Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Свойства сложения натуральных чисел.

Имея общее представление о сложении натуральных чисел, можно отметить ряд результатов, присущих этому действию. Эти результаты называют свойствами сложения натуральных чисел. В этой статье мы подробно разберем свойства сложения натуральных чисел, запишем их при помощи букв и приведем поясняющие примеры.

Переместительное свойство сложения двух натуральных чисел.

Начнем с самого очевидного свойства сложения двух натуральных чисел – переместительного свойства. Чтобы хорошо понять переместительное свойство сложения натуральных чисел, рассмотрим следующий пример.

Представим такую ситуацию: с яблони упали 2 яблока и еще 3 яблока. А теперь представим такую ситуацию: с яблони упали 3 яблока и еще 2 яблока. И в первом и во втором случае мы увидим на земле одинаковое количество яблок. То есть, если мы сложим 2 и 3 яблока, то получим такой же результат, как и при сложении 3 и 2 яблок.

В принятых нами обозначениях в первом случае имеем сумму 2+3, а во втором - сумму 3+2. Эти суммы равны, то есть, 2+3=3+2 (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений), а их записи отличаются тем, что в них переставлены местами слагаемые.

Рассмотренный пример позволяет сформулировать переместительное свойство сложения: сумма двух чисел не меняется от перемены мест слагаемых. С помощью букв переместительное свойство сложения можно записать так: a+b=b+a, где a и b – произвольные натуральные числа (при необходимости обратитесь к теории из раздела буквенные выражения).

Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Теперь приведем пример, иллюстрирующий сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Представим ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко, а со второй яблони - 2 яблока и еще 4 яблока. А теперь рассмотрим такую ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко и еще 2 яблока, а со второй яблони упало 4 яблока. Понятно, что на земле и в первом и во втором случае окажется одинаковое количество яблок (что можно проверить пересчетом). То есть, результат сложения числа 1 с суммой чисел 2 и 4 равен результату сложения суммы чисел 1 и 2 с числом 4.

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать сочетательное свойство сложения натуральных чисел: чтобы прибавить к данному числу данную сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить первое слагаемое данной суммы и к полученному результату прибавить второе слагаемое данной суммы. Это свойство с помощью букв можно записать так: a+(b+c)=(a+b)+c, где a, b и c – произвольные натуральные числа.

Обратите внимание, что в равенстве a+(b+c)=(a+b)+c присутствуют круглые скобки «(» и «)». Скобки используются в выражениях для указания порядка выполнения действий – сначала выполняются действия в скобках (подробнее об этом написано в разделе порядок выполнения действий). Иными словами, в скобки заключаются выражения, значения которых вычисляются в первую очередь.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества натуральных чисел.

Свойство сложения нуля и натурального числа, свойство сложения нуля с нулем.

Мы знаем, что нуль НЕ является натуральным числом. Так почему же мы решили рассмотреть свойство сложения нуля и натурального числа в этой статье? На это есть три причины. Первая: это свойство используется при сложении натуральных чисел столбиком. Вторая: это свойство используется при вычитании натуральных чисел. Третья: если считать, что нуль означает отсутствие чего-либо, то смысл сложения нуля и натурального числа совпадает со смыслом сложения двух натуральных чисел.

Проведем рассуждения, которые помогут нам сформулировать свойство сложения нуля и натурального числа. Представим, что в ящике нет ни одного предмета (иными словами, в ящике находится 0 предметов), и в него помещают a предметов, где a – любое натуральное число. То есть, сложили 0 и a предметов. Понятно, что после этого действия в ящике стало a предметов. Следовательно, справедливо равенство 0+a=a.

Аналогично, если в ящике находится a предметов и в него добавляют 0 предметов (то есть, не добавляют ни одного предмета), то после этого действия в ящике окажутся a предметов. Таким образом, a+0=a.

Теперь мы можем привести формулировку свойства сложения нуля и натурального числа: сумма двух чисел, одно из которых равно нулю, равна второму числу. Математически это свойство можно записать в виде следующего равенства: 0+a=a или a+0=a, где a – произвольное натуральное число.

Отдельно обратим внимание на то, что при сложении натурального числа и нуля остается верным переместительное свойство сложения, то есть, a+0=0+a.

Наконец, сформулируем свойство сложения нуля с нулем (оно достаточно очевидно и не нуждается в дополнительных комментариях): сумма двух чисел, каждое из которых равно нулю, равна нулю. То есть, 0+0=0.

Теперь пришло время разобраться с тем, как выполняется сложение натуральных чисел.