Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Интегрирование простейших дробей.


Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.


Пример.

Найти неопределенный интеграл формула.

Решение.

Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:
формула

Поэтому, формула.

Разложение полученной правильной рациональной дроби формула на простейшие дроби имеет вид формула. Следовательно,
формула

Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

Так как формула, то формула. Поэтому
формула

Следовательно,
формула

Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа формула

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:
формула

Пример.

Найти множество первообразных функции формула

Решение.

Найдем неопределенный интеграл формула, используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования формула.

формула

Интегрирование простейших дробей второго типа формула


Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:
формула

Пример.

Найдите неопределенный интеграл формула.

Решение.

формула

Интегрирование простейших дробей третьего типа формула

Для начала представляем неопределенный интеграл формула в виде суммы:
формула

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:
формула

Поэтому,
формула

У полученного интеграла формула преобразуем знаменатель:
формула

Следовательно,
формула

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:
формула

Пример.

Найдите неопределенный интеграл формула.

Решение.

Используем полученную формулу:
формула

Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили:
формула

Интегрирование простейших дробей четвертого типа формула

Первый шаг – подводим под знак дифференциала:
формула

Второй шаг – нахождение интеграла вида формула. Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите раздел интегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:
формула

Пример.

Найдите неопределенный интеграл формула

Решение.

формула

Для данного вида подынтегральной функции используем метод подстановки. Введем новую переменную (смотрите раздел интегрирование иррациональных функций):
формула

После подстановки имеем:
формула

Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3. Применяем рекуррентную формулу:
формула

После обратной замены формула получаем результат:
формула

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+