Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Свойства сложения, умножения, вычитания и деления целых чисел.

Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.

Основные свойства сложения целых чисел

Для начала нужно сказать, что все свойства сложения натуральных чисел справедливы для сложения целых чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел. Перечислим основные свойства сложения.

Во-первых, сложение целых чисел обладает переместительным свойством. Это свойство заключается в том, что результат сложения двух целых чисел не зависит от порядка следования слагаемых. То есть, для двух целых чисел a и b справедливо равенство a+b=b+a. К примеру, в силу рассмотренного свойства справедливо равенство 3+21=21+3; также справедливо равенство (−564)+45=45+(−564); сумма целых отрицательных чисел −2 и −6 754 равна сумме (−6 754)+(−2).

Во-вторых, сложение целых чисел обладает сочетательным свойством. Сочетательное свойство заключается в том, что результат сложения целого числа с суммой двух целых чисел равен результату сложения суммы двух первых целых чисел с третьим. Это свойство сложения проще усвоить, когда оно записано в буквенном виде: a+(b+c)=(a+b)+c, где a, b, c – произвольные целые числа. Приведем пару примеров. Рассмотренное свойство сложения целых чисел позволяет говорить о справедливости равенства 54+((−17)+(−3 400))=(54+(−17))+(−3 400); аналогично сумма вида 10+((−100)+1 000) равна сумме (10+(−100))+1 000.

Следует заметить, что значение сочетательного свойства сложения целых чисел состоит еще и в том, что оно позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества целых чисел.

Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число. Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78; если к нулю прибавить целое положительное число 999, то в результате получим число 999.

Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю. Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0, где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.

Основные свойства умножения целых чисел

Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел. Перечислим основные из этих свойств.

Умножение целых чисел обладает переместительным свойством. Оно утверждает, что результат умножения двух целых чисел не зависит от порядка следования множителей. То есть, для любых целых чисел a и b справедливо равенство a·b=b·a. Например, произведение целых чисел 56 и −9 равно произведению чисел −9 и 56; также справедливо равенство (−678)·(−92)=(−92)·(−678).

Для умножения целых чисел характерно сочетательное свойство. В буквенном виде оно записывается так: a·(b·c)=(a·b)·c, где a, b, c – произвольные целые числа. Приведем пример. В силу переместительного свойства умножения целых чисел можно говорить о справедливости равенства (−12)·(56·90 003)=((−12)·56)·90 003.

Сочетательное свойство умножения целых чисел позволяет определить умножение трех и большего количества целых чисел.

Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число. Так 1·a=a, где a – любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a, это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556 на 1 равно 556; произведение единицы и целого отрицательного числа −78 равно −78.

Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a на нуль равен нулю, то есть, a·0=0. Также справедливо равенство 0·a=0 в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0 произведение нуля на нуль равно нулю.

Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0, если либо a=0, либо b=0, либо и a и b равны нулю одновременно.

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения

Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.

Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a и b равно сумме произведений a·b и a·c, то есть, a·(b+c)=a·b+a·c. Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c.

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.

Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.

Свойства вычитания целых чисел

Мы знаем, что вычитание целых чисел является действием, обратным к сложению целых чисел. Вычитание – это действие, при котором находится неизвестное слагаемое по известной сумме и известному слагаемому (об этом мы говорили в разделе теории смысл вычитания целых чисел). То есть, целое число c является разностью целых чисел a и b, когда сумма b+c равна a.

Такое определение разности, а также свойства сложения целых чисел, позволили нам доказать, что разность целых чисел a и b равна сумме числа a и числа −b, противоположного b. То есть, a−b=a+(−b) (доказательство этого равенства приведено в разделе теории правило вычитания целых чисел).

Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел (a, b и c – произвольные целые числа):

• Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a.
• Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0.
• Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c.
• Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c).
• Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c.
• И все другие свойства вычитания целых чисел.

Свойства деления целых чисел

Рассуждая о смысле деления целых чисел, мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c мы называем частным от деления целого числа a на целое число b, когда произведение c·b равно a.

Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:

• Никакое целое число нельзя делить на нуль.
• Свойство деления нуля на произвольное целое число a, отличное от нуля: 0:a=0.
• Свойство деления равных целых чисел: a:a=1, где a – любое целое число, отличное от нуля.
• Свойство деления произвольного целого числа a на единицу: a:1=a.
• В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a.
• Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c, где a, b, и c такие целые числа, что и a и b делится на c, и c отлично от нуля.
• Свойство деления произведения двух целых чисел a и b на целое число c, отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b, если a делится на c; (a·b):c=a·(b:c), если b делится на c; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c), если и a и b делятся на c.
• Свойство деления целого числа a на произведение двух целых чисел b и c (числа a, b и c такие, что деление a на b·c возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b.
• Любые другие свойства деления целых чисел.