Прямая, плоскость, их уравнения

Общее уравнение плоскости - описание, примеры, решение задач.


Продолжим изучение темы уравнение плоскости. В этой статье мы всесторонне рассмотрим общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве в фиксированной прямоугольной системе координат. Сначала получим вид общего уравнения плоскости, приведем примеры и необходимые пояснения. Далее остановимся на общем уравнении плоскости, проходящей через заданную точку пространстве. В заключении разберем частные случаи общего уравнения плоскости, рассмотрим общее неполное уравнение плоскости и приведем подробные решения задач.


Общее уравнение плоскости - основные сведения.

Сначала напомним, что понимается под фразой «уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве». Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz, то уравнением плоскости в этой системе координат трехмерного пространства называют такое уравнение с тремя неизвестными x, y и z, которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и не удовлетворяют координаты никаких других точек. Иными словами, при подстановке координат некоторой точки плоскости в уравнение этой плоскости мы получим тождество, а при подстановке в уравнение плоскости координат какой-либо другой точки получится неверное равенство.

Прежде чем записать общее уравнение плоскости, напомним определение прямой перпендикулярной к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из этого определения следует, что любой нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этот факт мы используем при доказательстве следующей теоремы, которая задает вид общего уравнения плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение вида формула, где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида формула при некотором наборе чисел A, B, C и D.

Доказательство.

Как видите, теорема состоит из двух частей. В первой части нам дано уравнение формула и нужно доказать, что оно определяет плоскость. Во второй части, нам дана некоторая плоскость и требуется доказать, что ее можно определить уравнением формула при некотором выборе чисел А, В, С и D.

Начнем с доказательства первой части теоремы.

Так как числа А, В и С одновременно не равны нулю, то существует точка формула, координаты которой удовлетворяют уравнению формула, то есть, справедливо равенство формула. Отнимем левую и правую части полученного равенства соответственно от левой и правой частей уравнения формула, при этом получим уравнение вида формула эквивалентное исходному уравнению формула. Теперь, если мы докажем, что уравнение формула определяет плоскость, то этим будет доказано, что эквивалентное ему уравнение формула также определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Равенство формула представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов формула и формула. Иными словами, координаты плавающей точки формула удовлетворяют уравнению формула тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы формула и формула. Тогда, учитывая факт, приведенный перед теоремой, мы можем утверждать, что если справедливо равенство формула, то множество точек формула определяет плоскость, нормальным вектором которой является формула, причем эта плоскость проходит через точку формула. Другими словами, уравнение формула определяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве указанную выше плоскость. Следовательно, эквивалентное уравнение формула определяет эту же плоскость. Первая часть теоремы доказана.

изображение

Приступим к доказательству второй части.

Пусть нам дана плоскость, проходящая через точку формула, нормальным вектором которой является формула. Докажем, что в прямоугольной системе координат Oxyz ее задает уравнение вида формула.

Для этого, возьмем произвольную точку этой плоскости. Пусть этой точкой будет формула. Тогда векторы формула и формула будут перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю: формула. Приняв формула, уравнение примет вид формула. Это уравнение и задает нашу плоскость. Итак, теорема полностью доказана.

Уравнение формула называется общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Общее уравнение плоскости вида формула, где формула - некоторое действительное число, отличное от нуля, определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, совпадающую с плоскостью формула, так как задает то же самое множество точек трехмерного пространства. К примеру, уравнения формула и формула задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Немного поясним смысл теоремы.

В заданной прямоугольной системе координат Oxyz плоскость и ее общее уравнение неразрывно связаны. То есть, каждой плоскости соответствует общее уравнение плоскости вида формула (при определенных значениях чисел А, В, С и D), а этому уравнению соответствует указанная плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Приведем пример, иллюстрирующий последнюю фразу.

Посмотрите на рисунок с изображением плоскости в трехмерном пространстве в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz. Этой плоскости соответствует уравнение формула, так как ему удовлетворяют координаты любой точки плоскости. С другой стороны, уравнение формула определяет в заданной системе координат Oxyz множество точек, образом которого является изображенная на рисунке плоскость.

изображение

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку.


Еще раз повторим, что точка формула принадлежит плоскости, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве общим уравнением плоскости формула, если при подстановке координат точки формула в уравнение формула оно обращается в тождество.

Пример.

Принадлежат ли точки формула и формула плоскости, общее уравнение которой имеет вид формула.

Решение.

Подставим координаты точки М0 в общее уравнение плоскости: формула. В результате приходим к верному равенству, следовательно, точка формула лежит в плоскости.

Проделаем такую же процедуру с координатами точки N0: формула. Получаем неверное равенство, поэтому, точка формула не лежит в плоскости, определенной общим уравнением плоскости формула.

Ответ:

М0 лежит в плоскости, а N0 – не лежит.

Из доказательства теоремы об общем уравнении плоскости виден один полезный факт: вектор формула является нормальным вектором плоскости формула. Таким образом, если мы знаем вид общего уравнения плоскости, то мы сразу можем записать координаты нормального вектора этой плоскости.

Пример.

Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана общим уравнением плоскости формула. Запишите координаты всех нормальных векторов этой плоскости.

Решение.

Нам известно, что коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются соответствующими координатами нормального вектора этой плоскости. Следовательно, нормальный вектор формула заданной плоскости формула имеет координаты формула. Множество всех нормальных векторов можно задать как формула.

Ответ:

формула

Теперь рассмотрим обратную задачу – задачу составления уравнения плоскости, когда известны координаты ее нормального вектора. Очевидно, что существует бесконечно много параллельных плоскостей, нормальным вектором которых является вектор формула. Поэтому, зададим дополнительное условие, чтобы обозначить одну конкретную плоскость. Будем считать, что точка формула принадлежит плоскости. Таким образом, задав нормальный вектор формула и точку плоскости формула, мы зафиксировали плоскость (смотрите раздел способы задания плоскости в пространстве). Получим общее уравнение этой плоскости.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором формула имеет вид формула. Так как точка формула лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, справедливо равенство формула. Вычтем из левой и правой части равенства формула левую и правую части равенства формула соответственно. При этом получаем уравнение вида формула, которое является общим уравнением плоскости, проходящей через точку формула и имеющей направляющий вектор плоскости формула.

Это уравнение можно было получить и иначе.

Очевидно, что множество точек трехмерного пространства формула определяют требуемую плоскость тогда и только тогда, когда векторы формула и формула перпендикулярны. То есть, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: формула.

Пример.

Напишите уравнение плоскости, если в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве она проходит через точку формула, а формула - нормальный вектор этой плоскости.

Решение.

Приведем два решения этой задачи.

Из условия имеем формула. Подставляем эти данные в общее уравнение плоскости, проходящей через точку формула:
формула

Теперь второй вариант решения.

Пусть формула - текущая точка плоскости. Находим координаты вектора формула по координатам точек начала и конца: формула. Для получения требуемого общего уравнения плоскости осталось только воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов формула и формула:
формула

Ответ:

формула

Существует множество аналогичных задач на составление общего уравнения плоскости, в которых сначала требуется найти координаты нормального вектора плоскости. Самые распространенные из них это задачи на нахождение уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно заданной плоскости и задачи на составление уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к заданной прямой.

Неполное общее уравнение плоскости.

Если все числа А, В, С и D отличны от нуля, то общее уравнение плоскости формула называется полным. В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным.

Рассмотрим все возможные общие неполные уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Пусть D = 0, тогда имеем общее неполное уравнение плоскости вида формула. Эта плоскость в прямоугольной системе координт Oxyz проходит через начало координат. Действительно, при подстановке координат точки формула в полученное неполное уравнение плоскости мы приходим к тождеству формула.

изображение

При формула, или формула, или формула имеем неполные общие уравнения плоскостей формула, или формула, или формула соответственно. Эти плоскости параллельны координатным осям Ox, Oy и Oz соответственно (при необходимости обращайтесь к статье условие параллельности прямой и плоскости). При D = 0 плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также можно отметить, что неполные общие уравнения плоскости формула, формула и формула определяют плоскости, перпендикулярные координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy соответственно (здесь может быть полезен раздел условие перпендикулярности плоскостей).

изображение

При формула, или формула, или формула имеем общие неполные уравнения плоскостей формула, или формула, или формула соответственно. Эти уравнения задают плоскости, параллельные координатным плоскостям Oxy, Oxz и Oyz соответственно (смотрите статью условие параллельности плоскостей) и проходящие через точки формула и формула соответственно. При D = 0 получаем уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz и Oyz, они имеют вид z = 0, y = 0 и x = 0 соответственно.

изображение

Разберем решения нескольких примеров на составление неполного уравнения плоскости.

Пример.

Напишите общее уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Oyz и проходящей через точку формула.

Решение.

Плоскость, которая параллельна координатной плоскости Oyz, может быть задана общим неполным уравнением плоскости вида формула. Так как точка формула принадлежит плоскости по условию, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости формула, то есть, должно быть справедливо равенство формула. Отсюда находим формула. Таким образом, искомое уравнение имеет вид формула.

Приведем второй способ решения этой задачи.

Так как плоскость, общее уравнение которой нам требуется составить, параллельна плоскости Oyz, то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор плоскости Oyz. Нормальным вектором координатной плоскости Oyz является координатный вектор формула. Теперь мы знаем нормальный вектор плоскости и точку плоскости, следовательно, можем записать ее общее уравнение (подобную задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи):
формула

Ответ:

формула

Пример.

Составьте общее уравнение плоскости, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy, проходит через начало координат и точку формула.

Решение.

Плоскость, перпендикулярная координатной плоскости Oxy описывается общим неполным уравнением плоскости вида формула. Так как по условию плоскость проходит через начало координат, то D = 0, следовательно, уравнение плоскости примет вид формула. Осталось найти значение формула. Из условия нам известно, что плоскость проходит через точку формула, тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Следовательно, справедливо равенство формула, откуда находим формула. Теперь мы можем написать искомое общее уравнение плоскости, оно имеет вид формула.

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+