Равносильные уравнения и уравнения-следствия

Существуют преобразования уравнений, позволяющие переходить от решаемого уравнения к так называемым равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям, по решениям которых есть возможность определить решение исходного уравнения. В этой статье мы подробно разберем, какие уравнения называются равносильными, а какие – уравнениями-следствиями, дадим соответствующие определения, приведем поясняющие примеры и объясним, как найти корни уравнения по известным корням равносильного уравнения и уравнения-следствия.

Равносильные уравнения, определение, примеры

Дадим определение равносильных уравнений.

Определение

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.

Такие же по смыслу определения, но немного отличающиеся по формулировке, приводятся в различных учебниках математики, например,

Определение

Два уравнения f(x)=g(x) и r(x)=s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней) [1, с. 179].

Определение

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными [2, с. 23].

Определение

Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают [3, с. 201].

Определение

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными [4, с. 186].

Под одними и теми же корнями понимается следующее: если какое-то число является корнем одного из равносильных уравнений, то оно является и корнем любого другого из этих уравнений, и не одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого из этих уравнений.

Приведем примеры равносильных уравнений. Например, три уравнения 4·x=8, 2·x=4 и x=2 – равносильные. Действительно, каждое из них имеет единственный корень 2, поэтому они равносильны по определению. Еще пример: равносильными являются два уравнения x·0=0 и 2+x=x+2, множества их решений совпадают: корнем и первого и второго из них является любое число. Два уравнения x=x+5 и x⁴=−1 также представляют собой пример равносильных уравнений, они оба не имеют действительных решений.

Для полноты картины стоит привести примеры не равносильных уравнений. Например, не равносильны уравнения x=2 и x²=4, так как второе уравнение имеет корень −2, который не является корнем первого уравнения. Уравнения и также не являются равносильными, так как корнями второго уравнения являются любые числа, а число нуль не является корнем первого уравнения.

Озвученное определение равносильных уравнений относится как к уравнениям с одной переменной, так и к уравнениям с большим числом переменных. Однако для уравнений с двумя, тремя и т.д. переменными слово «корни» в определении нужно заменить словом «решения». Итак,

Определение

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения, или не имеющие их.

Покажем пример равносильных уравнений с несколькими переменными. x²+y²+z²=0 и 5·x²+x²·y⁴·z⁸=0 - вот пример равносильных уравнений с тремя переменными x, y и z, они оба имеют единственное решение (0, 0, 0). А вот уравнения с двумя переменными x+y=5 и x·y=1 не являются равносильными, так как, например, пара значений x=2, y=3 является решением первого уравнения (при подстановке этих значений в первое уравнение получаем верное равенство 2+3=5), но не является решением второго (при подстановке этих значений во второе уравнение получаем неверное равенство 2·3=1).

К началу страницы

Уравнения-следствия

Приведем определения уравнений-следствий из школьных учебников:

Определение

Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x), то уравнение p(x)=h(x) называют следствием уравнения f(x)=g(x) [3, с. 202].

Определение

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения [4, с. 187].

Приведем пару примеров уравнений-следствий. Уравнение x²=3² является следствием уравнения x−3=0. Действительно, второе уравнение имеет единственный корень x=3, этот корень является и корнем уравнения x²=3², поэтому по определению уравнение x²=3² – это следствие уравнения x−3=0. Другой пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 – это следствие уравнения , так как все корни второго уравнения (их два, это 2 и 3), очевидно, являются корнями первого уравнения.

Из определения уравнения-следствия вытекает, что абсолютно любое уравнение является следствием любого уравнения, не имеющего корней.

Стоит привести несколько довольно очевидных следствий из определения равносильных уравнений и определения уравнения-следствия:

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

К началу страницы

Нахождение корней уравнения по корням равносильного уравнения и уравнения-следствия

Из определения равносильных уравнений следует, что если известны все корни одного из равносильных уравнений, то можно считать известными все корни всех остальных уравнений этой группы: они будут такими же.

Когда известны все корни уравнения-следствия, то есть возможность определить все корни уравнения, следствием которого является данное уравнение. Для этого нужно лишь провести отсеивание посторонних корней.