Векторы, действия с векторами Помощь в написании работ

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.


Если на плоскости или в трехмерном пространстве ввести систему координат, то мы получим возможность описывать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств, то есть, мы сможем использовать методы алгебры. Поэтому понятие системы координат очень важно.

В этой статье мы покажем как задается прямоугольная декартова система координат на плоскости и в трехмерном пространстве и выясним как определяются координаты точек. Для наглядности приведем графические иллюстрации.


Прямоугольная декартова система координат на плоскости.

Введем прямоугольную систему координат на плоскости.

Для этого проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, выберем на каждой из них положительное направление, указав его стрелочкой, и выберем на каждой из них масштаб (единицу измерения длины). Обозначим точку пересечения этих прямых буквой О и будем считать ее началом отсчета. Так мы получили прямоугольную систему координат на плоскости.

Каждую из прямых с выбранным началом отсчета О, направлением и масштабом называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольную систему координат на плоскости обычно обозначают Oxy, где Ox и Oy – ее координатные оси. Ось Ox называют осью абсцисс, а ось Oyосью ординат.

Сейчас условимся с изображением прямоугольной системы координат на плоскости.

Обычно единица измерения длины на осях Ox и Oy выбирается одинаковая и откладывается от начала координат на каждой координатной оси в положительном направлении (отмечается штришком на координатных осях и рядом записывается единица), ось абсцисс направляется вправо, а ось ординат – вверх. Все остальные варианты направления координатных осей сводятся к озвученному (ось Ox - вправо, ось Oy - вверх) при помощи поворота системы координат на некоторый угол относительно начала координат и взгляда на нее с другой стороны плоскости (при необходимости).

изображение

Прямоугольную систему координат часто называют декартовой, так как ее на плоскости впервые ввел Рене Декарт. Еще чаще прямоугольную систему координат называют прямоугольной декартовой системой координат, собирая все воедино.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве.


Аналогично задается прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном евклидовом пространстве, только берется не две, а три взаимно перпендикулярных прямых. Другими словами, к координатным осям Оx и Oy добавляется координатная ось Oz, которую называют осью аппликат.

В зависимости от направления координатных осей различают правую и левую прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве.

Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит против хода часовой стрелки, то система координат называется правой.

Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит по ходу часовой стрелки, то система координат называется левой.

изображение

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости.

Сначала рассмотрим координатную прямую Ox и возьмем некоторую точку M на ней.

Каждому действительному числу формула соответствует единственная точка M на этой координатной прямой. К примеру, точке, расположенной на координатной прямой на расстоянии формула от начала отсчета в положительном направлении, соответствует число формула, а числу -3 соответствует точка, расположенная на расстоянии 3 от начала отсчета в отрицательном направлении. Числу 0 соответствует начало отсчета.

С другой стороны, каждой точке M на координатной прямой Ox соответствует действительное число формула. Это действительное число есть ноль, если точка M совпадает с началом отсчета (с точкой O). Это действительное число положительно и равно длине отрезка OM в данном масштабе, если точка M удалена от начала отсчета в положительном направлении. Это действительное число отрицательно и равно длине отрезка OM со знаком минус, если точка M удалена от начала отсчета в отрицательном направлении.

Число формула называется координатой точки M на координатной прямой.

изображение

Теперь рассмотрим плоскость с введенной прямоугольной декартовой системой координат. Отметим на этой плоскости произвольную точку М.

Пусть формула - проекция точки M на прямую Ox, а формула - проекции точки M на координатную прямую Oy (при необходимости смотрите статью проекция точки на прямую). То есть, если через точку M провести прямые, перпендикулярные координатным осям Ox и Oy, то точками пересечения этих прямых с прямыми Ox и Oy являются соответственно точки формула и формула.

Пусть точке формула на координатной оси Ox соответствует число формула, а точке формула на оси Oy - число формула.

изображение

Каждой точке М плоскости в заданной прямоугольной декартовой системе координат соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел формула, называемых координатами точки M на плоскости. Координату формула называют абсциссой точки М, а формула - ординатой точки М.

Верно и обратное утверждение: каждой упорядоченной паре действительных чисел формула соответствует точка М плоскости в заданной системе координат.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Покажем как определяются координаты точки М в прямоугольной системе координат, заданной в трехмерном пространстве.

Пусть формула и формула - проекции точки M на координатные оси Ox, Oy и Oz соответственно. Пусть этим точкам на координатных осях Ox, Oy и Oz соответствуют действительные числа формула и формула.

изображение

Проекции точки M на координатные оси также можно получить, если построить плоскости, перпендикулярные прямым Ox, Oy и Oz и проходящие через точку M. Эти плоскости будут пересекать координатные прямые Ox, Oy и Oz в точках формула и формула соответственно.

изображение

Каждой точке трехмерного пространства в заданной декартовой системе координат соответствует упорядоченная тройка действительных чисел формула, называемых координатами точки M, числа формула и формула называют абсциссой, ординатой и аппликатой точки М соответственно. Верно и обратное утверждение: каждой упорядоченной тройке действительных чисел формула в заданной прямоугольной системе координат соответствует точка М трехмерного пространства.

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. Часть 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+