Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве.


Эта статья является продолжением темы прямая в пространстве. Здесь мы от геометрического описания прямой линии в пространстве перейдем к алгебраическому описанию, то есть, определим прямую с помощью уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Статья построена следующим образом: сначала приведена общая информация, которая раскрывает значение фразы «уравнения прямой в пространстве», после этого рассмотрены уравнения прямой в пространстве различного вида, показана связь между ними и приведены примеры уравнений прямой.


Уравнения прямой в пространстве – начальные сведения.

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. С прямой в трехмерном пространстве дело обстоит немного иначе – не существует линейного уравнения с тремя переменными x, y и z, которому бы удовлетворяли только координаты точек прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz. Действительно, уравнение вида формула, где x, y и z – переменные, а A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и С одновременно не равны нулю, представляет собой общее уравнение плоскости. Тогда встает вопрос: «Каким же образом можно описать прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz»?

Ответ на него содержится в следующих пунктах статьи.

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Напомним одну аксиому: если две плоскости в пространстве имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой находятся все общие точки этих плоскостей. Таким образом, прямую линию в пространстве можно задать, указав две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

Переведем последнее утверждение на язык алгебры.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и известно, что прямая a является линией пересечения двух плоскостей формула и формула, которым отвечают общие уравнения плоскости вида формула и формула соответственно. Так как прямая a представляет собой множество всех общих точек плоскостей формула и формула, то координаты любой точки прямой a будут удовлетворять одновременно и уравнению формула и уравнению формула, координаты никаких других точек не будут удовлетворять одновременно обоим уравнениям плоскостей. Следовательно, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат Oxyz представляют собой частное решение системы линейных уравнений вида формула, а общее решение системы уравнений формула определяет координаты каждой точки прямой a, то есть, определяет прямую a.

изображение

Итак, прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей формула.

Вот пример задания прямой линии в пространстве с помощью системы двух уравнений - формула.

Описание прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей отлично подходит при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости, а также при нахождении координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Рекомендуем продолжить изучение этой темы, обратившись к статье уравнения прямой в пространстве - уравнения двух пересекающихся плоскостей. В ней дана более детальная информация, подробно разобраны решения характерных примеров и задач, а также показан способ перехода к уравнениям прямой в пространстве другого вида.

Следует отметить, что существуют различные способы задания прямой в пространстве, и на практике прямая чаще задается не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, лежащей на этой прямой. В этих случаях проще получить канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. О них поговорим в следующих пунктах.

Параметрические уравнения прямой в пространстве.


Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид формула, где x1, y1 и z1 – координаты некоторой точки прямой, ax, ay и az (ax, ay и az одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой, а формула - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.

При любом значении параметра формула по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел формула, она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при формула из параметрических уравнений прямой в пространстве получаем координаты x1, y1 и z1: формула.

В качестве примера рассмотрим прямую, которую задают параметрические уравнения вида формула. Эта прямая проходит через точку формула, а направляющий вектор этой прямой имеет координаты формула.

Рекомендуем продолжить изучение темы, обратившись к материалу статьи параметрические уравнения прямой в пространстве. В ней показан вывод параметрических уравнений прямой в пространстве, разобраны частные случаи параметрических уравнений прямой в пространстве, даны графические иллюстрации, приведены развернутые решения характерных задач и указана связь параметрических уравнений прямой с другими видами уравнений прямой.

Канонические уравнения прямой в пространстве.

Разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида формула относительно параметра формула, легко перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве вида формула.

Канонические уравнения прямой в пространстве определяют прямую, проходящую через точку формула, а направляющим вектором прямой является вектор формула. К примеру, уравнения прямой в каноническом виде формула соответствуют прямой, проходящей через точку пространства с координатами формула, направляющий вектор этой прямой имеет координаты формула.

Следует отметить, что одно или два из чисел формула в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа формула одновременно не могут быть равны нулю, так как направляющий вектор прямой не может быть нулевым). Тогда запись вида формула считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как формула, где формула.

Если одно из чисел формула в канонических уравнениях прямой равно нулю, то прямая лежит в одной из координатных плоскостей, либо в плоскости ей параллельной. Если два из чисел формула равны нулю, то прямая либо совпадает с одной из координатных осей, либо параллельна ей. Например прямая, соответствующая каноническим уравнениям прямой в пространстве вида формула, лежит в плоскости z=-2, которая параллельна координатной плоскости Oxy, а координатная ось Oy определяется каноническими уравнениями формула.

Графические иллюстрации этих случаев, вывод канонических уравнений прямой в пространстве, подробные решения характерных примеров и задач, а также переход от канонических уравнений прямой к другим уравнениям прямой в пространстве смотрите в статье канонические уравнения прямой в пространстве.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+