Уравнение плоскости в отрезках - описание, примеры, решение задач.
В этой статье рассмотрим особый вид уравнения плоскости – уравнение плоскости в отрезках. Сначала дадим вид уравнения плоскости в отрезках, приведем пример и необходимые пояснения. Далее остановимся на применении уравнения плоскости в отрезках для построения плоскости в прямоугольной системе координат в пространстве. В заключении покажем, как от общего уравнения плоскости перейти к уравнению плоскости в отрезках, и подробно разберем решение примера.
Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры.
Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида 
, где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек 
удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:
Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.
Рассмотрим пример.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz плоскость проходит через точки на координатных осях 
и 
. Напишите уравнение этой плоскости в отрезках.
Решение.
Заданная плоскость отсекает отрезок длиной 2 единицы в отрицательном направлении оси абсцисс, длиной 
- в положительном направлении оси ординат, длиной 
в отрицательном направлении оси аппликат, считая от начала координат. Таким образом, уравнение этой плоскости в отрезках имеет вид 
.
Ответ:
Из приведенной информации видно, что уравнение плоскости в отрезках очень удобно использовать при изображении плоскости на чертеже. Покажем это на примере.
Пример.
Постройте плоскость, определенную в прямоугольной системе координат Oxy уравнением плоскости в отрезках 
.
Решение.
Сначала изображаем координатные оси, обозначаем начало координат, задаем единичные отрезки на каждой оси. Отмечаем точку, удаленную на 5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая заданному уравнению плоскости в отрезках .
Ответ:
Если же стоит задача изобразить на чертеже плоскость, заданную уравнением другого вида, то целесообразно сначала получить уравнение этой плоскости в отрезках (об этом мы поговорим в следующем пункте), отметить точки и провести через них плоскость (построить треугольник, считая эти три точки его вершинами).
Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.
Пусть нам известно общее уравнение плоскости в пространстве 
и нам требуется получить уравнение этой плоскости в отрезках.
Эту задачу мы можем решить только тогда, когда плоскость пересекает каждую из координатных осей, причем НЕ в начале координат. Мы не сможем получить уравнение плоскости в отрезках, если плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей, параллельна одной из координатных плоскостей, проходит через одну из координатных осей или параллельна одной из координатных осей. Другими словами, к уравнению в отрезках мы можем привести лишь полное уравнение плоскости, то есть, уравнение при 
.
Опишем процесс приведения полного общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.
-
Слагаемое D переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком
.
-
Так как
, то обе части полученного уравнения можно разделить на –D: 
.
-
Осталось выполнить последний шаг. Так как
, то коэффициенты перед переменными x, y и z можно отправить в знаменатели, то есть, последнее уравнение эквивалентно равенству 
. При этом мы использовали очевидное равенство 
.
Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках. Это хорошо видно, если обозначить 
.
Покажем решение примера.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве лоскость задана уравнением 
. Получите уравнение этой плоскости в отрезках.
Решение.
Исходное уравнение является общим полным уравнением плоскости, поэтому его можно привести к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем -6 в правую часть 
. Разделим обе части полученного равенства на шесть: 
. Отправляем коэффициенты при переменных x, y и z в знаменатели: 
. Так мы получили требуемое уравнение плоскости в отрезках.
Ответ:
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?