Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Свойства умножения натуральных чисел.

Отталкиваясь от общего представления об умножении натуральных чисел, можно отметить ряд результатов, характерных для этого действия. Эти неотъемлемые результаты называются свойствами умножения натуральных чисел. В этой статье мы подробно на примерах рассмотрим основные свойства умножения натуральных чисел и запишем их при помощи букв.

Переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Умножение двух натуральных чисел обладает переместительным свойством. Приведем формулировку этого свойства: произведение двух натуральных чисел не изменяется при перестановке множителей местами. С помощью букв переместительное свойство умножения можно записать так: a·b=b·a, где a и b могут быть любыми натуральными числами (при необходимости смотрите статью буквенные выражения).

Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел, вычислим произведение чисел 2 и 6, а также произведение чисел 6 и 2, и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6, из таблицы сложения находим 6+6=12. А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2, которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6.

Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель. То есть, a·(b·c)=(a·b)·c, где a, b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).

Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2). По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6, тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24. А теперь выполним умножение (4·3)·2. Так как 4·3=4+4+4=12, то (4·3)·2=12·2=12+12=24. Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2, подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.

Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел.

Распределительное свойство умножения относительно сложения.

Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа. Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье порядок выполнения действий), где a, b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c.

Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2. Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14, а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.

Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Умножение и вычитание натуральных чисел связываются распределительным свойством. Озвучим его формулировку: умножить данную разность двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что из произведения уменьшаемого и данного числа вычесть произведение вычитаемого и данного числа.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно вычитания можно записать как (a−b)·c=a·c−b·c, где a, b и c – некоторые натуральные числа. В силу переместительного свойства умножения также справедлива формула вида a·(b−c)=a·b−a·c.

Проверим справедливость распределительного свойства умножения относительно вычитания на примере. Убедимся, что верно равенство 3·(4−2)=3·4−3·2. Так как 4−2=2 (при необходимости смотрите раздел теории вычитание с использованием таблицы сложения), то произведение 3·(4−2) равно произведению 3·2, а 3·2=3+3=6. Теперь вычислим разность 3·4−3·2. Имеем 3·4−3·2=(3+3+3+3)−(3+3)=12−6=6. Таким образом, равенство 3·(4−2)=3·4−3·2 верное.

Свойство умножения единицы на натуральное число.

Следующее свойство связано с умножением единицы и натурального числа. По смыслу умножения, произведение единицы и данного натурального числа n равно сумме n слагаемых, каждое из которых равно единице. Следовательно, .

Например, произведение чисел 1 и 37 равно 37; результат умножения 1 и 1 004 есть число 1 004.

В свою очередь, произведение n·1 лишено смысла (по смыслу умножения это произведение представляет собой сумму одного слагаемого, равного числу n, но сложение мы определяли для двух и более слагаемых). Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения, будем считать верным равенство n·1=n.

К примеру, произведение 298 и 1 равно 298, а если умножить 71 на 1, то получим 71.

Итак, произведение двух натуральных чисел, одно из которых равно единице, равно другому числу. Последнее утверждения является формулировкой свойства умножения единицы и натурального числа. С помощью букв это свойство умножения записывается так: 1·n=n·1=n, где n - любое натуральное число.

Свойство умножения нуля на натуральное число.

Хотя нуль не является натуральным числом, но все же свойство умножения нуля и натурального числа мы рассмотрим в этой статье. Это связано с тем, что данное свойство используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n, где n – произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, . Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.

Чтобы сохранить справедливость свойства умножения натурального числа на единицу, которое мы разбирали в предыдущем пункте, будем считать верным следующее равенство 0·1=0.

Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0.

Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n.

Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю, то есть 0·n=0 и n·0=0, где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.

В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970, то тоже получим нуль.

Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел.