Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании.


Метод подведения под знак дифференциала основан на равенстве формула. То есть, главной задачей является приведение подынтегральной функции к виду формула. Поэтому желательно иметь перед глазами таблицу производных основных элементарных функций. Перепишем ее в виде дифференциалов


И таблицу первообразных.

Пример.

Найти неопределенный интеграл формула.

Решение.

Подынтегральное выражение уже является подведенным под знак дифференциала.

Так как формула (по таблице первообразных), то формула.

Пример.

Найти множество первообразных функции формула.

Решение.

Нам нужно вычислить неопределенный интеграл формула. Используем метод подведения под знак дифференциала. Из таблицы производных имеем формула, поэтому формула. По таблице первообразных сразу приходим к ответу формула.

Немного поясним. Можно ввести новую переменную z = lnx, тогда формула. Из таблицы первообразных для степенной функции видим, что формула. Возвращаемся к исходной переменной: формула.

Ответ:

формула.


Первообразные тангенса и котангенса можно найти методом подведения под знак дифференциала.

Пример.

Вычислить интеграл тангенса формула.

Решение.

формула

Так как формула, то можно подвести под знак дифференциала формула. Из таблицы первообразных видим формула, где формула.

Ответ:

формула.

Основные затруднения вызывает вопрос: какую часть подынтегральной функции подводить под знак дифференциала. Здесь лучший советчик – это практика.

Пример.

Найти неопределенный интеграл формула.

Решение.

По таблице производных видим формула, поэтому формула, а по таблице основных интегралов видим формула. Следовательно, решение по методу подведения под знак дифференциала будет следующим:
формула

Пример.

Найти неопределенный интеграл формула.

Решение.

Преобразуем подкоренное выражение:
формула

Тогда формула. Так как d(x+1) = dx, то
формула

Из таблицы первообразных
формула

Иногда приходится проводить достаточно серьезные преобразования подынтегрального выражения, чтобы можно было провести подведение под знак дифференциала.

Пример.

Найти множество первообразных функции формула.

Решение.

Выполним некоторые преобразования:
формула

Попробуем провести подведение под знак дифференциала.

Так как
формула
то
формула

Поэтому
формула

Так как формула, то
формула

В результате, пришли к двум табличным интегралам.
формула

Рекомендуем ознакомиться с другими методами интегрирования.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+