Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Умножение целых чисел, правила, примеры.

В этой статье мы разберемся, как выполняется умножение целых чисел. Сначала введем термины и обозначения, а также выясним смысл умножения двух целых чисел. После этого получим правила умножения двух целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. При этом будем приводить примеры с детальным пояснением хода решения. Также затронем случаи умножения целых чисел, когда один из множителей равен единице или нулю. Дальше мы научимся выполнять проверку полученного результата умножения. И, наконец, поговорим об умножении трех, четырех и большего количества целых чисел.

Термины и обозначения

Для описания умножения целых чисел мы будем использовать такие же термины, с помощью которых мы описывали умножение натуральных чисел. Напомним их.

Умножаемые целые числа называются множителями. Результат умножения называется произведением. Действие умножение обозначается знаком умножить вида «·». В некоторых источниках можно встретить обозначение умножения знаками «*» или «×».

Умножаемые целые числа a, b и результат их умножения c удобно записывать с помощью равенства вида a·b=c. В этой записи целое число a – это первый множитель, целое число b – второй множитель, а число c – произведение. Выражение вида a·b также будем называть произведением, как и значение этого выражения c.

Забегая вперед, заметим, что произведение двух целых чисел представляет собой целое число.

Смысл умножения целых чисел

Вспомним для начала смысл умножения двух натуральных чисел. Произведение двух натуральных чисел a и b – это сумма b слагаемых, каждое из которых равно a.

Так как целые положительные числа являются натуральными числами, то за произведением целых положительных чисел оставим этот же смысл. То есть, , где a и b – любые целые положительные числа.

Более того, этот смысл сохраним и для произведения, в котором первым слагаемым является любое целое число (отрицательное, нуль или положительное), а вторым слагаемым является целое положительное число. Например, произведение целого отрицательного числа −4 и целого положительного числа 5 будем понимать как (−4)·5=(−4)+(−4)+(−4)+(−4)+(−4).

В указанном свете умножение целого числа на единицу есть «сумма из одного слагаемого», равного первому множителю, то есть, a·1=a, где a – любое целое число. То есть, единицу будем считать нейтральным целым числом по умножению.

Аналогично, произведение целого числа и нуля есть «сумма, состоящая из нуля слагаемых». То есть, примем a·0=0 для любого целого числа a.

Произведению двух целых чисел, в котором вторым множителем является целое отрицательное число, не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование. Такие произведения будем рассматривать как некоторое обобщение. Примем для себя лишь одно условие: правила умножения на целое отрицательное число должны быть такими, чтобы оставались справедливыми свойства умножения, характерные для умножения целых положительных чисел, то есть, чтобы сохранялись свойства умножения натуральных чисел, в частности, переместительное и сочетательное.

Правила умножения двух целых чисел

Можно выполнять умножение двух целых чисел на основании смысла этого действия. Но, во-первых, нахождение суммы одинаковых слагаемых, когда этих слагаемых много, является очень трудоемким процессом. А во-вторых, смысл умножения целых чисел не позволяет находить произведения, в которых вторым множителем является отрицательное число. Поэтому, нам нужны правила, с помощью которых мы будем вычислять произведения двух целых чисел.

Сейчас мы получим правила умножения целых чисел, позволяющие свести умножение целых чисел к хорошо известному нам умножению натуральных чисел.

Умножение целых положительных чисел

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому умножение целых положительных чисел проводится по всем правилам умножения натуральных чисел. Понятно, что в результате умножения двух целых положительных чисел получится целое положительное число (натуральное число). Рассмотрим пару примеров.

Для умножения многозначных целых положительных чисел удобно использовать метод умножения столбиком.

Правило умножения целых чисел с разными знаками, примеры

Сформулировать правило умножения целых чисел с разными знаками нам поможет следующий пример.

Вычислим произведение целого отрицательного числа −5 и целого положительного числа 3 на основании смысла умножения. Так (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. Чтобы сохранилась справедливость переместительного свойства умножения, должно выполняться равенство (−5)·3=3·(−5). То есть, произведение 3·(−5) также равно −15. Несложно заметить, что модуль числа −15 равен произведению модулей исходных множителей, откуда следует, что произведение исходных целых чисел с разными знаками равно произведению модулей исходных множителей, взятому со знаком минус.

Так мы получили правило умножения целых чисел с разными знаками: чтобы перемножить два целых числа с разными знаками, нужно перемножить модули этих чисел и перед полученным числом поставить знак минус.

Из озвученного правила можно заключить, что произведение целых чисел с разными знаками всегда является целым отрицательным числом. Действительно, в результате умножения модулей множителей мы получим целое положительное число, а если перед этим числом поставить знак минус, то она станет целым отрицательным.

Рассмотрим примеры вычисления произведения целых чисел с разными знаками с помощью полученного правила.

В заключение этого пункта докажем справедливость равенства a·(−b)=−(a·b), где a и −b - произвольные целые числа. Частным случаем этого равенства является озвученное правило умножения целых чисел с разными знаками.

Другими словами, нам нужно доказать, что значения выражений a·(−b) и a·b – противоположные числа. Чтобы это доказать, найдем сумму a·(−b)+a·b и убедимся, что она равна нулю. В силу распределительного свойства умножения целых чисел относительно сложения справедливо равенство a·(−b)+a·b=a·((−b)+b). Сумма (−b)+b равна нулю как сумма противоположных целых чисел, тогда a·((−b)+b)=a·0. Последнее произведение равно нулю по свойству умножения целого числа на нуль. Таким образом, a·(−b)+a·b=0, следовательно, a·(−b) и a·b являются противоположными числами, откуда вытекает справедливость равенства a·(−b)=−(a·b). Аналогично можно показать, что (−a)·b=−(a·b).

Правило умножения отрицательных целых чисел, примеры

Получить правило умножения двух целых отрицательных чисел нам поможет равенство (−a)·(−b)=a·b, которое мы сейчас докажем.

В конце предыдущего пункта мы показали, что a·(−b)=−(a·b) и (−a)·b=−(a·b), поэтому мы можем записать следующую цепочку равенств (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)). А полученное выражение −(−(a·b)) есть не что иное, как a·b в силу определения противоположных чисел. Итак, (−a)·(−b)=a·b.

Доказанное равенство (−a)·(−b)=a·b позволяет сформулировать правило умножения целых отрицательных чисел: произведение двух отрицательных целых чисел равно произведению модулей этих чисел.

Из озвученного правила следует, что результатом умножения двух целых отрицательных чисел является целое положительное число.

Рассмотрим применение этого правила при выполнении умножения целых отрицательных чисел.

Умножение целого числа на единицу

Умножение любого целого числа a на единицу дает в результате число a. Об этом мы уже упоминали, когда обсуждали смысл умножения двух целых чисел. Так a·1=a. В силу переместительного свойства умножения должно быть справедливым равенство a·1=1·a. Следовательно, 1·a=a.

Приведенные рассуждения приводят нас к правилу умножения двух целых чисел, одно из которых равно единице. Произведение двух целых чисел, в котором одним из множителей является единица, равно другому множителю.

Например, 56·1=56, 1·0=0 и 1·(−601)=−601. Приведем еще пару примеров. Произведение целых чисел −53 и 1 равно −53, а результатом умножения единицы и отрицательного целого числа −989 981 является число −989 981.

Умножение целого числа на нуль

Мы условились, что произведение любого целого числа a на нуль равно нулю, то есть, a·0=0. Переместительное свойство умножения заставляет нас принять и равенство 0·a=0. Таким образом, произведение двух целых чисел, в котором хотя бы один из множителей является нулем, равно нулю. В частности, результатом умножения нуля на нуль является нуль: 0·0=0.

Приведем несколько примеров. Произведение целого положительного числа 803 и нуля равно нулю; результатом умножения нуля на целое отрицательное число −51 является нуль; также (−90 733)·0=0.

Отметим также, что произведение двух целых чисел тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Проверка результата умножения целых чисел

Проверка результата умножения двух целых чисел осуществляется с помощью деления. Нужно провести деление полученного произведения на один из множителей, если при этом получится число, равное другому множителю, то умножение было выполнено верно. Если же получится число, отличное от другого слагаемого, то где-то была допущена ошибка.

Рассмотрим примеры, в которых проводится проверка результата умножения целых чисел.

Умножение трех и более целых чисел

Сочетательное свойство умножения целых чисел позволяет нам однозначно определить произведение трех, четырех и большего количества целых чисел. При этом остальные свойства умножения целых чисел позволяют утверждать, что произведение трех и более целых чисел не зависит от способа расстановки скобок и от порядка следования множителей в произведении. Аналогичные утверждения мы обосновали, когда говорили об умножении трех и большего количества натуральных чисел. В случае целых множителей обоснование полностью совпадает.

Рассмотрим решение примера.

Отдельно отметим, что если в произведении трех, четырех и т.д. целых чисел хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Например, произведение четырех целых чисел 5, −90 321, 0 и 111 равно нулю; результатом умножения трех целых чисел 0, 0 и −1 983 также является нуль. Справедливо и обратное утверждение: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.