Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Деление многочленов.


Вспомним для начала о рациональных дробях и о выделении целой части из неправильных дробей.

Рациональная дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, в противном случае – неправильной.

Примеры правильных рациональных дробей: формула, неправильных - формула.

Будем работать только с несократимыми дробями, то есть формула - это формула, а формула - это формула.

Как происходит процесс выделения целой части из неправильной дроби: мы делим числитель на знаменатель столбиком (уголком) и дробь представляется в виде суммы целой части и дробной части. Дробная часть – это отношение остатка от деления и знаменателя.

Покажем это на примере.


Пример.

Найти остаток от деления 27 на 4.

Решение.

Ответ:

остаток равен 3.

Пример.

Выделить целые части из дробей формула и формула.

Решение.

Разделим числитель первой дроби на знаменатель уголком:
формула

Делим дальше:
формула

Поэтому, формула.

Вторая дробь – правильная, следовательно, ее целая часть равна нулю.

Ответ:

целая часть первой дроби равна 27, второй - 0.


Теперь перейдем к отношению многочленов, то есть к дробно рациональной функции (смотрите классификацию элементарных функций).

Дробно рациональная функция называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае – неправильной.

Деление многочлена на многочлен производится по тому же принципу – столбиком (уголком) и функция представляется в виде суммы «целой части» и дробной части.

Для деления многочлена на линейный двучлен очень удобно использовать схему Горнера.

Рассмотрим примеры деления многочленов.

Пример.

Разделить многочлен формула на одночлен формула.

Решение.

Запишем в виде дроби и воспользуемся свойством деления:
формула

Очень часть такие преобразования приходится делать при взятии интегралов.

Пример.

Выполнить деление многочлена формула на многочлен формула столбиком (уголком).

Решение.

Отношение многочленов можно записать в виде дроби формула, у которой степень числителя равна степени знаменателя, то есть, дробь неправильная и «целую часть» можно выделить выполнив деление уголком.
формула

Следовательно, целая часть равна двум, остаток от деления многочленов есть двучлен формула, то есть формула.

Пример.

Найти остаток от деления многочлена формула на многочлен формула

Решение.

Запишем дробь формула

Степень числителя больше степени знаменателя, то есть, дробь неправильная. Выделим «целую часть» дробно рациональной функции, выполнив деление столбиком (уголком).
формула

Продолжаем деление.
формула

Таким образом, остаток от деления многочленов равен формула, следовательно,
формула

Иногда бывает достаточно выполнить преобразование дроби, чтобы выявить остаток от деления числителя на знаменатель:
формула

Следовательно, остаток от деления многочлена формула на многочлен формула равен формула.

Иногда очень быстро прийти к результату позволяет использование формул сокращенного умножения.

Пример.

Выполнить деление многочлена формула на двучлен формула.

Решение.

Запишем отношение в виде дроби: формула

В числителе находится выражение, представляющее собой куб суммы, поэтому
формула

Вывод: исходный многочлен делится на двучлен без остатка.

Так что выбирайте для себя наиболее удобный вариант решения, но помните – деление многочлена на многочлен столбиком является универсальным способом.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+