Математика на cleverstudents.ru

Прямая, плоскость, их уравнения

Нормальное уравнение плоскости - описание, примеры, решение задач.

В этой статье мы подробно разберем нормальное (нормированное) уравнение плоскости и его применение. Сначала выведем нормальное уравнение плоскости, приведем пример и разберем геометрический смысл нормального уравнения плоскости. После этого покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. В заключении разберем решение задачи, в которой требуется найти расстояние от точки до плоскости, отталкиваясь от нормального уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости – описание и пример.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz.

Рассмотрим плоскость, которая удалена на расстояние p () единиц от начала координат в положительном направлении нормального вектора плоскости . Будем считать, что длина вектора равна единице. Тогда его координаты равны направляющим косинусам, то есть, , причем . Обозначим расстояние от точки до плоскости как , то есть, точка N лежит на плоскости и длина отрезка ON равна p. Для наглядности отметим все данные на чертеже.

Получим уравнение этой плоскости.

Возьмем точку трехмерного пространства . Тогда ее радиус вектор имеет координаты , то есть, (при необходимости смотрите раздел координаты радиус-вектора точки). Очевидно, что множество точек определяют описанную ранее плоскость тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора на направление вектора равна p, то есть, (смотрите рисунок ниже).

Тогда определение скалярного произведения векторов и дает нам следующее равенство . Это же скалярное произведение в координатной форме представляется как . Сопоставление двух последних равенств дает нам искомое уравнение плоскости . Перенесем p в левую часть, и мы получим уравнение , которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Нормальное уравнение плоскости иногда называют нормированным уравнением плоскости.

Итак, нормальное уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости .

Следует заметить, что косинусы зачастую явно не фигурирует в нормальном уравнении плоскости, так как и - это некоторые действительные числа, сумма квадратов которых равна единице.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением в нормальном виде . Здесь , нормальный вектор плоскости имеет координаты , его длина равна единице, так как . Более того, заданная плоскость находится на расстоянии 7 единиц от начала координат в направлении вектора , так как p = 7.

Очевидно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости вида , в котором числа A, B и C таковы, что длина нормального вектора плоскости равна единице, а число D неотрицательно.

Осталось разобраться с вопросом: «Как узнать, действительно ли перед нами нормальное уравнение плоскости»? Ответить на него достаточно просто: если выполняются оба условия и , то мы имеем уравнение плоскости в нормальном виде, если же хотя бы одно из условий не выполняется, то уравнение плоскости не является нормальным. Рассмотрим пример.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Общее уравнение плоскости может быть приведено к нормальному виду умножением его обеих частей на так называемый нормирующий множитель . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку числа D. Если D = 0, то знак нормирующего множителя значения не имеет.

Общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель будет действительно нормальным уравнением плоскости, так как длина вектора с координатами равна единице
,
а правило выбора знака нормирующего множителя гарантирует выполнение условия .

Разберем решения примеров.

Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Пришло время поговорить о наиболее важном приложении нормального уравнения плоскости - уравнение плоскости в нормальном виде в основном используется для нахождения расстояния от заданной точки пространства до плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость задана нормальным уравнением плоскости вида и требуется найти расстояние от точки до этой плоскости. Оно может быть вычислено по формуле . То есть, расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине числа, которое получается при подстановке координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости. Вывод этой формулы, а также альтернативный способ нахождения требуемого расстояния даны в статье расстояние от точки до плоскости.

Если плоскость задана не уравнением в нормальном виде и требуется вычислить расстояние от заданной точки до этой плоскости, то следует сначала перейти к нормальному уравнению плоскости и применить формулу .

Некогда разбираться?

Закажите решение