Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Использование рекуррентных формул при интегрировании.


Рекуррентные формулы – это формулы, выражающие n-ый член последовательности через предыдущие члены. При нахождении интегралов они не редко используются.

Мы не ставим целью перечислить все рекуррентные формулы, а хотим дать принцип их получения. Вывод этих формул основан на преобразовании подынтегральной функции и применении метода интегрирования по частям.

К примеру, неопределенный интеграл формула можно взять, используя рекуррентную формулу формула.

формула


Вывод формулы формула:

Используя формулы тригонометрии, можно записать:
формула

Полученный интеграл найдем методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем cosx, следовательно, формула.

формула

Поэтому,
формула

Возвращаемся к исходному интегралу:
формула

То есть,
формула

Что и требовалось показать.


Аналогично выводятся следующие рекуррентные формулы:

  1. Для нахождения интегралов вида формула используется рекуррентная формула формула, n – натуральное число.
  2. Для нахождения интегралов вида формула используется рекуррентная формула формула.
  3. Для нахождения интегралов вида формула используется рекуррентная формула формула.
  4. Для нахождения интегралов вида формула используется рекуррентная формула формула.

Пример.

Найти неопределенный интеграл формула.

Решение.

Используем рекуррентную формулу из четвертого пункта (в нашем примере n = 3):
формула

Так как из таблицы первообразных имеем формула, то
формула

Приведем еще одну формулу, которая может быть полезна при интегрировании простейших дробей четвертого типа.

формула

Вывод этой формулы основан на преобразовании подынтегральной функции с последующим интегрированием по частям.

формула

Последний интеграл берется по частям при u(z) = z и формула.

Пример.

Найти множество первообразных функции формула.

Решение.

В данном случае n = 3, p = 3, q = 8. Применим рекуррентную формулу:
формула

В заключении хочется отметить, что использование рекуррентных формул значительно ускоряет процесс интегрирования. Однако, прийти к результату можно и без них. В этом нам всегда помогут основные методы интегрирования.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+