Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). Метод решения нам указан. Общая схема действий по указанному методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень выглядит так:

• Осуществляется переход к уравнению, которое проще исходного в том смысле, что его проще решить. Для этого столько раз, сколько необходимо, последовательно выполняются следующие действия:
  • Уединяется радикал.
  • Выполняется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
  • Упрощается полученное уравнение.
• Дальше решается полученное уравнение.
• Если на первом этапе проводилось возведение обеих частей в четную степень, то выполняется проверка для отсеивания посторонних корней.

Пройдем первый этап. Для этого выполним тройку действий - уединение радикала, возведение в степень, упрощение – первый раз.

Уединять радикал нам не нужно, так как в заданном уравнении радикал уже уединен (в левой части уравнения стоит только корень). Переходим к возведению в степень обеих частей уравнения.

Возводим обе части уравнения в квадрат (степени корней равны двум, поэтому для дальнейшего освобождения от корней возводим именно в квадрат), имеем .

Теперь упрощаем вид полученного уравнения, осуществляя преобразования уравнений. Первым преобразованием будет замена выражений в левой и правой части тождественно равными им выражениями. Из определения корня следует, что выражение в левой части тождественно равно 9−x², а выражение в правой части тождественно равно x+9. Учитывая это, переходим к уравнению 9−x²=x+9. И еще упростим его вид:
9−x²−(x+9)=0,
9−x²−x−9=0,
−x²−x=0,
x²+x=0.

В последующих прохождениях тройки действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение – нет необходимости, так как мы уже получили довольно простое для решения уравнение, и на этом первый этап можно считать завершенным.

Переходим ко второму этапу метода возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень – к решению полученного уравнения. Для нахождения корней уравнения x²+x=0, а это неполное квадратное уравнение, представляем его левую часть в виде произведения, то есть, переходим к уравнению x·(x+1)=0, откуда видим, что x=0 или x+1=0, откуда x₁=0, x₂=−1. Итак, уравнение, полученное на первом этапе, решено, оно имеет два корня x₁=0, x₂=−1. На этом второй этап завершен, переходим к последнему – третьему этапу.

Третий этап – это отсеивание посторонних корней. В нашем случае – это обязательное мероприятие. Действительно, мы прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, это преобразование приводит к уравнению-следствию. Более того, при переходе от уравнения к уравнению 9−x²−(x+9)=0 расширилась ОДЗ, что также могло привести к появлению посторонних корней. Итак, нам нужно отсеять посторонние корни. Сделаем это через проверку подстановкой, то есть, подставим найденные корни x₁=0, x₂=−1 в исходное уравнение и посмотрим, дает ли это верные числовые равенства:

Таким образом, иррациональное уравнение имеет два корня 0 и −1.

Приведем компактную запись решения:

0, −1.