Интегрирование простейших дробей.
Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.
Пример.
Найти неопределенный интеграл 
.
Решение.
Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:
Поэтому, 
.
Разложение полученной правильной рациональной дроби 
на простейшие дроби имеет вид 
. Следовательно,
Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.
Так как 
, то 
. Поэтому
Следовательно,
Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.
Интегрирование простейших дробей первого типа 
Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:
Пример.
Найти множество первообразных функции 
Решение.
Найдем неопределенный интеграл 
, используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования 
.
Интегрирование простейших дробей второго типа 
Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:
Пример.
Найдите неопределенный интеграл 
.
Решение.
Интегрирование простейших дробей третьего типа 
Для начала представляем неопределенный интеграл 
в виде суммы:
Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:
Поэтому,
У полученного интеграла 
преобразуем знаменатель:
Следовательно,
Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:
Пример.
Найдите неопределенный интеграл 
.
Решение.
Используем полученную формулу:
Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили:
Интегрирование простейших дробей четвертого типа 
Первый шаг – подводим под знак дифференциала:
Второй шаг – нахождение интеграла вида 
. Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите раздел интегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:
Пример.
Найдите неопределенный интеграл 
Решение.
Для данного вида подынтегральной функции используем метод подстановки. Введем новую переменную (смотрите раздел интегрирование иррациональных функций):
После подстановки имеем:
Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3. Применяем рекуррентную формулу:
После обратной замены 
получаем результат:
Некогда разбираться?