнение прямой, проходящей через две заданные точки),
-
взять некоторую точку
, координаты которой не удовлетворяют уравнениям прямой М1М2,
- составить уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки М1, М2 и М4.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?