Прямая, плоскость, их уравнения

Параметрические уравнения прямой в пространстве - описание, примеры, решение задач.


В этой статье мы подробно изучим параметрические уравнения прямой в пространстве. Сначала получим вид параметрических уравнений прямой и приведем пример параметрических уравнений прямой в пространстве. После этого разберемся, как составляются параметрические уравнения прямой когда известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки, лежащей на прямой. Далее в прямоугольной системе координатв трехмерном пространстве рассмотрим прямые, которые параллельны координатным осям и координатным плоскостям, и получим параметрические уравнения таких прямых. В заключении научимся переходить от параметрических уравнений прямой в пространстве к другим уравнениям этой прямой и приведем развернутые решения характерных задач.


Параметрические уравнения прямой в пространстве – описание и примеры.

Мы уже выводили параметические уравнения прямой на плоскости, давайте получим параметрические уравнения прямой, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую a (смотрите раздел способы задания прямой в пространстве), указав направляющий вектор прямой формула и координаты некоторой точки прямой формула. От этих данных будем отталкиваться при составлении параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пусть формула - произвольная точка трехмерного пространства. Если вычесть из координат точки М соответствующие координаты точки М1, то мы получим координаты вектора формула (смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его конца и начала), то есть, формула.

Очевидно, что множество точек формула определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы формула и формула коллинеарны.

изображение

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов формула и формула: формула, где формула - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид формула и представляет собой параметрические уравнения прямой a. Название "параметрические" не случайно, так как координаты всех точек прямой задаются с помощью параметра формула.

Приведем пример параметрических уравнений прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве: формула. Здесь формула.

Составление параметрических уравнений прямой в пространстве.


Итак, параметрические уравнения прямой вида формула в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве соответствуют прямой, проходящей через точку формула, и имеющей направляющий вектор формула. Таким образом, по известным параметрическим уравнениям прямой мы можем сразу записать координаты направляющего вектора прямой, а по известным координатам направляющего вектора прямой и координатам некоторой точки прямой мы можем сразу составить параметрические уравнения этой прямой в пряомугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве задана параметрическими уравнениями формула. Найдите координаты всех направляющих векторов этой прямой.

Решение.

Перепишем исходные параметрические уравнения прямой в следующем виде формула. Коэффициенты перед параметром формула в параметрических уравнениях дают соответствующие координаты направляющего вектора прямой, то есть, формула - направляющий вектор заданной прямой. Тогда в силу коллинеарности всех направляющих векторов прямой, их координаты мы можем записать как формула.

Ответ:

формула

Пример.

Напишите параметрические уравнения прямой, если в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве формула - ее направляющий вектор, а формула - лежащая на прямой точка.

Решение.

Из условия имеем формула. Подставляем эти данные, в параметрические уравнения прямой вида формула:
формула

Ответ:

формула - искомые параметрические уравнения прямой в пространстве.

Мы только что рассмотрели простейшие задачи на составление параметрических уравнений прямой в пространстве. В более сложных задачах сначала приходится находить координаты направляющего вектора прямой или координаты некоторой точки прямой и только после этого записывать параметрические уравнения прямой.

Обговорим еще некоторые моменты.

При любом значении параметра формула по параметрическим уравнениям прямой мы можем вычислить тройку чисел формула, она будет соответствовать некоторой лежащей на прямой точке. Например, координаты точки формула находятся из параметрических уравнений прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве вида формула при формула:
формула

Пример.

Лежат ли точки формула и формула на прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве параметрическими уравнениями прямой вида формула.

Решение.

Подставим координаты точки М1 в заданные параметрические уравнения прямой: формула. Таким образом, значению параметра формула соответствует точка формула, то есть, она лежит на прямой.

Проводим такую же процедуру с координатами точки N1: формула. При этом видно, что не существует такого значения параметра формула, при котором параметрические уравнения прямой давали бы координаты точки формула. Иными словами, точка формула не лежит на прямой.

Ответ:

точка M1 лежит на прямой, а N1 – не лежит.

Следует также отметить, что если точки формула и формула лежат на прямой а, то прямую в заданной прямоугольной системе координат Oxyz можно определить как параметрическими уравнениями вида формула, так и параметрическими уравнениями прямой вида формула. Приведем пример. Пусть формула - направляющий вектора прямой а, точки формула и формула лежат на прямой а, тогда параметрические уравнения этой прямой можно составить как формула или как формула.

Обратите внимание еще на один факт: если формула - направляющий вектор прямой a в прямоугольной системе координат Oxyz, то направляющим вектором прямой а также является любой из векторов формула. Следовательно, прямую а можно задать параметрическими уравнениями прямой вида формула или формула. Пусть, к примеру, прямая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве вида формула. Очевидно, что формула - направляющий вектор этой прямой. Тогда любой из векторов формула также является направляющим вектором этой прямой. Для определенности возьмем вектор формула, соответствующий значению формула. При этом параметрические уравнения прямой примут вид формула.

Частные случаи параметрических уравнений прямой в пространстве.

В параметрических уравнениях прямой в пространстве вида формула одно или два из чисел формула могут быть равными нулю (одновременно все три числа формула быть равными нулю не могут, так как направляющий вектор прямой формула всегда ненулевой). Сейчас рассмотрим подробнее эти частные случаи параметрических уравнений прямой.

Если формула, то параметрические уравнения прямой примут вид формула. Этим уравнениям в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве соответствуют прямые, лежащие в плоскости формула (эта плоскость параллельна координатной плоскости Oyz), так как абсцисса любой точки этой прямой равна формула.

Если формула или формула, то имеем параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула или формула соответственно. Эти уравнения определяют в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямые, которые лежат в плоскостях формула или формула соответственно.

изображение

При формула и формула имеем параметрические уравнения прямой формула и формула соответственно. Прямые, определяемые такими параметрическими уравнениями, параллельны координатным осям Oz, Oy и Ox соответственно (или совпадают с этими координатными осями при формула и формула соответственно). Это достаточно очевидно, если записать координаты направляющих векторов каждой из прямых.

изображение

Пример.

Напишите параметрические уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, если прямая проходит через точку формула параллельно координатной оси Oy.

Решение.

Так как прямая, уравнения которой нам требуется написать, параллельна оси ординат, то ее направляющим вектором можно взять координатный вектор формула. Теперь записываем искомые параметрические уравнения прямой формула.

Ответ:

формула

Переход от параметрических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.

Существуют различные виды уравнений прямой в пространстве. В зависимости от условий решаемой задачи, которая связана с прямой линией в прямоугольной системе координат в пространстве, иногда приходится переходить от одного вида уравнений прямой к другому.

Сейчас мы покажем как из параметрических уравнений прямой формула получить канонические уравнения прямой в пространстве вида формула и уравнения двух пересекающихся плоскостей вида формула, определяющих заданную прямую.

Получить канонические уравнения прямой в заданной прямоугольной системе координат в пространстве при известных параметрических уравнениях прямой не представляет сложности. Для этого нужно разрешить каждое из параметрических уравнений прямой относительно параметра формула и приравнять правые части полученных равенств:
формула

Пример.

Перейдите от параметрических уравнений прямой формула к каноническим уравнениям прямой в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Решение.

Перепишем исходные параметрические уравнения прямой в виде формула. Разрешим каждое из них относительно параметра и приравняем правые части полученных равенств:
формула

Ответ:

формула

Теперь давайте разберемся, как получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые бы задавали прямую, соответствующую параметрическим уравнениям прямой вида формула.

Начнем с самых простых случаев.

Если формула, то параметрические уравнения прямой имеют вид формула. В этом случае очевидно, что прямая является линией пересечения плоскостей формула и формула.

Аналогично, если формула, то параметрические уравнения прямой формула задают прямую линию, по которой пересекаются две плоскости формула и формула. При формула, прямая формула задается двумя пересекающимися плоскостями формула и формула.

Пример.

Напишите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве параметрическими уравнениями формула.

Решение.

Из заданных параметрических уравнений прямой мы можем сразу записать уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих эту прямую: формула.

Ответ:

формула

Переходим к следующим случаям.

Если формула, то параметрические уравнения прямой примут вид формула. Уравнение первой плоскости очевидно - формула. Для получения второго уравнения плоскости нужно разрешить второе и третье параметрические уравнения относительно параметра формула и приравнять правые части:
формула

Аналогично поступаем, если формула или формула.

Пример.

Получите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, определяемой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве параметрическими уравнениями формула.

Решение.

Уравнение первой плоскости очевидно: формула. Уравнение второй плоскости получим, отталкиваясь от первого и третьего параметрических уравнений прямой:
формула

Ответ:

формула

Остался не рассмотрен один случай – когда формула. При этом следует разрешить каждое параметрическое уравнение прямой относительно параметра формула и попарно приравнять правые части:
формула

Тогда приходим к трем уравнениям пучка плоскостей с линией пересечения, определяемой параметрическими уравнениями прямой формула. Нам достаточно двух из трех уравнений плоскостей пучка.

Пример.

Напишите уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую линию, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве задана параметрическими уравнениями вида формула.

Решение.

Разрешим параметрические уравнения прямой относительно параметра формула:
формула

После попарного приравнивания правых частей равенств имеем
формула

Берем любые два из трех полученных уравнений плоскостей.

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+