Использование рекуррентных формул при интегрировании.
Рекуррентные формулы – это формулы, выражающие n-ый член последовательности через предыдущие члены. При нахождении интегралов они не редко используются.
Мы не ставим целью перечислить все рекуррентные формулы, а хотим дать принцип их получения. Вывод этих формул основан на преобразовании подынтегральной функции и применении метода интегрирования по частям.
К примеру, неопределенный интеграл 
можно взять, используя рекуррентную формулу 
.
Вывод формулы 
:
Используя формулы тригонометрии, можно записать:
Полученный интеграл найдем методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем cosx, следовательно, 
.
Поэтому,
Возвращаемся к исходному интегралу:
То есть,
Что и требовалось показать.
Аналогично выводятся следующие рекуррентные формулы:
-
Для нахождения интегралов вида
используется рекуррентная формула 
, n – натуральное число.
-
Для нахождения интегралов вида
используется рекуррентная формула 
.
-
Для нахождения интегралов вида
используется рекуррентная формула 
.
-
Для нахождения интегралов вида
используется рекуррентная формула 
.
Пример.
Найти неопределенный интеграл 
.
Решение.
Используем рекуррентную формулу из четвертого пункта (в нашем примере n = 3):
Так как из таблицы первообразных имеем 
, то
Приведем еще одну формулу, которая может быть полезна при интегрировании простейших дробей четвертого типа.
Вывод этой формулы основан на преобразовании подынтегральной функции с последующим интегрированием по частям.
Последний интеграл берется по частям при u(z) = z и 
.
Пример.
Найти множество первообразных функции 
.
Решение.
В данном случае n = 3, p = 3, q = 8. Применим рекуррентную формулу:
В заключении хочется отметить, что использование рекуррентных формул значительно ускоряет процесс интегрирования. Однако, прийти к результату можно и без них. В этом нам всегда помогут основные методы интегрирования.
Некогда разбираться?