Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов).
Таблица первообразных.
Свойства неопределенного интеграла позволяют по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. Таким образом, используя равенства 
и 
можно из таблицы производных основных элементарных функций составить таблицу первообразных.
Напомним таблицу производных, запишем ее еще в виде дифференциалов.
Для примера найдем неопределенный интеграл степенной функции 
.
Используем таблицу дифференциалов 
, следовательно, по свойствам неопределенного интеграла имеем 
. Поэтому 
или в другой записи 
Найдем множество первообразных степенной функции при p = -1. Имеем 
. Обращаемся к таблице дифференциалов для натурального логарифма 
, следовательно, 
. Поэтому 
.
Надеюсь, принцип Вы уловили.
Таблица первообразных (неопределенных интегралов).
Формулы из левого столбца таблицы называют основными первообразными. Формулы из правого столбца основными не являются, но очень часто используются при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.
Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование базируется на использовании свойств неопределенных интегралов , 
, правила интегрирования 
и таблицы первообразных.
Обычно, подынтегральное выражение сначала требуется слегка преобразовать, чтобы можно было использовать таблицу основных интегралов и свойства интегралов.
Пример.
Найти интеграл 
.
Решение.
Коэффициент 3 можно вынести из-под знака интеграла на основании свойства:
Преобразуем подынтегральную функцию (по формулам тригонометрии):
Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
Пришло время обратиться к таблице первообразных:
Ответ:
.
Пример.
Найти множество первообразных функции 
Решение.
Обращаемся к таблице первообразных для показательной функции: 
. То есть, 
.
Если использовать правило интегрирования , то имеем:
Таким образом, таблица первообразных вместе со свойствами и правилом интегрирования позволяют найти массу неопределенных интегралов. Однако, далеко не всегда можно преобразовать подынтегральную функцию, чтобы использовать таблицу первообразных.
К примеру, в таблице первообразных отсутствует интеграл от функции логарифма, функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, функции тангенса и котангенса. Для их нахождения применяются специальные методы. Но об этом в следующем разделе: основные методы интегрирования.
Некогда разбираться?