Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов).


Таблица первообразных.

Свойства неопределенного интеграла позволяют по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. Таким образом, используя равенства формула и формула можно из таблицы производных основных элементарных функций составить таблицу первообразных.


Напомним таблицу производных, запишем ее еще в виде дифференциалов.

таблица производных степенная функция таблица производных показательная функция таблица производных логарифмическая функция таблица производных тригонометрические функции таблица производных обратные тригонометрические функции

Для примера найдем неопределенный интеграл степенной функции формула.

Используем таблицу дифференциалов формула, следовательно, по свойствам неопределенного интеграла имеем формула. Поэтому формула или в другой записи формула

Найдем множество первообразных степенной функции формула при p = -1. Имеем формула. Обращаемся к таблице дифференциалов для натурального логарифма формула, следовательно, формула. Поэтому формула.

Надеюсь, принцип Вы уловили.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов).

таблица первообразных

Формулы из левого столбца таблицы называют основными первообразными. Формулы из правого столбца основными не являются, но очень часто используются при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование.


Непосредственное интегрирование базируется на использовании свойств неопределенных интегралов формула, формула, правила интегрирования формула и таблицы первообразных.

Обычно, подынтегральное выражение сначала требуется слегка преобразовать, чтобы можно было использовать таблицу основных интегралов и свойства интегралов.

Пример.

Найти интеграл формула.

Решение.

Коэффициент 3 можно вынести из-под знака интеграла на основании свойства:
формула

Преобразуем подынтегральную функцию (по формулам тригонометрии):
формула

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
формула

Пришло время обратиться к таблице первообразных:
формула

Ответ:

формула.

Пример.

Найти множество первообразных функции формула

Решение.

Обращаемся к таблице первообразных для показательной функции: формула. То есть, формула.

Если использовать правило интегрирования формула, то имеем:
формула

Таким образом, таблица первообразных вместе со свойствами и правилом интегрирования позволяют найти массу неопределенных интегралов. Однако, далеко не всегда можно преобразовать подынтегральную функцию, чтобы использовать таблицу первообразных.

К примеру, в таблице первообразных отсутствует интеграл от функции логарифма, функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, функции тангенса и котангенса. Для их нахождения применяются специальные методы. Но об этом в следующем разделе: основные методы интегрирования.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+