Деление многочленов.
Вспомним для начала о рациональных дробях и о выделении целой части из неправильных дробей.
Рациональная дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, в противном случае – неправильной.
Примеры правильных рациональных дробей: 
, неправильных - 
.
Будем работать только с несократимыми дробями, то есть 
- это 
, а 
- это 
.
Как происходит процесс выделения целой части из неправильной дроби: мы делим числитель на знаменатель столбиком (уголком) и дробь представляется в виде суммы целой части и дробной части. Дробная часть – это отношение остатка от деления и знаменателя.
Покажем это на примере.
Пример.
Найти остаток от деления 27 на 4.
Решение.
Разделим натуральные числа столбиком:
Следовательно, 
Ответ:
остаток равен 3.
Пример.
Выделить целые части из дробей 
и 
.
Решение.
Разделим числитель первой дроби на знаменатель уголком:
Делим дальше:
Поэтому, 
.
Вторая дробь – правильная, следовательно, ее целая часть равна нулю.
Ответ:
целая часть первой дроби равна 27, второй - 0.
Теперь перейдем к отношению многочленов, то есть к дробно рациональной функции (смотрите классификацию элементарных функций).
Дробно рациональная функция называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае – неправильной.
Деление многочлена на многочлен производится по тому же принципу – столбиком (уголком) и функция представляется в виде суммы «целой части» и дробной части.
Для деления многочлена на линейный двучлен очень удобно использовать схему Горнера.
Рассмотрим примеры деления многочленов.
Пример.
Разделить многочлен 
на одночлен 
.
Решение.
Запишем в виде дроби и воспользуемся свойством деления:
Очень часть такие преобразования приходится делать при взятии интегралов.
Пример.
Выполнить деление многочлена 
на многочлен 
столбиком (уголком).
Решение.
Отношение многочленов можно записать в виде дроби 
, у которой степень числителя равна степени знаменателя, то есть, дробь неправильная и «целую часть» можно выделить выполнив деление уголком.
Следовательно, целая часть равна двум, остаток от деления многочленов есть двучлен 
, то есть 
.
Пример.
Найти остаток от деления многочлена 
на многочлен 
Решение.
Запишем дробь 
Степень числителя больше степени знаменателя, то есть, дробь неправильная. Выделим «целую часть» дробно рациональной функции, выполнив деление столбиком (уголком).
Продолжаем деление.
Таким образом, остаток от деления многочленов равен 
, следовательно,
Иногда бывает достаточно выполнить преобразование дроби, чтобы выявить остаток от деления числителя на знаменатель:
Следовательно, остаток от деления многочлена 
на многочлен 
равен 
.
Иногда очень быстро прийти к результату позволяет использование формул сокращенного умножения.
Пример.
Выполнить деление многочлена 
на двучлен 
.
Решение.
Запишем отношение в виде дроби: 
В числителе находится выражение, представляющее собой куб суммы, поэтому
Вывод: исходный многочлен делится на двучлен без остатка.
Так что выбирайте для себя наиболее удобный вариант решения, но помните – деление многочлена на многочлен столбиком является универсальным способом.