Интегрирование иррациональных функций.
Класс иррациональных функций очень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может. В этой статье попытаемся выделить наиболее характерные виды иррациональных подынтегральных функций и поставить им в соответствие метод интегрирования.
-
Используя метод непосредственного интегрирования, достаточно просто находятся неопределенные интегралы вида
, где p – рациональная дробь, k и b – действительные коэффициенты.
Пример.
Найти множество первообразных функции
.
Решение.
Правило интегрирования
и таблица первообразных сразу приводят нас к ответу:
Ответ:
.
-
Бывают случаи, когда уместно использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида
, где p – рациональная дробь.
Пример.
Найти неопределенный интеграл
.
Решение.
Не трудно заметить, что
. Следовательно, подводим под знак дифференциала и используем таблицу первообразных:
Ответ:
.
-
Достаточно часто приходится иметь дело с неопределенными интегралами вида
, где p и q – действительные коэффициенты.
В этом случае выделяем полный квадрат под знаком корня:
и используем формулу из таблицы неопределенных интегралов
.
То есть,
Пример.
Найти неопределенный интеграл
.
Решение.
Для начала вынесем двойку из-под знака радикала:
В подкоренном выражении выделяем полный квадрат:
Поэтому
Ответ:
.
-
Аналогично проводится интегрирование иррациональных функций вида
.
Пример.
Найдите неопределенный интеграл
.
Решение.
Выделим полный квадрат в выражении под знаком корня:
Пришли к табличному интегралу
, поэтому
Ответ:
.
-
Нахождение множества первообразных иррациональных функций
, где M, N, p и q – действительные коэффициенты, очень схоже с интегрированием простейших дробей третьего типа: выполняется подведение под знак дифференциала, затем выделяется полный квадрат подкоренного выражения и применяются формулы из таблицы первообразных.
Разберем пример для наглядности.
Пример.
Найти множество первообразных функции
.
Решение.
Так как
и 
, то 
Поэтому
Ответ:
.
-
Неопределенные интегралы иррациональных функций вида
находятся методом подстановки.
В зависимости от рациональных чисел m, n и p вводят следующие новые переменные:
-
Если p - целое число, то принимают
, где N - общий знаменатель чисел m и n.
-
Если
- целое число, то 
, где N - знаменатель числа p.
-
Если
- целое число, то вводят новую переменную 
, где N - знаменатель числа p.
Пример.
Найти неопределенный интеграл
.
Решение.
То есть, m = -1, n = 1,
. Так как 
- целое число, то вводим новую переменную 
(N = 2 – знаменатель числа p).
Выражаем х через z:
Выполняем подстановку в исходный интеграл:
Ответ:
.
-
Если p - целое число, то принимают
На этом закончим с интегрированием иррациональных функций. Как видите, основные методы интегрирования позволяют без особого труда справляться с этой задачей.
Некогда разбираться?