Интегрирование иррациональных функций.

Класс иррациональных функций очень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может. В этой статье попытаемся выделить наиболее характерные виды иррациональных подынтегральных функций и поставить им в соответствие метод интегрирования.

• Используя метод непосредственного интегрирования, достаточно просто находятся неопределенные интегралы вида , где p – рациональная дробь, k и b – действительные коэффициенты.

  Пример.

  Найти множество первообразных функции .

  Решение.

  Правило интегрирования и таблица первообразных сразу приводят нас к ответу:
  

  Ответ:

  .

  К началу страницы

• Бывают случаи, когда уместно использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида , где p – рациональная дробь.

  Пример.

  Найти неопределенный интеграл .

  Решение.

  Не трудно заметить, что . Следовательно, подводим под знак дифференциала и используем таблицу первообразных:
  

  Ответ:

  .

  К началу страницы
• 
  

  Достаточно часто приходится иметь дело с неопределенными интегралами вида , где p и q – действительные коэффициенты.

  В этом случае выделяем полный квадрат под знаком корня:
  

  и используем формулу из таблицы неопределенных интегралов .

  То есть,
  

  Пример.

  Найти неопределенный интеграл .

  Решение.

  Для начала вынесем двойку из-под знака радикала:
  

  В подкоренном выражении выделяем полный квадрат:
  

  Поэтому
  

  Ответ:

  .

  К началу страницы

• Аналогично проводится интегрирование иррациональных функций вида .

  Пример.

  Найдите неопределенный интеграл .

  Решение.

  Выделим полный квадрат в выражении под знаком корня:
  

  Пришли к табличному интегралу , поэтому
  

  Ответ:

  .

  К началу страницы

• Нахождение множества первообразных иррациональных функций , где M, N, p и q – действительные коэффициенты, очень схоже с интегрированием простейших дробей третьего типа: выполняется подведение под знак дифференциала, затем выделяется полный квадрат подкоренного выражения и применяются формулы из таблицы первообразных.

  Разберем пример для наглядности.

  Пример.

  Найти множество первообразных функции .

  Решение.

  Так как и , то

  Поэтому
  

  Ответ:

  .

  К началу страницы

• Неопределенные интегралы иррациональных функций вида находятся методом подстановки.

  В зависимости от рациональных чисел m, n и p вводят следующие новые переменные:

  1. Если p - целое число, то принимают , где N - общий знаменатель чисел m и n.
  2. Если - целое число, то , где N - знаменатель числа p.
  3. Если - целое число, то вводят новую переменную , где N - знаменатель числа p.

  Пример.

  Найти неопределенный интеграл .

  Решение.

  

  То есть, m = -1, n = 1, . Так как - целое число, то вводим новую переменную (N = 2 – знаменатель числа p).

  Выражаем х через z:
  

  Выполняем подстановку в исходный интеграл:
  

  Ответ:

  .

  К началу страницы

На этом закончим с интегрированием иррациональных функций. Как видите, основные методы интегрирования позволяют без особого труда справляться с этой задачей.

Некогда разбираться?

Закажите решение