Математика на cleverstudents.ru

Делимость, признаки делимости

Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения.

В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители. Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.

Что значит разложить число на простые множители?

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово «множители», то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово «простые» означает, что каждый множитель является простым числом. Например, в произведении вида 2·7·7·23 присутствуют четыре простых множителя: 2, 7, 7 и 23.

А что же значит разложить число на простые множители?

Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. В качестве примера рассмотрим произведение трех простых чисел 2, 3 и 5, оно равно 30, таким образом, разложение числа 30 на простые множители имеет вид 2·3·5. Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: 30=2·3·5. Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: 144=2·2·2·2·3·3. А вот представление вида 45=3·15 не является разложением на простые множители, так как число 15 – составное.

Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?

В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди целых положительных чисел, больших единицы. Учитывая этот факт и правила умножения целых чисел, можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1.

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b, то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b, что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением.

А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики. Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число a, которое больше 1, можно разложить на произведение простых множителей p₁, p₂, …, p_n, при этом разложение имеет вид a=p₁·p₂·…·p_n, причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей

Каноническое разложение числа на простые множители

В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя степень числа. Пусть в разложении числа a простой множитель p₁ встречается s₁ раз, простой множитель p₂ – s₂ раз, и так далее, p_n – s_n раз. Тогда разложение на простые множители числа a можно записать как a=p₁^s₁·p₂^s₂·…·p_n^s_n. Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители.

Приведем пример канонического разложения числа на простые множители. Пусть нам известно разложение 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11, его каноническая форма записи имеет вид 609 840=2⁴·3²·5·7·11².

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа.

Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a понятна из доказательства основной теоремы арифметики. Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p₁, p₂, …,p_n чисел a, a₁, a₂, …, a_n-1, что позволяет получить ряд равенств a=p₁·a₁, где a₁=a:p₁, a=p₁·a₁=p₁·p₂·a₂, где a₂=a₁:p₂, …, a=p₁·p₂·…·p_n·a_n, где a_n=a_n-1:p_n. Когда получается a_n=1, то равенство a=p₁·p₂·…·p_n даст нам искомое разложение числа a на простые множители. Здесь же следует заметить, что p₁≤p₂≤p₃≤…≤p_n.

Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел. Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z.

Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел (2, 3, 5, 7, 11 и так далее) и делим на них данное число z. Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z. Здесь же следует напомнить, что если z не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где - арифметический квадратный корень из z. Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z, то можно делать вывод о том, что z – простое число (более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком данное число простое или составное).

Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87. Берем число 2. Делим 87 на 2, получаем 87:2=43 (ост. 1) (если необходимо, смотрите статью правила и примеры деления целых чисел с остатком). То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1, поэтому 2 – не является делителем числа 87. Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3. Делим 87 на 3, получаем 87:3=29. Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители. Алгоритм разложения числа a таков:

• Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p₁ числа a, после чего вычисляем a₁=a:p₁. Если a₁=1, то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a₁ на равно 1, то имеем a=p₁·a₁ и переходим к следующему шагу.
• Находим наименьший простой делитель p₂ числа a₁, для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p₁, после чего вычисляем a₂=a₁:p₂. Если a₂=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p₁·p₂. Если же a₂ на равно 1, то имеем a=p₁·p₂·a₂ и переходим к следующему шагу.
• Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p₂, находим наименьший простой делитель p₃ числа a₂, после чего вычисляем a₃=a₂:p₃. Если a₃=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p₁·p₂·p₃. Если же a₃ на равно 1, то имеем a=p₁·p₂·p₃·a₃ и переходим к следующему шагу.
• …
• Находим наименьший простой делитель p_n числа a_n-1, перебирая простые числа, начиная с p_n-1, а также a_n=a_n-1:p_n, причем a_n получается равно 1. Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p₁·p₂·…·p_n.

Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a₁, a₂, …, a_n, а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p₁, p₂, …, p_n.

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители. При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

В простых случаях разложить число на простые множители можно без использования алгоритма разложения из первого пункта данной статьи. Если числа не большие, то для их разложения на простые множители часто достаточно знать таблицу умножения и признаки делимости. Приведем примеры для пояснения.

Например, нам требуется разложить на простые множители число 10. Из таблицы умножения мы знаем, что 2·5=10, а числа 2 и 5 очевидно простые, поэтому разложение на простые множители числа 10 имеет вид 10=2·5.

Еще пример. При помощи таблицы умножения разложим на простые множители число 48. Мы знаем, что шестью восемь – сорок восемь, то есть, 48=6·8. Однако, ни 6, ни 8 не являются простыми числами. Но мы знаем, что дважды три – шесть, и дважды четыре – восемь, то есть, 6=2·3 и 8=2·4. Тогда 48=6·8=2·3·2·4. Осталось вспомнить, что дважды два – четыре, тогда получим искомое разложение на простые множители 48=2·3·2·2·2. Запишем это разложение в канонической форме: 48=2⁴·3.

А вот при разложении на простые множители числа 3 400 можно воспользоваться признаками делимости. Признаки делимости на 10, 100 позволяют утверждать, что 3 400 делится на 100, при этом 3 400=34·100, а 100 делится на 10, при этом 100=10·10, следовательно, 3 400=34·10·10. А на основании признака делимости на 2 можно утверждать, что каждый из множителей 34, 10 и 10 делится на 2, получаем 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5. Все множители в полученном разложении являются простыми, поэтому это разложение является искомым. Осталось лишь переставить множители, чтобы они шли в порядке возрастания: 3 400=2·2·2·5·5·17. Запишем также каноническое разложение данного числа на простые множители: 3 400=2³·5²·17.

При разложении данного числа на простые множители можно использовать по очереди и признаки делимости и таблицу умножения. Представим число 75 в виде произведения простых множителей. Признак делимости на 5 позволяет нам утверждать, что 75 делится на 5, при этом получаем, что 75=5·15. А из таблицы умножения мы знаем, что 15=3·5, поэтому, 75=5·3·5. Это и есть искомое разложение числа 75 на простые множители.