Нормальное уравнение плоскости - описание, примеры, решение задач.
В этой статье мы подробно разберем нормальное (нормированное) уравнение плоскости и его применение. Сначала выведем нормальное уравнение плоскости, приведем пример и разберем геометрический смысл нормального уравнения плоскости. После этого покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. В заключении разберем решение задачи, в которой требуется найти расстояние от точки до плоскости, отталкиваясь от нормального уравнения плоскости.
Нормальное уравнение плоскости – описание и пример.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz.
Рассмотрим плоскость, которая удалена на расстояние p () единиц от начала координат в положительном направлении нормального вектора плоскости . Будем считать, что длина вектора равна единице. Тогда его координаты равны направляющим косинусам, то есть, , причем . Обозначим расстояние от точки до плоскости как , то есть, точка N лежит на плоскости и длина отрезка ON равна p. Для наглядности отметим все данные на чертеже.
Получим уравнение этой плоскости.
Возьмем точку трехмерного пространства . Тогда ее радиус вектор имеет координаты , то есть, (при необходимости смотрите раздел координаты радиус-вектора точки). Очевидно, что множество точек определяют описанную ранее плоскость тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора на направление вектора равна p, то есть, (смотрите рисунок ниже).
Тогда определение скалярного произведения векторов и дает нам следующее равенство . Это же скалярное произведение в координатной форме представляется как . Сопоставление двух последних равенств дает нам искомое уравнение плоскости . Перенесем p в левую часть, и мы получим уравнение , которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Нормальное уравнение плоскости иногда называют нормированным уравнением плоскости.
Итак, нормальное уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости .
Следует заметить, что косинусы зачастую явно не фигурирует в нормальном уравнении плоскости, так как и - это некоторые действительные числа, сумма квадратов которых равна единице.
Приведем пример нормального уравнения плоскости.
Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением в нормальном виде . Здесь , нормальный вектор плоскости имеет координаты , его длина равна единице, так как . Более того, заданная плоскость находится на расстоянии 7 единиц от начала координат в направлении вектора , так как p = 7.
Очевидно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости вида , в котором числа A, B и C таковы, что длина нормального вектора плоскости равна единице, а число D неотрицательно.
Осталось разобраться с вопросом: «Как узнать, действительно ли перед нами нормальное уравнение плоскости»? Ответить на него достаточно просто: если выполняются оба условия и , то мы имеем уравнение плоскости в нормальном виде, если же хотя бы одно из условий не выполняется, то уравнение плоскости не является нормальным. Рассмотрим пример.
Пример.
Есть ли среди указанных уравнений уравнения плоскости в нормальном виде?
Решение.
Начнем с первого уравнения. Проверим, равна ли длина нормального вектора плоскости единице. Вычислим длину: . Осталось убедиться, что число p в этом уравнении положительно. Это действительно так, так как . Таким образом, первое уравнение плоскости является уравнением плоскости в нормальном виде.
Второе уравнение плоскости не является нормальным уравнением плоскости, так как не выполняется условие (в этом уравнении ).
В третьем уравнении длина нормального вектора не равна единице: . Поэтому оно не является уравнением плоскости в нормальном виде.
Ответ:
только первое уравнение является нормальным уравнением плоскости.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.
Общее уравнение плоскости может быть приведено к нормальному виду умножением его обеих частей на так называемый нормирующий множитель . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку числа D. Если D = 0, то знак нормирующего множителя значения не имеет.
Общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель будет действительно нормальным уравнением плоскости, так как длина вектора с координатами равна единице
,
а правило выбора знака нормирующего множителя гарантирует выполнение условия .
Разберем решения примеров.
Пример.
Приведите уравнение плоскости к нормальному виду.
Решение.
В нашем случае . Так как D – положительное число, то нормирующий множитель следует взять со знаком минус. Вычислим значение нормирующего множителя: . Для получения требуемого нормального уравнения плоскости умножим обе части исходного уравнения на нормирующий множитель:
Ответ:
Пример.
Напишите нормальное уравнение плоскости, заданной прямоугольной системе координат Oxyz уравнением .
Решение.
В этом случае имеем . Знак нормирующего множителя значения не имеет, так как D = 0. Возьмем его со знаком «+»: .
Умножив обе части исходного уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости в нормальном виде .
Ответ:
Нахождение расстояния от точки до плоскости.
Пришло время поговорить о наиболее важном приложении нормального уравнения плоскости - уравнение плоскости в нормальном виде в основном используется для нахождения расстояния от заданной точки пространства до плоскости.
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость задана нормальным уравнением плоскости вида и требуется найти расстояние от точки до этой плоскости. Оно может быть вычислено по формуле . То есть, расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине числа, которое получается при подстановке координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости. Вывод этой формулы, а также альтернативный способ нахождения требуемого расстояния даны в статье расстояние от точки до плоскости.
Пример.
Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана нормальным уравнением плоскости . Найдите расстояние от точки до этой плоскости.
Решение.
Подставим координаты точки в левую часть нормального уравнения плоскости: . Искомое расстояние равно абсолютной величине полученного значения, то есть, .
Ответ:
Если плоскость задана не уравнением в нормальном виде и требуется вычислить расстояние от заданной точки до этой плоскости, то следует сначала перейти к нормальному уравнению плоскости и применить формулу .
Пример.
Вычислите расстояние от точки до плоскости .
Решение.
Нам дано уравнение плоскости в отрезках. Приведем его к нормальному уравнению плоскости. Для этого сначала перейдем к общему уравнению этой плоскости, а полученное уравнение приведем к нормальному виду.
. Вычисляем нормирующий множитель, при этом берем его со знаком плюс: . Умножив обе части уравнения на нормирующий множитель, получаем нормальное уравнение исходной плоскости: .
Теперь имеем . У нас есть все данные, чтобы применить формулу для нахождения нужного расстояния от точки до плоскости:
Ответ:
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?