Общее уравнение плоскости - описание, примеры, решение задач.
Продолжим изучение темы уравнение плоскости. В этой статье мы всесторонне рассмотрим общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве в фиксированной прямоугольной системе координат. Сначала получим вид общего уравнения плоскости, приведем примеры и необходимые пояснения. Далее остановимся на общем уравнении плоскости, проходящей через заданную точку пространстве. В заключении разберем частные случаи общего уравнения плоскости, рассмотрим общее неполное уравнение плоскости и приведем подробные решения задач.
Общее уравнение плоскости - основные сведения.
Сначала напомним, что понимается под фразой «уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве». Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz, то уравнением плоскости в этой системе координат трехмерного пространства называют такое уравнение с тремя неизвестными x, y и z, которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и не удовлетворяют координаты никаких других точек. Иными словами, при подстановке координат некоторой точки плоскости в уравнение этой плоскости мы получим тождество, а при подстановке в уравнение плоскости координат какой-либо другой точки получится неверное равенство.
Прежде чем записать общее уравнение плоскости, напомним определение прямой перпендикулярной к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из этого определения следует, что любой нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этот факт мы используем при доказательстве следующей теоремы, которая задает вид общего уравнения плоскости.
Теорема.
Всякое уравнение вида 
, где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида при некотором наборе чисел A, B, C и D.
Доказательство.
Как видите, теорема состоит из двух частей. В первой части нам дано уравнение и нужно доказать, что оно определяет плоскость. Во второй части, нам дана некоторая плоскость и требуется доказать, что ее можно определить уравнением при некотором выборе чисел А, В, С и D.
Начнем с доказательства первой части теоремы.
Так как числа А, В и С одновременно не равны нулю, то существует точка 
, координаты которой удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство 
. Отнимем левую и правую части полученного равенства соответственно от левой и правой частей уравнения , при этом получим уравнение вида 
эквивалентное исходному уравнению . Теперь, если мы докажем, что уравнение 
определяет плоскость, то этим будет доказано, что эквивалентное ему уравнение также определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.
Равенство представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов 
и 
. Иными словами, координаты плавающей точки 
удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы и . Тогда, учитывая факт, приведенный перед теоремой, мы можем утверждать, что если справедливо равенство , то множество точек определяет плоскость, нормальным вектором которой является , причем эта плоскость проходит через точку . Другими словами, уравнение определяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве указанную выше плоскость. Следовательно, эквивалентное уравнение определяет эту же плоскость. Первая часть теоремы доказана.
Приступим к доказательству второй части.
Пусть нам дана плоскость, проходящая через точку , нормальным вектором которой является . Докажем, что в прямоугольной системе координат Oxyz ее задает уравнение вида .
Для этого, возьмем произвольную точку этой плоскости. Пусть этой точкой будет . Тогда векторы и будут перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю: 
. Приняв 
, уравнение примет вид . Это уравнение и задает нашу плоскость. Итак, теорема полностью доказана.
Уравнение называется общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.
Общее уравнение плоскости вида 
, где 
- некоторое действительное число, отличное от нуля, определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, совпадающую с плоскостью , так как задает то же самое множество точек трехмерного пространства. К примеру, уравнения 
и 
задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.
Немного поясним смысл теоремы.
В заданной прямоугольной системе координат Oxyz плоскость и ее общее уравнение неразрывно связаны. То есть, каждой плоскости соответствует общее уравнение плоскости вида (при определенных значениях чисел А, В, С и D), а этому уравнению соответствует указанная плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.
Приведем пример, иллюстрирующий последнюю фразу.
Посмотрите на рисунок с изображением плоскости в трехмерном пространстве в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz. Этой плоскости соответствует уравнение 
, так как ему удовлетворяют координаты любой точки плоскости. С другой стороны, уравнение определяет в заданной системе координат Oxyz множество точек, образом которого является изображенная на рисунке плоскость.
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку.
Еще раз повторим, что точка принадлежит плоскости, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве общим уравнением плоскости , если при подстановке координат точки в уравнение оно обращается в тождество.
Пример.
Принадлежат ли точки 
и 
плоскости, общее уравнение которой имеет вид 
.
Решение.
Подставим координаты точки М0 в общее уравнение плоскости: 
. В результате приходим к верному равенству, следовательно, точка лежит в плоскости.
Проделаем такую же процедуру с координатами точки N0: 
. Получаем неверное равенство, поэтому, точка не лежит в плоскости, определенной общим уравнением плоскости .
Ответ:
М0 лежит в плоскости, а N0 – не лежит.
Из доказательства теоремы об общем уравнении плоскости виден один полезный факт: вектор является нормальным вектором плоскости . Таким образом, если мы знаем вид общего уравнения плоскости, то мы сразу можем записать координаты нормального вектора этой плоскости.
Пример.
Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана общим уравнением плоскости 
. Запишите координаты всех нормальных векторов этой плоскости.
Решение.
Нам известно, что коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются соответствующими координатами нормального вектора этой плоскости. Следовательно, нормальный вектор 
заданной плоскости имеет координаты 
. Множество всех нормальных векторов можно задать как 
.
Ответ:
Теперь рассмотрим обратную задачу – задачу составления уравнения плоскости, когда известны координаты ее нормального вектора. Очевидно, что существует бесконечно много параллельных плоскостей, нормальным вектором которых является вектор . Поэтому, зададим дополнительное условие, чтобы обозначить одну конкретную плоскость. Будем считать, что точка принадлежит плоскости. Таким образом, задав нормальный вектор и точку плоскости , мы зафиксировали плоскость (смотрите раздел способы задания плоскости в пространстве). Получим общее уравнение этой плоскости.
Общее уравнение плоскости с нормальным вектором имеет вид . Так как точка лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, справедливо равенство . Вычтем из левой и правой части равенства левую и правую части равенства соответственно. При этом получаем уравнение вида , которое является общим уравнением плоскости, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор плоскости .
Это уравнение можно было получить и иначе.
Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяют требуемую плоскость тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. То есть, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: 
.
Пример.
Напишите уравнение плоскости, если в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве она проходит через точку 
, а 
- нормальный вектор этой плоскости.
Решение.
Приведем два решения этой задачи.
Из условия имеем 
. Подставляем эти данные в общее уравнение плоскости, проходящей через точку :
Теперь второй вариант решения.
Пусть - текущая точка плоскости. Находим координаты вектора 
по координатам точек начала и конца: 
. Для получения требуемого общего уравнения плоскости осталось только воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и 
:
Ответ:
Существует множество аналогичных задач на составление общего уравнения плоскости, в которых сначала требуется найти координаты нормального вектора плоскости. Самые распространенные из них это задачи на нахождение уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно заданной плоскости и задачи на составление уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к заданной прямой.
Неполное общее уравнение плоскости.
Если все числа А, В, С и D отличны от нуля, то общее уравнение плоскости называется полным. В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным.
Рассмотрим все возможные общие неполные уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.
Пусть D = 0, тогда имеем общее неполное уравнение плоскости вида 
. Эта плоскость в прямоугольной системе координт Oxyz проходит через начало координат. Действительно, при подстановке координат точки 
в полученное неполное уравнение плоскости мы приходим к тождеству 
.
При 
, или 
, или 
имеем неполные общие уравнения плоскостей 
, или 
, или 
соответственно. Эти плоскости параллельны координатным осям Ox, Oy и Oz соответственно (при необходимости обращайтесь к статье условие параллельности прямой и плоскости). При D = 0 плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также можно отметить, что неполные общие уравнения плоскости , и определяют плоскости, перпендикулярные координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy соответственно (здесь может быть полезен раздел условие перпендикулярности плоскостей).
При 
, или 
, или 
имеем общие неполные уравнения плоскостей 
, или 
, или 
соответственно. Эти уравнения задают плоскости, параллельные координатным плоскостям Oxy, Oxz и Oyz соответственно (смотрите статью условие параллельности плоскостей) и проходящие через точки 
и 
соответственно. При D = 0 получаем уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz и Oyz, они имеют вид z = 0, y = 0 и x = 0 соответственно.
Разберем решения нескольких примеров на составление неполного уравнения плоскости.
Пример.
Напишите общее уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Oyz и проходящей через точку 
.
Решение.
Плоскость, которая параллельна координатной плоскости Oyz, может быть задана общим неполным уравнением плоскости вида 
. Так как точка 
принадлежит плоскости по условию, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости 
, то есть, должно быть справедливо равенство 
. Отсюда находим 
. Таким образом, искомое уравнение имеет вид 
.
Приведем второй способ решения этой задачи.
Так как плоскость, общее уравнение которой нам требуется составить, параллельна плоскости Oyz, то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор плоскости Oyz. Нормальным вектором координатной плоскости Oyz является координатный вектор 
. Теперь мы знаем нормальный вектор плоскости и точку плоскости, следовательно, можем записать ее общее уравнение (подобную задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи):
Ответ:
Пример.
Составьте общее уравнение плоскости, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy, проходит через начало координат и точку 
.
Решение.
Плоскость, перпендикулярная координатной плоскости Oxy описывается общим неполным уравнением плоскости вида 
. Так как по условию плоскость проходит через начало координат, то D = 0, следовательно, уравнение плоскости примет вид 
. Осталось найти значение 
. Из условия нам известно, что плоскость проходит через точку , тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Следовательно, справедливо равенство 
, откуда находим 
. Теперь мы можем написать искомое общее уравнение плоскости, оно имеет вид 
.
Ответ:
Некогда разбираться?
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.