Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Разложение дроби на простейшие.


Для начала разберем теорию, далее решим парочку примеров для закрепления материала по разложению дробно рациональной функции на сумму простейших дробей. Подробно остановимся на методе неопределенных коэффициентов и методе частных значений, а также на их комбинации.

Простейшие дроби часто называют элементарыми дробями.


Различают следующие виды простейших дробей:

  1. вид простейшей дроби первого типа
  2. вид простейшей дроби второго типа
  3. вид простейшей дроби третьего типа
  4. вид простейшей дроби четвертого типа

где A, M, N, a, p, q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.

Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов.

Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?

Приведем математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.

К примеру, требуетя взять интеграл от дробно рациональной функции формула. После разложения подынтегральной функции на простейшие дроби, все сводится к достаточно простым интегралам
формула

Но об интегралах в другом разделе.

Пример.

Разложить дробь формула на простейшие.

Решение.

Вообще отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят разложение правильной дробно рациональной функции.

Выполним деление столбиком (уголком):
формула

Следовательно, исходная дробь примет вид:
формула

Таким образом, на простейшие дроби будем раскладывать формула


Алгоритм метода неопределенных коэффициентов.

P.S.

Пожалуйста, не ленитесь, проверяйте ответ, приводя к общему знаменателю полученное разложение.
формула

Метод неопределенных коэффициентов является универсальным способом при разложении дроби на простейшие.

Очень удобно использовать метод частных значений, если знаменатель представляет собой произведение линейных множителей, то есть имеет вид схожий с формула

Рассмотрим на примере, чтобы показать плюсы этого метода.

Пример.

Разложить дробь формула на простейшие.

Решение.

Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то производить деление нам не придется. Переходим к разложению знаменателя на множители.

Для начала выносим х за скобки.
формула

Находим корни квадратного трехчлена формула (например, по теореме Виета):
формула

Следовательно, квадратный трехчлен можно записать как формула

То есть, знаменатель примет вид формула

При данном знаменателе, исходная дробь раскладывается в сумму трех простейших дробей первого типа с неопределенными коэффициентами:
формула

Полученную сумму приводим к общему знаменателю, но в числителе при этом скобки не раскрываем и не приводим подобные при А, В и С (на этом этапе как раз отличие от метода неопределенных коэффициентов):
формула

Таким образом, пришли к равенству:
формула

А теперь, для нахождения неопределенных коэффициентов, начинаем подставлять в полученное равенство «частные значения», при которых знаменатель обращается в ноль, то есть х=0, х=2 и х=3 для нашего примера.

При х=0 имеем:
формула

При х=2 имеем:
формула

При х=3 имеем:
формула

Ответ:

формула

Как видите, различие метода неопределенных коэффициентов и метода частных значений лишь в способе нахождения неизвестных. Эти методы можно совмещать для упрощения вычислений.

Рассмотрим пример.

Пример.

Разложить дробно рациональное выражение формула на простейшие дроби.

Решение.

Так как степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя и знаменатель уже разложен на множители, то исходное выражение представится в виде суммы простейших дробей следующего вида:
формула

Приводим к общему знаменателю:
формула

Приравниваем числители.
формула

Очевидно, что нулями знаменателя являются значения х=1, х=-1 и х=3. Используем метод частных значений.

При х=1 имеем:
формула

При х=-1 имеем:
формула

При х=3 имеем:
формула

Осталось найти неизвестные формула и формула

Для этого подставляем найденные значения в равенство числителей:
формула

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых при одинаковых степенях х приходим к равенству двух многочленов:
формула

Приравниваем соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях, тем самым составляем систему уравнений для нахождения оставшихся неизвестных формула и формула. Получаем систему из пяти уравнений с двумя неизвестными:
формула

Из первого уравнения сразу находим формула, из второго уравнения формула

В итоге получаем разложение на простейшие дроби:
формула

Примечание.

Если бы мы сразу решили применить метод неопределенных коэффициентов, то пришлось бы решать систему пяти линейных алгебраических уравнений с пятью неизвестными. Применение метода частных значений позволило легко отыскать значения трех неизвестных из пяти, что значительно упростило дальнейшее решение.

Удачных решений!

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+