Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.


Продолжаем изучение темы уравнения прямой в пространстве. Из аксиом стереометрии нам известно, что если две несовпадающие плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В этой статье мы рассмотрим прямую в пространстве именно как линию пересечения двух плоскостей и определим эту прямую линию в прямоугольной системе координат с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей. Материал статьи снабдим примерами, необходимыми графическими иллюстрациями и развернутыми решениями характерных задач.


Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и пусть даны две пересекающиеся и несовпадающие плоскости формула и формула. Так как любую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz определяет общее уравнение плоскости вида формула при некотором наборе значений А, В, С и D, то будем считать, что плоскостям формула и формула соответствуют уравнения формула и формула. Тогда формула - нормальный вектор плоскости формула, а формула - нормальный вектор плоскости формула. Эти векторы не коллинеарны, так как плоскости формула и формула не совпадают и не параллельны. На языке математики это условие запишется как формула (при необходимости смотрите статью параллельность плоскостей). Обозначим буквой a прямую, по которой пересекаются плоскости формула и формула, то есть, формула.

Прямая а представляет собой множество всех общих точек плоскостей формула и формула. Следовательно, координаты любой точки прямой a удовлетворяют одновременно и уравнению формула и уравнению формула, то есть, являются частным решением системы уравнений формула. Тогда общее решение системы линейных уравнений вида формула определяет координаты каждой точки прямой, по которой пересекаются плоскости формула и формула, а значит, определяет прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

изображение

Приведем пример прямой в пространстве, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Очевидно, что координатная прямая Ox является прямой, по которой пересекаются координатные плоскости Oxy и Oxz. Плоскость Oxy задается уравнением z = 0, а плоскость Oxz уравнением y = 0 (при необходимости смотрите раздел неполное общее уравнение плоскости). Таким образом, координатная прямая Ox в прямоугольной системе координат Oxyz определяется системой из двух уравнений следующего вида формула.

Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются две плоскости.


Сначала рассмотрим следующую задачу. Пусть прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве прямая a задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей как формула и дана точка трехмерного пространства формула. Требуется определить, принадлежит ли точка M0 заданной прямой a.

Для решения поставленной задачи нужно подставить координаты точки формула в каждое из двух уравнений, соответствующих пересекающимся плоскостям. Если при этом получим два верных равенства формула и формула (это будет означать, что точа М0 принадлежит и плоскости формула и формула), то точка М0 принадлежит заданной прямой. Если хотя бы одно из равенств формула или формула неверно, то точка М0 не лежит на прямой a.

Рассмотрим пример.

Пример.

Лежат ли точки формула и формула на прямой, заданной в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей формула.

Решение.

Подставим координаты точки М0 в уравнения системы: формула. При этом получаем два верных равенства, следовательно, точка формула лежит на заданной прямой.

Теперь подставляем координаты точки N0: формула. Второе уравнение системы обратилось в неверное равенство, поэтому, точка формула не лежит на заданной прямой.

Ответ:

точка М0 лежит на прямой, а N0 не лежит.

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат некоторой точки, лежащей на прямой, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат определяется уравнениями пересекающихся плоскостей формула.

Решением этой задачи является любое из бесконечного множества решений системы из двух линейных уравнений с тремя неизвестными вида формула. Решение подобных систем уравнений подробно разобрано в статье решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число неизвестных переменных не совпадает с количеством уравнений.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите координаты любой точки прямой, заданной в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей формула.

Решение.

Перепишем систему уравнений в следующем виде
формула

В качестве базисного минора основной матрицы системы возьмем отличный от нуля минор второго порядка формула, то есть, z – свободная неизвестная переменная. Перенесем слагаемые, содержащие z, в правые части уравнений: формула.

Примем формула, где формула - произвольное действительное число, тогда формула.

Решим полученную систему уравнений методом Крамера:
формула

Таким образом, общее решение системы уравнений формула имеет вид формула, где формула.

Если взять конкретное значение параметра формула, то мы получим частное решение системы уравнений, которое нам дает искомые координаты точки, лежащей на заданной прямой. Возьмем формула, тогда формула, следовательно, формула - искомая точка прямой.

Можно выполнить проверку найденных координат точки, подставив их в исходые уравнения двух пересекающихся плоскостей:
формула

Ответ:

формула

Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости.

В прямоугольной системе координат от прямой линии неотделим направляющий вектор прямой. Когда прямая а в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей формула и формула, то координаты направляющего вектора прямой не видны. Сейчас мы покажем, как их определять.

Мы знаем, что прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этими фактами и воспользуемся при нахождении направляющего вектора прямой.

Прямая а лежит как в плоскости формула, так и в плоскости формула. Следовательно, направляющий вектор формула прямой а перпендикулярен и нормальному вектору формула плоскости формула, и нормальному вектору формула плоскости формула. Таким образом, направляющим вектором прямой а является векторное произведение векторов формула и формула:
формула

Множество всех направляющих векторов прямой а мы можем задать как формула, где формула - параметр, принимающий любые действительные значения, отличные от нуля.

Пример.

Найдите координаты любого направляющего вектора прямой, которая задана в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей формула.

Решение.

Нормальными векторами плоскостей формула и формула являются векторы формула и формула соответственно. Направляющим вектором прямой, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, примем векторное произведение нормальных векторов:
формула

В координатной форме формула (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат).

Ответ:

формула

Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве.

Бывают случаи, в которых использование уравнений двух пересекающихся плоскостей для описания прямой не совсем удобно. Некоторые задачи проще решаются, если известны канонические уравнения прямой в пространстве вида формула или параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула, где x1, y1, z1 - координаты некоторой точки прямой, ax, ay, az - координаты направляющего вектора прямой, а формула - параметр, принимающий произвольные действительные значения. Опишем процесс перехода от уравнений прямой вида формула к каноническим и параметрическим уравнениям прямой в пространстве.

В предыдущих пунктах мы научились находить координаты некоторой точки прямой, а также координаты некоторого направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Этих данных достаточно, чтобы записать и канонические и параметрические уравнения этой прямой в прямоугольной системе координат в пространстве.

Рассмотрим решение примера, а после этого покажем еще один способ нахождения канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пример.

Прямая в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей формула. Напишите канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Решение.

Вычислим сначала координаты направляющего вектора прямой. Для этого найдем векторное произведение нормальных векторов формула и формула плоскостей формула и формула:
формула

То есть, формула.

Теперь определим координаты некоторой точки заданной прямой. Для этого найдем одно из решений системы уравнений формула.

Определитель формула отличен от нуля, возьмем его в качестве базисного минора основной матрицы системы. Тогда переменная z является свободной, переносим слагаемые с ней в правые части уравнений, и придаем переменной z произвольное значение формула:
формула

Решаем методом Крамера полученную систему уравнений:
формула

Следовательно,
формула

Примем формула, при этом получаем координаты точки прямой: формула.

Теперь мы можем записать требуемые канонические и параметрические уравнения исходной прямой в пространстве:
формула

Ответ:

формула и формула

Вот второй способ решения этой задачи.

При нахождении координат некоторой точки прямой мы решаем систему уравнений формула. В общем случае ее решения можно записать в виде формула.

А это как раз искомые параметрические уравнения прямой в пространстве. Если каждое из полученных уравнений разрешить относительно параметра формула и после этого приравнять правые части равенств, то получим канонические уравнения прямой в пространстве
формула

Покажем решение предыдущей задачи по этому методу.

Пример.

Прямая в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей формула. Напишите канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Решение.

Решаем данную систему из двух уравнений с тремя неизвестными (решение приведено в предыдущем примере, не будем повторяться). При этом получаем формула. Это и есть искомые параметрические уравнения прямой в пространстве.

Осталось получить канонические уравнения прямой в пространстве:
формула

Полученные уравнения прямой внешне отличаются от уравнений, полученных в предыдущем примере, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства (а значит, одну и ту же прямую).

Ответ:

формула и формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+