Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Сложение целых чисел: общее представление, правила, примеры.

В этой статье мы детально разберемся с тем, как выполняется сложение целых чисел. Сначала сформируем общее представление о сложении целых чисел, и посмотрим, что представляет собой сложение целых чисел на координатной прямой. Эти знания помогут нам сформулировать правила сложения положительных, отрицательных, а также целых чисел с разными знаками. Здесь же мы подробно разберем применение правил сложения при решении примеров и научимся выполнять проверку полученных результатов. В заключение статьи мы поговорим о сложении трех и большего количества целых чисел.

Общее представление о сложении целых чисел

Мы имеем общее представление о сложении натуральных чисел. Так как все целые положительные числа (смотрите статью положительные и отрицательные числа) являются натуральными числами, то смысл сложения целых положительных чисел должен полностью совпадать со смыслом сложения натуральных чисел. Следовательно, сумма двух целых положительных чисел, определяющих количества складываемых предметов, дает общее количество этих предметов.

Заметим, что для описания сложения целых чисел используется терминология и обозначения, которые используются при описании сложения натуральных чисел. То есть, складываемые целые числа называют слагаемыми, целое число, которое является результатом сложения, называют суммой. Складываемые целые числа a, b и результат сложения c записывают в виде равенства a+b=c.

Теперь вспомним, что целые положительные числа можно рассматривать как величину прибыли, а целые отрицательные числа - как величину долга (об этом мы упоминали в статье целые числа – общее представление). Такой взгляд на целые числа позволяет осмыслить, что представляет собой сложение целых отрицательных чисел, а также сложение целого положительного и целого отрицательного числа.

Так сложение двух целых отрицательных чисел – это сложение двух долгов, при этом результат сложения этих чисел определяет величину общего долга.

Сложение целого положительного и целого отрицательного числа – это сложение прибыли и долга. Результат сложения целого положительного и целого отрицательного числа дает величину долга после расчетов (если изначальный долг больше прибыли) или величину прибыли после уплаты долга (если прибыль больше изначального долга).

Осталось сказать о сложении некоторого целого числа и нуля. Условимся интерпретировать число нуль как ничто. Таким образом, прибавление нуля к любому целому числу – это прибавление ничего, в результате чего целое число не изменяется. Итак, результатом сложения двух целых чисел, одно из которых равно нулю, будем считать целое число, которое было сложено с нулем. В частности сумма двух нулей дает в результате нуль.

Сложение целых чисел с помощью координатной прямой

Придадим сложению целых чисел геометрический смысл. Для этого рассмотрим координатную прямую, которая расположена горизонтально и направлена вправо.

Сложение натуральных чисел на координатном луче представляет собой перемещение из точки, координатой которой является первое слагаемое, на некоторое количество единичных отрезков, определяемое вторым слагаемым. Например, при сложении чисел 2 и 4 мы из точки с координатой 2 откладываем 4 единичных отрезка, при этом попадаем в точку с координатой 6, и это число 6 является результатом сложения чисел 2 и 4.

Расширим приведенную выше геометрическую интерпретацию сложения от натуральных чисел на целые числа.

Прибавление к целому числу a целого положительного числа b будем рассматривать как перемещение из точки с координатой a на b единичных отрезков в положительном направлении координатной прямой, при этом мы попадем в точку, координатой которой является сумма a+b. Приведем графические иллюстрации сложения целого числа с целым положительным числом на координатной прямой. На первом рисунке показано сложение целых положительных чисел 2 и 3. Второй рисунок соответствует прибавлению к нулю целого положительного числа 4. На следующем рисунке показано сложение целого отрицательного числа -6 с целым положительным числом 2 на координатной прямой.

Прибавление к целому числу a целого отрицательного числа b будем рассматривать как перемещение из точки с координатой a на ( - абсолютная величина числа b) единичных отрезков в отрицательном направлении координатой прямой, это действие нас приведет в точку с координатой a+b. Для наглядности продемонстрируем, как проводится сложение на координатной прямой целых чисел 1, 0 и -2 с целым отрицательным числом -2.

Прибавление к целому числу a целого числа 0 будем рассматривать как отсутствие перемещения из точки с координатой a. Другими словами, прибавление нуля к любому целому числу a равносильно тому, что мы остаемся в точке координатной прямой с координатой a.

Стоит заметить, что данный геометрический смысл сложения целых чисел полностью согласуется со смыслом сложения целых чисел, озвученным в предыдущем пункте статьи.

Теперь от геометрического смысла перейдем к формулировке правил сложения целых чисел.

Сложение положительных целых чисел

Как мы уже сказали, целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому, сложение двух целых положительных чисел есть не что иное, как сложение натуральных чисел. Таким образом, сложение двух целых положительных чисел проводится по всем правилам сложения натуральных чисел.

Рассмотрим решения пары примеров.

Правило сложения отрицательных целых чисел, примеры

Прежде чем мы сформулируем правило сложения двух целых отрицательных чисел, обсудим все моменты, которые мы должны знать, чтобы применять это правило.

Мы знаем, что целое отрицательное число можно понимать как долг. Пусть дано целое отрицательное число −9. Знак минус указывает на то, что перед нами именно долг, а модуль числа −9 () определяет абсолютную величину долга.

Сумма двух целых отрицательных чисел – это сумма двух долгов, то есть, это тоже долг, размер которого равен сумме абсолютных величин каждого из долгов. Например, мы были должны 3 яблока, при этом заняли еще 2 яблока, в результате мы стали должны 3+2=5 яблок.

Из этих рассуждений напрашивается следующий вывод: сумма двух целых отрицательных чисел есть целое отрицательное число, абсолютная величина которого равна сумме абсолютных величин каждого из слагаемых. Если вспомнить определение противоположных чисел, то можно сказать, что сумма двух целых отрицательных чисел равна числу, противоположному сумме модулей слагаемых. Но чаще всего правило сложения целых отрицательных чисел формулируют так: чтобы сложить два целых отрицательных числа, надо сложить их модули, и перед полученным числом поставить знак минус.

Запишем полученное правило в буквенном виде. Для любых целых отрицательных чисел a и b справедливо равенство .

Рассмотрим решения примеров.

Правило сложения целых чисел с разными знаками, примеры

Давайте рассмотрим два примера, которые нам помогут получить правило сложения целых чисел с разными знаками.

Пусть мы должны 4 яблока. Выйдя во двор, мы обнаруживаем яблоню, с которой срываем 5 яблок. Теперь мы можем полностью отдать долг, и, исходя из смысла вычитания натуральных чисел, у нас останется 5−4=1 яблоко. В этом примере результат 1 является суммой двух целых чисел −4 и 5, одно из которых положительное, а другое – отрицательное. Так мы имеем равенство −4+5=1.

Теперь рассмотрим другой пример. Пусть мы также должны 4 яблока. Но во дворе с яблони нам удалось добыть лишь 2 яблока. В этом случае мы полностью долг отдать не сможем так как, сравнив натуральные числа 2 и 4, мы обнаружим, что 2 меньше, чем 4. Но мы все же решаем отдать добытые 2 яблока, чтобы частично погасить долг. В этом случае мы останемся должны 4−2=2 яблока. В рассмотренном примере сумма целых чисел с разными знаками −4 и 2 равна −2. То есть, мы получаем равенство −4+2=−2.

После тщательного анализа приведенных примеров можно заметить две вещи. Во-первых, если абсолютная величина долга больше, чем величина прибыли, то после расчетов останется долг; а если абсолютная величина долга меньше, чем величина прибыли, то после расчетов мы остаемся с частью прибыли. Во-вторых, абсолютная величина долга после расчетов равна разности абсолютной величины долга и величины прибыли, а прибыль после расчетов равна разности величины прибыли и абсолютной величины долга.

Обобщив полученные выводы, можно сформулировать правило сложения двух целых чисел с разными знаками: чтобы сложить два целых числа с разными знаками, нужно от большего модуля слагаемых отнять меньший, после чего перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.

Озвученное правило позволяет записать алгоритм сложения двух целых чисел с разными знаками, этим алгоритмом мы и будем пользоваться при вычислении сумм:

• Находим модули слагаемых.
• Выясняем, какой из модулей слагаемых больше, и запоминаем знак соответствующего слагаемого.
• Вычитаем из большего модуля слагаемых меньший модуль.
• Перед полученным числом ставим запомненный знак.

Осталось разобрать несколько примеров сложения целых чисел с разными знаками.

Сложение противоположных целых чисел

Возьмем два целых противоположных числа a и −a, для определенности будем считать, что a – положительное целое число, тогда −a – отрицательное целое число. Сложение на координатной прямой (о котором мы говорили во втором пункте этой статьи) противоположных чисел a и −a, а также −a и a приводит нас в начало отсчета. Следовательно, сумма целых противоположных чисел равна нулю. То есть, a+(−a)=0 и −a+a=0. Это правило сложения представляет собой свойство сложения целых противоположных чисел.

Приведем примеры сложения целых противоположных чисел. Сумма чисел −5 и 5 равна нулю, сумма 901+(−901) равна нулю, результатом сложения целых противоположных чисел 1 567 893 и −1 567 893 также является нуль.

Сложение произвольного целого числа и нуля

Давайте воспользуемся координатной прямой, чтобы понять, что представляет собой результат сложения двух целых чисел, одно из которых равно нулю.

Прибавление к нулю произвольного целого числа a означает перемещение из начала отсчета на расстояние a единичных отрезков. Таким образом, мы оказываемся в точке с координатой a. Следовательно, результатом сложения нуля и произвольного целого числа является прибавляемое целое число.

С другой стороны, прибавление к произвольному целому числу нуля означает переместиться из точки, координату которой задает данное целое число, на расстояние нуль. Иными словами, мы останемся в исходной точке. Следовательно, результатом сложения произвольного целого числа и нуля является данное целое число.

Итак, сумма двух целых чисел, одно из которых есть нуль, равна другому целому числу. В частности, нуль плюс нуль есть нуль.

Приведем несколько примеров. Сумма целых чисел 78 и 0 равна 78; результат сложения нуля и −903 равен −903; также 0+0=0.

Проверка результата сложения

После того, как выполнено сложение двух целых чисел, полезно проверить полученный результат. Нам уже известно, что для проверки результата сложения двух натуральных чисел нужно от полученной суммы отнять любое из слагаемых, при этом должно получиться другое слагаемое. Проверка результата сложения целых чисел выполняется аналогично. Но вычитание целых чисел сводится к прибавлению к уменьшаемому числа, противоположного вычитаемому. Таким образом, чтобы проверить результат сложения двух целых чисел, нужно к полученной сумме прибавить число, противоположное любому из слагаемых, при этом должно получиться другое слагаемое.

Разберемся на примерах с проверкой результата сложения двух целых чисел.

Сложение трех и большего количества целых чисел

До этого момента мы говорили о сложении двух целых чисел. Иными словами, мы рассматривали суммы, состоящие из двух слагаемых. Однако сочетательное свойство сложения целых чисел позволяет нам однозначно определить сумму трех, четырех и большего количества целых чисел.

На основании свойств сложения целых чисел мы можем утверждать, что сумма трех, четырех и так далее чисел не зависит от способа расстановки скобок, указывающих порядок выполнения действий, а также от порядка следования слагаемых в сумме. Эти утверждения мы обосновывали, когда говорили о сложении трех и большего количества натуральных чисел. Для целых чисел все рассуждения полностью совпадают, и мы не будем повторяться.

Для примера вычислим сумму четырех целых чисел разными способами.