Прямая, плоскость, их уравнения

Нормальное уравнение плоскости - описание, примеры, решение задач.


В этой статье мы подробно разберем нормальное (нормированное) уравнение плоскости и его применение. Сначала выведем нормальное уравнение плоскости, приведем пример и разберем геометрический смысл нормального уравнения плоскости. После этого покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. В заключении разберем решение задачи, в которой требуется найти расстояние от точки до плоскости, отталкиваясь от нормального уравнения плоскости.


Нормальное уравнение плоскости – описание и пример.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz.

Рассмотрим плоскость, которая удалена на расстояние p (формула) единиц от начала координат в положительном направлении нормального вектора плоскости формула. Будем считать, что длина вектора формула равна единице. Тогда его координаты равны направляющим косинусам, то есть, формула, причем формула. Обозначим расстояние от точки до плоскости как формула, то есть, точка N лежит на плоскости и длина отрезка ON равна p. Для наглядности отметим все данные на чертеже.

изображение

Получим уравнение этой плоскости.

Возьмем точку трехмерного пространства формула. Тогда ее радиус вектор формула имеет координаты формула, то есть, формула (при необходимости смотрите раздел координаты радиус-вектора точки). Очевидно, что множество точек формула определяют описанную ранее плоскость тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора формула на направление вектора формула равна p, то есть, формула (смотрите рисунок ниже).

изображение

Тогда определение скалярного произведения векторов формула и формула дает нам следующее равенство формула. Это же скалярное произведение в координатной форме представляется как формула. Сопоставление двух последних равенств дает нам искомое уравнение плоскости формула. Перенесем p в левую часть, и мы получим уравнение формула, которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Нормальное уравнение плоскости иногда называют нормированным уравнением плоскости.

Итак, нормальное уравнение плоскости вида формула задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости формула.

Следует заметить, что косинусы зачастую явно не фигурирует в нормальном уравнении плоскости, так как формула и формула - это некоторые действительные числа, сумма квадратов которых равна единице.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением в нормальном виде формула. Здесь формула, нормальный вектор плоскости формула имеет координаты формула, его длина равна единице, так как формула. Более того, заданная плоскость находится на расстоянии 7 единиц от начала координат в направлении вектора формула, так как p = 7.

Очевидно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости вида формула, в котором числа A, B и C таковы, что длина нормального вектора плоскости формула равна единице, а число D неотрицательно.

Осталось разобраться с вопросом: «Как узнать, действительно ли перед нами нормальное уравнение плоскости»? Ответить на него достаточно просто: если выполняются оба условия формула и формула, то мы имеем уравнение плоскости в нормальном виде, если же хотя бы одно из условий не выполняется, то уравнение плоскости не является нормальным. Рассмотрим пример.

Пример.

Есть ли среди указанных уравнений уравнения плоскости в нормальном виде?

  • формула;
  • формула;
  • формула.

Решение.

Начнем с первого уравнения. Проверим, равна ли длина нормального вектора плоскости формула единице. Вычислим длину: формула. Осталось убедиться, что число p в этом уравнении положительно. Это действительно так, так как формула. Таким образом, первое уравнение плоскости является уравнением плоскости в нормальном виде.

Второе уравнение плоскости не является нормальным уравнением плоскости, так как не выполняется условие формула (в этом уравнении формула).

В третьем уравнении длина нормального вектора формула не равна единице: формула. Поэтому оно не является уравнением плоскости в нормальном виде.

Ответ:

только первое уравнение является нормальным уравнением плоскости.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.


Общее уравнение плоскости формула может быть приведено к нормальному виду умножением его обеих частей на так называемый нормирующий множитель формула. Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку числа D. Если D = 0, то знак нормирующего множителя значения не имеет.

Общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель будет действительно нормальным уравнением плоскости, так как длина вектора с координатами формула равна единице
формула,
а правило выбора знака нормирующего множителя гарантирует выполнение условия формула.

Разберем решения примеров.

Пример.

Приведите уравнение плоскости формула к нормальному виду.

Решение.

В нашем случае формула. Так как D – положительное число, то нормирующий множитель следует взять со знаком минус. Вычислим значение нормирующего множителя: формула. Для получения требуемого нормального уравнения плоскости умножим обе части исходного уравнения на нормирующий множитель:
формула

Ответ:

формула

Пример.

Напишите нормальное уравнение плоскости, заданной прямоугольной системе координат Oxyz уравнением формула.

Решение.

В этом случае имеем формула. Знак нормирующего множителя значения не имеет, так как D = 0. Возьмем его со знаком «+»: формула.

Умножив обе части исходного уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости в нормальном виде формула.

Ответ:

формула

Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Пришло время поговорить о наиболее важном приложении нормального уравнения плоскости - уравнение плоскости в нормальном виде в основном используется для нахождения расстояния от заданной точки пространства до плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость задана нормальным уравнением плоскости вида формула и требуется найти расстояние формула от точки формула до этой плоскости. Оно может быть вычислено по формуле формула. То есть, расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине числа, которое получается при подстановке координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости. Вывод этой формулы, а также альтернативный способ нахождения требуемого расстояния даны в статье расстояние от точки до плоскости.

Пример.

Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана нормальным уравнением плоскости формула. Найдите расстояние от точки формула до этой плоскости.

Решение.

Подставим координаты точки формула в левую часть нормального уравнения плоскости: формула. Искомое расстояние равно абсолютной величине полученного значения, то есть, формула.

Ответ:

формула

Если плоскость задана не уравнением в нормальном виде и требуется вычислить расстояние от заданной точки до этой плоскости, то следует сначала перейти к нормальному уравнению плоскости и применить формулу формула.

Пример.

Вычислите расстояние от точки формула до плоскости формула.

Решение.

Нам дано уравнение плоскости в отрезках. Приведем его к нормальному уравнению плоскости. Для этого сначала перейдем к общему уравнению этой плоскости, а полученное уравнение приведем к нормальному виду.

формула. Вычисляем нормирующий множитель, при этом берем его со знаком плюс: формула. Умножив обе части уравнения формула на нормирующий множитель, получаем нормальное уравнение исходной плоскости: формула.

Теперь имеем формула. У нас есть все данные, чтобы применить формулу для нахождения нужного расстояния от точки до плоскости:
формула

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+