Вычитание целых чисел, правила, примеры.
Сейчас мы разберемся с тем, как выполняется вычитание целых чисел. Сначала введем термины и обозначения. Далее озвучим смысл вычитания целых чисел, от которого перейдем к правилу, позволяющему сводить вычитание целых чисел к сложению, и рассмотрим примеры использования этого правила при вычитании целого положительного, целого отрицательного числа и нуля. После этого научимся выполнять проверку вычисленной разности, и посмотрим, что собой представляет вычитание целых чисел на координатной прямой.
Термины и обозначения
Для описания вычитания целых чисел мы будем использовать все термины и обозначения, которыми мы пользовались при описании вычитания натуральных чисел.
Целое число, из которого проводится вычитание, будем называть уменьшаемым. Целое число, которое вычитаем, будем называть вычитаемым. Результат вычитания будем называть разностью.
Для обозначения вычитания будем использовать знак минус, который будем располагать между уменьшаемым и вычитаемым. Уменьшаемое, вычитаемое и полученную разность будем записывать в виде равенства. Например, если при вычитании из целого числа a целого числа b получается число c, то можно записать равенство вида a−b=c. Например, в равенстве вида −5−(−43)=38 целое число −5 является уменьшаемым, целое число −43 – вычитаемым, а 38 – разностью.
Выражения вида a−b также будем называть разностью, как и значение этого выражения.
Дальше из смысла вычитания целых чисел будет понятно, что результат вычитания целых чисел представляет собой целое число.
Смысл вычитания целых чисел
Когда мы изучали вычитание натуральных чисел, была установлена связь между сложением и вычитанием, которая позволила нам определить вычитание как нахождение одного из слагаемых по известной сумме и другому слагаемому. Будем считать, что вычитание целых чисел имеет тот же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых находится другое слагаемое (здесь как ни крути нужно знать, что собой представляет сложение целых чисел).
Озвученный смысл вычитания целых чисел позволяет нам утверждать, что разность c−b равна a и разность c−a равна b, если сумма a+b равна c, где a, b и c – целые числа.
Приведем несколько примеров для конкретики.
Пусть мы знаем, что −4+9=5, тогда разность 5−9 равна −4. Еще пример. Допустим нам известно, что сумма двух целых чисел −17 и −3 равна −20, тогда вычитание из целого числа −20 целого числа −3 в результате дает −17, а разность −20−(−17) равна −3.
Правило вычитания целых чисел
Смысл вычитания целых чисел, выясненный в предыдущем пункте, не дает нам способа вычисления разности. Действительно, на основании смысла вычитания целых чисел мы лишь можем сказать, что одно из известных слагаемых является результатом вычитания из их суммы другого известного слагаемого. Однако если одно из слагаемых неизвестно, то мы не знаем, чему равна разность между суммой и известным слагаемым. Таким образом, нам необходимо правило, позволяющее вычитать из одного целого числа другое.
Приведем формулировку правила вычитания целых чисел, после чего приведем его обоснование.
Чтобы вычислить разность двух целых чисел, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, то есть, a−b=a+(−b), где a и b – целые числа, b и −b – противоположные числа.
Докажем озвученное правило вычитания, то есть докажем, что значение выражения a+(−b) равно разности целых чисел a и b. Для этого, в силу смысла вычитания целых чисел, нужно прибавить к a+(−b) вычитаемое b и убедиться, что получается уменьшаемое a, то есть, нужно проверить справедливость равенства (a+(−b))+b=a. Это нам позволяют сделать свойства сложения целых чисел, на их основании мы можем записать цепочку равенств вида (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая и служит доказательством правила вычитания целых чисел.
Осталось рассмотреть применение правила вычитания целых чисел при решении примеров.
Вычитание целого положительного числа, примеры
Пример.
Выполните вычитание из числа 16 целого положительного числа 36.
Решение.
По правилу, чтобы из данного числа 16 вычесть целое положительное число 36 нужно к уменьшаемому 16 прибавить число −36, противоположное вычитаемому 36. То есть, искомая разность равна сумме целых чисел 16 и −36. Осталось лишь вычислить эту сумму целых чисел с противоположными знаками, она получается равной −20. Таким образом, результатом вычитания из 16 числа 36 является число −20.
Все решение можно записать в одну строку: 16−36=16+(−36)=−20.
Ответ:
16−36=−20.
Пример.
Отнимите от целого отрицательного числа −100 целое положительное число 50.
Решение.
Чтобы выполнить требуемое действие нужно к уменьшаемому −100 прибавить число −50, которое противоположно вычитаемому 50, - этого требует правило вычитания целых чисел. Нахождение суммы целых отрицательных чисел −100 и −50 не должно вызвать затруднений: −100+(−50)=−150. Следовательно, искомая разность равна −150.
Кратко нахождение разности указанных целых чисел можно записать так: −100−50=−100+(−50)=−150.
Ответ:
−100−50=−150.
Вычитание нуля, примеры
Правило вычитания целых чисел позволяет получить важный результат, касающийся вычитания нуля из данного целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, то есть, a−0=a, где a – произвольное целое число.
Приведем пояснения.
Согласно правилу вычитания целых чисел, вычитание нуля есть прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. А так как нуль является числом, противоположным самому себе, то вычесть нуль – это все равно, что прибавить нуль. Но в силу соответствующего свойства сложения, прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом, a−0=a+(−0)=a+0=a.
Рассмотрим несколько примеров вычитания нуля из различных целых чисел. Разность 45−0 равна 45. Если из целого отрицательного числа −6 005 вычесть нуль, то получим −6 005. Если от нуля отнять нуль, то в результате получим нуль.
Вычитание целого отрицательного числа, примеры
Пример.
Отнимите от целого числа 0 целое отрицательное число −411.
Решение.
Вычисление разности 0−(−411) по правилу вычитания целых чисел сводится к прибавлению к уменьшаемому 0 числа, противоположного вычитаемому −411. Так как целому отрицательному числу −411 противоположно число 411, то 0−(−411)=0+411=411.
Ответ:
0−(−411)=411.
Пример.
Вычислите разность −5−(−45).
Решение.
Нам нужно провести вычитание из −5 целого отрицательного числа −45. Для этого нам нужно вычислить сумму двух чисел: уменьшаемого −5 и числа 45, противоположного вычитаемому −45. Имеем −5−(−45)=−5+45=40.
Ответ:
−5−(−45)=40.
Вычитание равных целых чисел
Отдельно хочется сказать о вычитании равных целых чисел. Дело в том, что если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю, то есть, a−a=0, где a – любое целое число.
Поясним последнее утверждение. По правилу вычитания целых чисел a−a=a+(−a)=0. То есть, вычесть из целого числа равное ему число – это все равно, что прибавить к данному числу, противоположное ему число, что дает нуль.
Приведем пару примеров. Разность равных целых чисел −67 и −67 равна нулю; если из 653 вычесть равное ему число 653, то мы также получим 0. Наконец, если от нуля отнять нуль, то мы получим нуль.
Проверка результата вычитания целых чисел
Проверка результата вычитания целых чисел проводится при помощи сложения. Чтобы проверить, правильно ли было проведено вычитание целых чисел, нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться уменьшаемое.
Пример.
От целого отрицательного числа −303 было отнято целое отрицательное число −255, и была получена разность −47. Правильно ли выполнено вычитание?
Решение.
Выполним проверку. Для этого к разности прибавим вычитаемое: −47+(−255)=−302. Так как мы получили число, отличное от уменьшаемого −303, при вычитании целых чисел где-то была допущена ошибка.
Ответ:
нет.
Пример.
Вычтите из целого числа 34 целое число 89, проверьте полученный результат.
Решение.
По правилу вычитания целых чисел имеем 34−89=34+(−89)=−55.
Проверим полученный результат. К разности −55 прибавляем вычитаемое 89, имеем −55+89=34. Так как мы получили число, равное уменьшаемому, то вычитание данных целых чисел было выполнено правильно.
Ответ:
34−89=−55.
Вычитание целых чисел на координатной прямой
Осталось выяснить геометрический смысл вычитания целых чисел. В этом нам поможет координатная прямая, расположим ее горизонтально и направим вправо.
В предыдущих пунктах мы узнали, что вычитание из целого числа a целого числа b – это прибавление к числу a числа −b, то есть, a−b=a+(−b). Таким образом, геометрический смысл вычитания целых чисел a и b совпадает с геометрическим смыслом сложения целых чисел a и −b.
Отсюда следует, что при вычитании из целого числа a целого числа b нужно:
- переместиться из точки с координатой a на b единичных отрезков влево, если b – положительное число;
-
переместиться из точки с координатой a на
( - это модуль числа b) единичных отрезков вправо, если b – отрицательное число;
- остаться в точке с координатой a, если b=0.
Приведем примеры и графические иллюстрации.
Вычтем на координатной прямой из целого числа −2 целое положительное число 2. Для этого из точки с координатой −2 нужно переместиться влево на 2 единичных отрезка. При этом мы попадем в точку с координатой −4, то есть, −2−2=−4.
Теперь покажем на координатной прямой как проводится вычитание из целого числа 2 целого отрицательного числа −3. Мы из точки с координатой 2 перемещаемся вправо на 
единичных отрезка, в результате чего попадаем в точку с координатой 5. Таким образом, мы проиллюстрировали равенство 2−(−3)=5.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.