Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение плоскости в отрезках - описание, примеры, решение задач.


В этой статье рассмотрим особый вид уравнения плоскости – уравнение плоскости в отрезках. Сначала дадим вид уравнения плоскости в отрезках, приведем пример и необходимые пояснения. Далее остановимся на применении уравнения плоскости в отрезках для построения плоскости в прямоугольной системе координат в пространстве. В заключении покажем, как от общего уравнения плоскости перейти к уравнению плоскости в отрезках, и подробно разберем решение примера.


Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида формула, где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек формула удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:
формула

Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.

изображение

Рассмотрим пример.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz плоскость проходит через точки на координатных осях формула и формула. Напишите уравнение этой плоскости в отрезках.

Решение.

Заданная плоскость отсекает отрезок длиной 2 единицы в отрицательном направлении оси абсцисс, длиной формула - в положительном направлении оси ординат, длиной формула в отрицательном направлении оси аппликат, считая от начала координат. Таким образом, уравнение этой плоскости в отрезках имеет вид формула.

Ответ:

формула

Из приведенной информации видно, что уравнение плоскости в отрезках очень удобно использовать при изображении плоскости на чертеже. Покажем это на примере.

Пример.

Постройте плоскость, определенную в прямоугольной системе координат Oxy уравнением плоскости в отрезках формула.

Решение.

Сначала изображаем координатные оси, обозначаем начало координат, задаем единичные отрезки на каждой оси. Отмечаем точку, удаленную на 5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая заданному уравнению плоскости в отрезках формула.

Ответ:

изображение

Если же стоит задача изобразить на чертеже плоскость, заданную уравнением другого вида, то целесообразно сначала получить уравнение этой плоскости в отрезках (об этом мы поговорим в следующем пункте), отметить точки формула и провести через них плоскость (построить треугольник, считая эти три точки его вершинами).

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.


Пусть нам известно общее уравнение плоскости в пространстве формула и нам требуется получить уравнение этой плоскости в отрезках.

Эту задачу мы можем решить только тогда, когда плоскость пересекает каждую из координатных осей, причем НЕ в начале координат. Мы не сможем получить уравнение плоскости в отрезках, если плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей, параллельна одной из координатных плоскостей, проходит через одну из координатных осей или параллельна одной из координатных осей. Другими словами, к уравнению в отрезках мы можем привести лишь полное уравнение плоскости, то есть, уравнение формула при формула.

Опишем процесс приведения полного общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.

Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках. Это хорошо видно, если обозначить формула.

Покажем решение примера.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве лоскость задана уравнением формула. Получите уравнение этой плоскости в отрезках.

Решение.

Исходное уравнение является общим полным уравнением плоскости, поэтому его можно привести к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем -6 в правую часть формула. Разделим обе части полученного равенства на шесть: формула. Отправляем коэффициенты при переменных x, y и z в знаменатели: формула. Так мы получили требуемое уравнение плоскости в отрезках.

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+