Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании.
Метод подведения под знак дифференциала основан на равенстве 
. То есть, главной задачей является приведение подынтегральной функции к виду 
. Поэтому желательно иметь перед глазами таблицу производных основных элементарных функций. Перепишем ее в виде дифференциалов
И таблицу первообразных.
Пример.
Найти неопределенный интеграл 
.
Решение.
Подынтегральное выражение уже является подведенным под знак дифференциала.
Так как 
(по таблице первообразных), то 
.
Пример.
Найти множество первообразных функции 
.
Решение.
Нам нужно вычислить неопределенный интеграл 
. Используем метод подведения под знак дифференциала. Из таблицы производных имеем 
, поэтому 
. По таблице первообразных сразу приходим к ответу 
.
Немного поясним. Можно ввести новую переменную z = lnx, тогда 
. Из таблицы первообразных для степенной функции видим, что 
. Возвращаемся к исходной переменной: 
.
Ответ:
.
Первообразные тангенса и котангенса можно найти методом подведения под знак дифференциала.
Пример.
Вычислить интеграл тангенса 
.
Решение.
Так как 
, то можно подвести под знак дифференциала 
. Из таблицы первообразных видим 
, где 
.
Ответ:
.
Основные затруднения вызывает вопрос: какую часть подынтегральной функции подводить под знак дифференциала. Здесь лучший советчик – это практика.
Пример.
Найти неопределенный интеграл 
.
Решение.
По таблице производных видим 
, поэтому 
, а по таблице основных интегралов видим 
. Следовательно, решение по методу подведения под знак дифференциала будет следующим:
Пример.
Найти неопределенный интеграл 
.
Решение.
Преобразуем подкоренное выражение:
Тогда 
. Так как d(x+1) = dx, то
Из таблицы первообразных
Иногда приходится проводить достаточно серьезные преобразования подынтегрального выражения, чтобы можно было провести подведение под знак дифференциала.
Пример.
Найти множество первообразных функции 
.
Решение.
Выполним некоторые преобразования:
Попробуем провести подведение под знак дифференциала.
Так как
то
Поэтому
Так как 
, то
В результате, пришли к двум табличным интегралам.
Рекомендуем ознакомиться с другими методами интегрирования.
Некогда разбираться?