Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Деление целых чисел, правила, примеры.

В этой статье мы разберем деление целых чисел без остатка. Здесь мы будем говорить лишь о делении таких целых чисел, абсолютные величины которых делятся нацело (смотрите смысл деления натуральных чисел без остатка). Про деление целых чисел с остатком мы побеседуем в отдельной статье.

Сначала мы введем термины и обозначения, которые будем использовать для описания деления целых чисел. Дальше укажем смысл деления целых чисел, который поможет нам получить правила деления целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. Здесь же мы рассмотрим примеры применения правил деления целых чисел. Наконец, мы покажем, как выполняется проверка результата деления целых чисел.

Термины и обозначения

Для описания деления целых чисел мы будем использовать те же термины и обозначения, которые использовали при описании деления натуральных чисел (смотрите раздел теории делимое, делитель, частное и знак разделить). Напомним их.

Целое число, которое делят, называется делимым. Целое число, на которое проводится деление, называется делителем. Результат деления целых чисел называется частным.

Деление обозначается символом вида :, который располагается между делимым и делителем (иногда встречается символ ÷, который также обозначает деление). Деление целого числа a на целое число b можно записать с использованием символа : как a:b. Если в результате деления целого числа a на целое число b получается число c, то этот факт удобно записывать в виде равенства a:b=c. Выражение вида a:b также называют частным, как и значение этого выражения.

Смысл деления целых чисел

Мы знаем о существовании связи между умножением и делением натуральных чисел. Из этой связи мы заключили, что деление – это нахождение неизвестного множителя, когда известен второй множитель и произведение. Делению целых чисел придадим этот же смысл. То есть, деление целых чисел – это нахождение по данному произведению и одному из целых множителей другого целого множителя.

Исходя из смысла деления целых чисел, мы можем сказать, что если произведение двух целых чисел a и b равно c, то частное от деления c на a равно b, и частное от деления c на b равно a. Приведем пример. Допустим нам известно, что произведение двух целых чисел 5 и −7 равно −35, тогда мы можем сказать, что частное (−35):5 равно −7, а частное (−35):(−7) равно 5.

Отметим, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом (если a делится на b без остатка).

Правила деления целых чисел

Смысл деления целых чисел, указанный в предыдущем пункте, позволяет утверждать, что один из двух множителей является частным от деления их произведения на другой множитель. Но он не дает способа нахождения неизвестного множителя по известному множителю и произведению. Например, равенство 6·(−7)=−42 позволяет нам сказать, что частные (−42):6 и (−42):(−7) равны соответственно −7 и 6. Однако если нам известно, что произведение двух множителей равно 45 и один из множителей равен −5, то смысл деления целых чисел нам не дает прямого ответа на вопрос, чему равен другой множитель.

Эти рассуждения приводят нас к следующему выводу: нам нужны правила, позволяющие выполнять деление одного целого числа на другое. Сейчас мы их и получим. Эти правила позволят нам свести деление целых чисел к делению натуральных чисел.

Деление целых положительных чисел

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел проводится по всем правилам деления натуральных чисел. Здесь больше нечего добавить, стоит лишь рассмотреть решение пары примеров, в которых проводится деление целых положительных чисел.

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Сформулировать правило деления целых отрицательных чисел нам помогут следующие рассуждения.

Пусть нам нужно разделить целое отрицательное число a на целое отрицательное число b. Обозначим буквой c искомое частное от деления a на b, то есть, a:b=c. Выясним сначала, чему равна абсолютная величина числа c.

В силу смысла деления целых чисел должно быть справедливо равенство b·c=a. Тогда . Свойства модуля числа позволяют нам записать равенство , следовательно, . Из полученного равенства следует, что , то есть, абсолютная величина частного от деления равна частному от деления модулей делимого и делителя.

Осталось определить знак числа c. Другими словами выясним, положительным или отрицательным целым числом является результат деления целых отрицательных чисел.

По смыслу деления целых чисел справедливо равенство b·c=a. Тогда из правил умножения целых чисел следует, что число c должно быть положительным. В противном случае b·c будет являться произведением целых отрицательных чисел, которое по правилу умножения будет равно произведению модулей множителей, следовательно, будет положительным числом, а у нас число a – целое отрицательное. Таким образом, частное c от деления целых отрицательных целых чисел есть целое положительное число.

Теперь объединим сделанные выводы в правило деления целых отрицательных чисел. Чтобы разделить целое отрицательное число на целое отрицательное число, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя. То есть, если a и b – целые отрицательные числа, то .

Рассмотрим применение правила деления целых отрицательных чисел при решении примеров.

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Получим правило деления целых чисел с разными знаками.

Пусть мы делим целое число a на целое число b (знаки чисел a и b различны, то есть, если a – целое положительное число, то b – отрицательное, а если a – отрицательное, то b – положительное число) и в результате получаем число c.

В предыдущем пункте этой статьи мы выяснили, что модуль частного равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя, то есть, . Теперь мы можем вычислить абсолютную величину частного от деления целых чисел с разными знаками. Осталось выяснить знак числа c.

Смысл деления целых чисел нам дает равенство b·c=a. Возможны два варианта: либо a – положительное целое число, b – отрицательное; либо a – отрицательное целое число, b – положительное. В любом из этих случаев, в силу правил умножения целых чисел, число c должно быть отрицательным. Действительно, по правилам умножения целых чисел, если и b и c отрицательные целые числа, то их произведение будет положительным числом, а если b положительное, c – отрицательное, то их произведение есть отрицательное число.

Теперь мы можем сформулировать правило деления целых чисел с разными знаками. Чтобы разделить целые числа с разными знаками, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус. То есть, если a и b – целые числа с разными знаками, то .

Разберем решения примеров, в которых применяется правило деления целых чисел с разными знаками.

Деление нуля на целое число

Отдельно нужно остановиться на делении нуля на целое число, отличное от нуля. В этих случаях правило деления таково: частное от деления нуля на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. То есть, 0:b=0 для любого целого и отличного от нуля числа b.

Приведем пояснения озвученного правила деления нуля на целое число. Предположим, что в результате деления нуля на целое число b (b не равно нулю) получается число c. Тогда по смыслу деления целых чисел должно быть справедливо равенство b·c=0. Мы знаем, что произведение двух целых чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (об этом мы упоминали в разделе теории умножение целого числа на нуль). Так как b не равно нулю, значит, нулю должен быть равен множитель c. Следовательно, частное от деления нуля на целое число, отличное от нуля, равно нулю.

Приведем несколько примеров. Частное от деления 0 на целое отрицательное число −908 равно 0, частное 0:4 также равно нулю.

На нуль делить нельзя

Деление целого числа на нуль не определяется. Другими словами, на нуль делить нельзя.

Почему же так? Давайте предположим, что при делении целого числа a на нуль получается целое число c. Тогда по смыслу деления целых чисел справедливо равенство c·0=a. Из правила умножения целого числа на нуль следует, что c·0=0, каким бы не было число c. Сопоставляя два полученных равенства, делаем вывод, что если делимое a отлично от нуля, то равенство c·0=a будет неверным, что свидетельствует о том, что на нуль нельзя делить число, отличное от нуля.

А можно ли делить нуль на нуль? Давайте предположим, что при делении нуля на нуль получается целое число c, тогда в силу смысла деления целых чисел должно быть верно равенство c·0=0. Это равенство действительно верно, но оно верно не только для какого-то конкретного целого числа c, но и вообще для любого числа c. Иными словами, результатом деления нуля на нуль можно принять любое целое число. Так вот чтобы избежать этой многозначности, решили не рассматривать деление на нуль.

Итак, делить на нуль нельзя.

Проверка результата деления целых чисел

Проверка результата деления целых чисел осуществляется при помощи умножения. Чтобы проверить, правильно ли было проведено деление целых чисел, нужно полученное частное умножить на делитель, если в результате получится число, равное делимому, то результат деления правильный.

Рассмотрим решение примера, в котором выполняется проверка результата деления целых чисел.