Решение иррациональных уравнений, методы решения, примеры

Первая часть материала этой статьи формирует представление об иррациональных уравнениях. Изучив ее, Вы сможете с легкостью отличать иррациональные уравнения от уравнений других видов. Во второй части детально разобраны основные методы решения иррациональных уравнений, приведены подробные решения огромного количества характерных примеров. Если Вы осилите эту информацию, то почти наверняка справитесь практически с любым иррациональным уравнением из школьного курса математики. Успехов в получении знаний!

Что такое иррациональные уравнения?

Давайте для начала проясним, что такое иррациональные уравнения. Для этого найдем соответствующие определения в учебниках, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации.

Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике [1, с. 174] утверждается, что

Определение

Иррациональным уравнением называют уравнение, если в нем переменная содержится под знаком квадратного корня.

Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x, значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – метод возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения. Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.

В учебниках Колмогорова А. Н. [3, с. 214] и Колягина Ю. М. [4, с. 193]

Определение

иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.

Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная. Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более широкое множество уравнений.

Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем. А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про корень степени n, и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.

Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. - здесь под знаком кубического корня расположена переменная x, поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: - здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение. Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .

Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным. В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.

Стоит сказать о количестве переменных, которые могут участвовать в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x, то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .

Заметим, что в школе в основном приходится работать с иррациональными уравнениями с одной переменной. Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются значительно реже. Их можно встретить в составе систем уравнений, как, например, в задании «решите систему уравнений » или, скажем, при алгебраическом описании геометрических объектов, так полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, соответствует уравнение .

Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.п. Вот пример , взятый из книги [5], а вот - из сборника [6]. В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.

Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида. А все эти добавки «иррациональное», «логарифмическое» и т.п. служат по большей части для удобства изложения и группировки материала.

В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс [2, с. 237]

Определение

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Здесь помимо уравнений с переменной под знаком корня иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: степень с дробным показателем определяется через корни, и на ОДЗ переменной x для данного уравнения (при условии x2+2·x≥0) его можно переписать с использованием корня как , а последнее равенство представляет собой привычное нам иррациональное уравнение с переменной под знаком корня. Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений (о них речь пойдет в следующем пункте). Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи. Уйти от подобных спорных моментов относительно терминологии позволяет все тот же прием: назвать уравнение просто уравнением безо всяких видовых уточнений.

К началу страницы

Простейшие иррациональные уравнения

Стоит сказать про так называемые простейшие иррациональные уравнения. Сразу скажем, что в основных учебниках алгебры и начал анализа этот термин не фигурирует, но иногда встречается в задачниках и методичках, как, например, в [6, с. 37]. Не стоит его считать общепринятым, но не помешает знать, что обычно понимают под простейшими иррациональными уравнениями. Обычно так называют иррациональные уравнения вида , где f(x) и g(x) некоторые рациональные выражения. В этом свете простейшим иррациональным уравнением можно назвать, например, уравнение или .

Чем можно объяснить появление такого названия «простейшие иррациональные уравнения»? Например, тем, что решение иррациональных уравнений часто требует изначального их приведения к виду и дальнейшему применению каких-либо стандартных методов решения. Вот иррациональные уравнения в таком виде и называют простейшими.

К началу страницы

Основные методы решения иррациональных уравнений

По определению корня

Один из методов решения иррациональных уравнений базируется на определении корня из числа. С его помощью обычно решаются иррациональные уравнения простейшего вида , где f(x) и g(x) – некоторые рациональные выражения (определение простейших иррациональных уравнений мы дали в предыдущем пункте этой статьи). Аналогично решаются и иррациональные уравнения вида , но в которых f(x) и/или g(x) являются выражениями, отличными от рациональных. Однако во многих случаях такие уравнения удобнее решать другими методами, о которых речь пойдет в следующих пунктах.

В этом пункте будем считать f(x) и g(x) рациональными выражениями.

Для удобства изложения материала отделим иррациональные уравнения с четными показателями корня, то есть, уравнения , 2·k=2, 4, 6, …, от уравнений с нечетными показателями корня , 2·k+1=3, 5, 7, … Сразу озвучим подходы к их решению:

  • Иррациональное уравнение вида имеет то же множество решений, что и система . То есть, .
  • Иррациональное уравнение вида равносильно уравнению . То есть, .

Приведенные подходы напрямую следуют из базирующихся на определении корня результатов и .

Итак, метод решения иррациональных уравнений по определению корня состоит в следующем:

  • решение уравнения заменяется решением системы ,
  • а решение иррационального уравнения - решением уравнения .

По определению корня наиболее удобно решать простейшие иррациональные уравнения с числами в правых частях, то есть, уравнения вида , где C – некоторое число. Когда в правой части уравнения находится число, то даже при четном показателе корня не приходится переходить к системе: если С – неотрицательное число, то по определению корня четной степени , а если С – отрицательное число, то сразу можно делать вывод об отсутствии корней уравнения , ведь по определению корень четной степени есть неотрицательное число, значит уравнение не обращается в верное числовое равенство ни при каких действительных значениях переменной x.

Переходим к решению характерных примеров.

Будем идти от простого к сложному. Начнем с решения простейшего иррационального уравнения, в левой части которого находится корень четной степени, а в правой части - положительное число, то есть, с решения уравнения вида , где C – положительное число. Определение корня позволяет перейти от решения заданного иррационального уравнения к решению более простого уравнения без корней С2·k=f(x).

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Аналогично по определению корня решаются простейшие иррациональные уравнения с нулем в правой части.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Отдельно остановимся на иррациональных уравнениях, в левой части которых находится корень четной степени с переменной под его знаком, а в правой – отрицательное число. Такие уравнения не имеют решений на множестве действительных чисел (про комплексные корни мы будем говорить после знакомства с комплексными числами). Это довольно очевидно: корень четной степени по определению есть неотрицательное число, значит, он не может быть равен отрицательному числу.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Левые части иррациональных уравнений из предыдущих примеров были корнями четных степеней, а правые - числами. Сейчас рассмотрим примеры с переменными в правых частях, то есть, будем решать иррациональные уравнения вида . Для их решения по определению корня осуществляется переход к системе , которая имеет то же множество решений что и исходное уравнение.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Нужно иметь в виду, что систему , к решению которой сводится решение исходного иррационального уравнения , желательно решать не механически, а, по возможности, рационально. Понятно, что это больше вопрос из темы «решение систем», но все же перечислим три часто встречающихся ситуации с иллюстрирующими их примерами:

  1. К примеру, если первое ее уравнение g2·k(x)=f(x) не имеет решений, то нет смысла решать еще и неравенство g(x)≥0, ведь уже из отсутствия решений уравнения можно сделать вывод об отсутствии решений системы.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

  1. Аналогично, если неравенство g(x)≥0 не имеет решений, то не обязательно решать еще и уравнение g2·k(x)=f(x), ведь и без этого понятно, что в этом случае система не имеет решений.

Пример

Имеет ли решения иррациональное уравнение .

Смотреть решение

  1. Довольно часто неравенство g(x)≥0 вообще не решают, а лишь проверяют, какие из корней уравнения g2·k(x)=f(x) ему удовлетворяют. Множество всех тех из них, которые удовлетворяют неравенству, является решением системы, значит, является и решением равносильного ей исходного иррационального уравнения.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Достаточно про уравнения с четными показателями корней. Пора уделить внимание и иррациональным уравнениям с корнями нечетных степеней вида . Как мы уже сказали, для их решения осуществляется переход к равносильному уравнению , которое решается любыми доступными методами.

Пример

Найдите решение иррационального уравнения .

Смотреть решение

В заключение этого пункта упомянем про проверку решений. Метод решения иррациональных уравнений по определению корня гарантирует равносильность переходов. Значит, проверку найденных решений проводить не обязательно. Этот момент можно отнести к преимуществам данного метода решения иррациональных уравнений, ведь в большинстве других методов проверка является обязательным этапом решения, позволяющем отсечь посторонние корни. Но при этом следует помнить, что проверка путем подстановки найденных решений в исходное уравнение никогда не бывает лишней: вдруг где закралась вычислительная ошибка.

Также отметим, что вопрос проверки и отсеивания посторонних корней очень важен при решении иррациональных уравнений, поэтому мы еще вернемся к нему в одном из следующих пунктов этой статьи.

К началу страницы

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Дальнейшее изложение подразумевает наличие у читателя представления о равносильных уравнениях и уравнениях-следствиях.

В основе метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень лежит следующее утверждение:

Утверждение

возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Доказательство

Докажем его для уравнений с одной переменной. Для уравнений с несколькими переменными принципы доказательства те же.

Пусть A(x)=B(x) – исходное уравнение и x0 – его корень. Так как x0 является корнем этого уравнения, то A(x0)=B(x0)верное числовое равенство. Мы знаем такое свойство числовых равенств: почленное умножение верных числовых равенств дает верное числовое равенство. Умножим почленно 2·k, где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0), это нам даст верное числовое равенство A2·k(x0)=B2·k(x0). А полученное равенство означает, что x0 является корнем уравнения A2·k(x)=B2·k(x), которое получено из исходного уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную натуральную степень 2·k.

Для обоснования возможности существования корня уравнения A2·k(x)=B2·k(x), который не является корнем исходного уравнения A(x)=B(x), достаточно привести пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , и уравнение , которое получено из исходного путем возведением его обеих частей в квадрат. Несложно проверить, что нуль является корнем уравнения , действительно, , что то же самое 4=4 - верное равенство. Но при этом нуль является посторонним корнем для уравнения , так как после подстановки нуля получаем равенство , что то же самое 2=−2, которое неверное. Этим доказано, что уравнение, полученное из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень, может иметь корни, посторонние для исходного уравнения.

Так доказано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию.

Остается доказать, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Покажем, что каждый корень уравнения является корнем уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, и обратно, что каждый корень уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, является корнем исходного уравнения.

Пусть перед нами уравнение A(x)=B(x). Пусть x0 – его корень. Тогда является верным числовое равенство A(x0)=B(x0). Изучая свойства верных числовых равенств, мы узнали, что верные числовые равенства можно почленно умножать. Почленно умножив 2·k+1, где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0) получим верное числовое равенство A2·k+1(x0)=B2·k+1(x0), которое означает, что x0 является корнем уравнения A2·k+1(x)=B2·k+1(x). Теперь обратно. Пусть x0 – корень уравнения A2·k+1(x)=B2·k+1(x). Значит числовое равенство A2·k+1(x0)=B2·k+1(x0) - верное. В силу существования корня нечетной степени из любого действительного числа и его единственности будет верным и равенство . Оно в свою очередь в силу тождества , где a – любое действительное число, которое следует из свойств корней и степеней, может быть переписано как A(x0)=B(x0). А это означает, что x0 является корнем уравнения A(x)=B(x).

Так доказано, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень дает равносильное уравнение.

Доказанное утверждение пополняет известный нам арсенал, использующийся для решения уравнений, еще одним преобразованием уравнений – возведением обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Возведение в одну и ту же нечетную степень обеих частей уравнения является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию, а возведение в четную степень – равносильным преобразованием. На этом преобразовании базируется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень в основном используется для решения иррациональных уравнений, так как в определенных случаях это преобразование позволяет освободиться от знаков корней. Например, возведение обеих частей уравнения в степень n дает уравнение , которое в дальнейшем можно преобразовать в уравнение f(x)=gn(x), которое уже не содержит корня в левой части. Приведенный пример иллюстрирует суть метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень: при помощи соответствующего преобразования получить более простое уравнение, не имеющее в своей записи радикалов, и через его решение получить решение исходного иррационального уравнения.

Теперь можно переходить непосредственно к описанию метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Начнем с алгоритма решения по этому методу простейших иррациональных уравнений с четными показателями корня, то есть, уравнений вида , где k – натуральное число, f(x) и g(x) – рациональные выражения. Алгоритм решения простейших иррациональных уравнений с нечетными показателями корня, то есть, уравнений вида , приведем чуть позже. Затем пойдем еще дальше: распространим метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень на более сложные иррациональные уравнения, содержащие корни под знаками корней, несколько знаков корней и т.д.

Алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень:

  • Обе части иррационального уравнения возводятся в одну и ту же четную степень 2·k.
  • Решается полученное уравнение.
    • Если полученное уравнение корней не имеет, то не имеет корней исходное иррациональное уравнение.
    • Если же полученное уравнение имеет корни, то проводится отсеивание посторонних корней.

Из приведенной выше информации понятно, что после первого шага алгоритма мы придем к уравнению, среди корней которого содержатся все корни исходного уравнения, но которое может иметь и корни, посторонние для исходного уравнения. Поэтому алгоритм содержит пункт про отсеивание посторонних корней.

Давайте разберем применение приведенного алгоритма решения иррациональных уравнений на примерах.

Начнем с решения несложного и довольно типичного иррационального уравнения, возведение обеих частей которого в квадрат приводит к квадратному уравнению, не имеющему корней.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Вот пример, в котором все корни уравнения, полученного из исходного иррационального уравнения путем возведения его обеих частей в квадрат, оказываются посторонними для исходного уравнения. Вывод: оно не имеет корней.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Следующий пример чуть сложнее. Его решение, в отличие от двух предыдущих, требует возведения обеих частей уже не в квадрат, а в шестую степень, и это приведет уже не к линейному или квадратному уравнению, а к кубическому уравнению. Здесь проверка нам покажет, что все три его корня будут корнями иррационального уравнения, заданного изначально.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

А здесь пойдем еще дальше. Для избавления от корня придется возводить обе части иррационального уравнения в четвертую степень, что в свою очередь приведет к уравнению четвертой степени. Проверка покажет, что лишь один из четырех потенциальных корней будет искомым корнем иррационального уравнения, а остальные будут посторонними.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Три последних примера являются иллюстрацией следующего утверждения: если при возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же четную степень получается уравнение, имеющее корни, то последующая их проверка может показать, что

  • либо все они являются посторонними корнями для исходного уравнения, и оно не имеет корней,
  • либо среди них вообще нет посторонних корней, и все они являются корнями исходного уравнения,
  • либо посторонними являются лишь некоторые из них.

Пришло время перейти к решению простейших иррациональных уравнений с нечетным показателем корня, то есть, уравнений вида . Запишем соответствующий алгоритм.

Алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень:

  • Обе части иррационального уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1.
  • Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Обратите внимание: приведенный алгоритм, в отличие от алгоритма решения простейших иррациональных уравнений с четным показателем корня, не содержит пункта, касающегося отсеивания посторонних корней. Выше мы показали, что возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием уравнения, значит, такое преобразование не приводит к появлению посторонних корней, поэтому нет необходимости в их отсеивании.

Таким образом, решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же нечетную степень можно проводить без отсеивания посторонних. При этом не забываем, что при возведении в четную степень проверка обязательна.

Знание этого факта позволяет на законных основаниях не проводить отсеивание посторонних корней при решении иррационального уравнения . Тем более в данном случае проверка связана с «неприятными» вычислениями. Посторонних корней и так не будет, так как проводится возведение в нечетную степень, а именно в куб, что является равносильным преобразованием. Понятно, что проверку можно и выполнить, но больше для самоконтроля, чтобы дополнительно убедиться в правильности найденного решения.

Пример

Решить иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Подведем промежуточные итоги. В этом пункте мы, во-первых, пополнили уже известный нам арсенал решения различных уравнений еще одним преобразованием, заключающимся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При возведении в четную степень, данное преобразование может быть неравносильным, и при его использовании обязательно делать проверку для отсеивания посторонних корней. При возведении в нечетную степень, указанное преобразование является равносильным, и выполнять отсеивание посторонних корней необязательно. А во-вторых, научились пользоваться этим преобразованием для решения простейших иррациональных уравнений вида , где n – показатель корня, f(x) и g(x) – рациональные выражения.

Теперь пришло время взглянуть на возведение в одну и ту же степень обеих частей уравнения с общих позиций. Это позволит нам распространить базирующийся на нем метод решения иррациональных уравнений с простейших иррациональных уравнений на иррациональные уравнения более сложного вида. Давайте этим и займемся.

По сути, при решении уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется уже известный нам общий подход: исходное уравнение путем каких-либо преобразований преобразуется в более простое уравнение, оно преобразуется в еще более простое, и так далее, вплоть до уравнения, которое мы в состоянии решить. Понятно, что если в цепочке таких преобразований мы прибегаем к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень, то можно сказать, что мы действуем по одноименному методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Остается лишь разобраться, какие именно преобразования и в какой последовательности нужно проводить для решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Вот общий подход к решению иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

  • Во-первых, нужно перейти от исходного иррационального уравнения к более простому уравнению, чего обычно позволяет добиться циклическое выполнение следующих трех действий:
    • Уединение радикала (или аналогичные приемы, например, уединение произведения радикалов, уединение дроби, числителем и/или знаменателем которой является корень, позволяющие при последующем возведении обеих частей уравнения в степень избавиться от корня).
    • Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
    • Упрощение вида уравнения.
  • Во-вторых, нужно решить полученное уравнение.
  • Наконец, если в процессе решения были переходы к уравнениям-следствиям (в частности, если проводилось возведение обеих частей уравнения в четную степень), то нужно отсеять посторонние корни.

Отработаем полученные знания на практике.

Решим пример, в котором уединение радикала приводит иррациональное уравнение к простейшему виду, после чего остается выполнить возведение обеих частей в квадрат, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни при помощи проверки.

Пример

Решить иррациональное уравнение , пользуясь возведением обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Следующее иррациональное уравнение может быть решено путем уединения дроби с радикалом в знаменателе, избавиться от которого позволяет последующее возведение в квадрат обеих частей уравнения. А дальше все просто: решается полученное дробно-рациональное уравнение и делается проверка, исключающая попадание в ответ посторонних корней.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Довольно характерными являются иррациональные уравнения, в записи которых присутствуют два корня. Они обычно с успехом решаются методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Если корни имеют одинаковую степень, и кроме них нет других слагаемых, то для избавления от радикалов достаточно уединить радикал и выполнить возведение в степень один раз, как в следующем примере.

Пример

Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

А вот пример, в котором также два корня, помимо них также нет никаких слагаемых, но степени корней различны. В этом случае после уединения радикала целесообразно возводить обе части уравнения в степень, освобождающую от обоих радикалов сразу. В качестве такой степени выступает, например, наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней. В нашем случае степени корней равны 2 и 3, НОК(2, 3)=6, поэтому, мы будем возводить обе части в шестую степень. Заметим, что можно действовать и по стандартному пути, но в этом случае нам придется дважды прибегать к возведению обеих частей в степень: сначала во вторую, затем в третью. Покажем оба способа решения.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

В более сложных случаях, решая иррациональные уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, к возведению в степень приходится прибегать два раза, реже – три раза, еще реже - большее число раз. Первое иррациональное уравнение, иллюстрирующее сказанное, содержит в записи два радикала и еще одно слагаемое.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Решение следующего иррационального уравнения тоже требует двух последовательных возведений в степень. Если не забывать уединять радикалы, то двух возведений в степень достаточно, чтобы избавиться от трех присутствующих в его записи радикалов.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Метод возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень позволяет справляться и с иррациональными уравнениями, в которых под корнем, содержится еще один корень. Вот решение характерного примера.

Пример

Решите иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень .

Смотреть решение

Наконец, прежде чем переходить к разбору следующих методов решения иррациональных уравнений, нужно обязательно отметить тот факт, что возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень может в результате дальнейших преобразований дать уравнение, имеющее бесконечное множество решений. Уравнение, имеющее бесконечно много корней, получается, например, в результате возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения и последующего упрощения вида полученного уравнения. При этом по понятным причинам мы не имеем возможности выполнить проверку подстановкой. В таких случаях приходится либо прибегать к другим способам проверки, о которых мы поговорим чуть ниже, либо отказаться от метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в пользу другого метода решения, например, в пользу метода, предполагающего переход от иррационального уравнения к уравнению с модулем.

Мы рассмотрели решения наиболее характерных иррациональных уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Изученный общий подход позволяет справиться и с другими иррациональными уравнениями, если для них вообще подходит этот метод решения.

К началу страницы

Решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной

Существуют общие методы решения уравнений. Они позволяют решать уравнения разных видов. В частности, общие методы применяются для решения иррациональных уравнений. В этом пункте мы рассмотрим один из общих методов – метод введения новой переменной, а точнее, его использование при решении именно иррациональных уравнений. Суть и детали самого метода изложены в статье, ссылка на которую дана в предыдущем предложении. Здесь же мы сосредоточим основное внимание на практической части, то есть разберем решения типовых иррациональных уравнений методом введения новой переменной.

Решению иррациональных уравнений другими общими методами посвящены следующие пункты данной статьи.

Сначала приведем алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной. Необходимые пояснения дадим сразу после него. Итак, алгоритм:

  • Вводится новая переменная. Пусть это будет переменная t, которая вводится как g(x)=t, где g(x) – некоторое выражение, в результате чего исходное уравнение со старой переменной x преобразуется в уравнение с новой переменной t.
  • Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
    • если уравнение не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
    • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
  • Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого
    • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет единственный корень, обозначим его t1, то составляется уравнение g(x)=t1,
    • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет два, три или любое другое, но конечное число корней, обозначим их t1, t2, …, tn, то составляется совокупность уравнений вида ,
    • если же решенное на предыдущем шаге уравнение имеет бесконечно много корней, и они составляют числовое множество T, то составляется совокупность уравнений, неравенств и двойных неравенств, отвечающая выражению g(x)∈T (например, если решением уравнения с новой переменной t является числовое множество (−∞, t1)∪{t2}∪[t3, t4), что то же самое , то соответствующая совокупность будет иметь вид ).
  • Наконец, решается составленное уравнение или совокупность – ее решение дает искомое решение исходного уравнения.

Теперь обещанные пояснения.

Второй, третий и четвертый шаги алгоритма чисто технические и часто не представляют сложности. А основной интерес представляет первый шаг – введение новой переменной. Дело здесь в том, что часто далеко не очевидно, как ввести новую переменную, и во многих случаях требуется провести некоторые преобразования уравнения, чтобы проявилось удобное для замены на t выражение g(x). Другими словами, введение новой переменной – часто процесс творческий, тем и сложный. Дальше мы постараемся затронуть самые основные и характерные примеры, поясняющие как вводить новую переменную при решении иррациональных уравнений.

Будем придерживаться следующей последовательности изложения:

  • Начнем с примеров, в которых очевидно, как ввести новую переменную. Здесь мы поговорим об иррациональных уравнениях, имеющих вид p(g(x))=r или p1(g(x))=p2(g(x)), r – некоторое число, а p, p1, p2, g – некоторые функции, где напрашивается введение новой переменной g(x)=t. Для наглядности приведем иррациональное уравнение такого вида , где напрашивается замена . Ниже мы решим его.
  • Дальше перейдем к случаям, когда выражение для замены почти очевидно, то есть, довольно просто просматривается, и небольшие преобразования уравнения позволяют выделить его явно (то есть, приводят уравнение к виду p(g(x))=0 или p1(g(x))=p2(g(x))). В качестве примера приведем иррациональное уравнение . Видите возможность замены ? Она становится очевидна, после преобразования исходного уравнения к виду .
  • Дальше перейдем к иррациональным уравнениям, в которых выражение, подходящее для замены его новой переменной, не очевидно, но его можно определить при помощи специальных приемов, учитывающих вид составных частей решаемого уравнения. После того, как подходящее выражение определено, осуществляется преобразование исходного уравнения с целью явно выделить выбранное выражение, что позволяет перейти к уравнению с новой переменной. Это касается, например, иррациональных уравнений, в записи которых подкоренные выражения одинаковые, но разные показатели корней. В частности, это касается уравнения .
  • После этого, затронем случаи, в которых возможность введения новой переменной можно лишь подозревать, и которая при удачном раскладе открывается только после довольно серьезных преобразований уравнения. Например, иррациональное уравнение лишь после ряда не самых очевидных преобразований приводится к виду , что открывает дорогу к замене .
  • Наконец, упомянем про довольно экзотический способ решения иррациональных уравнений, подразумевающий введение не одной переменной, а нескольких переменных.

Итак, начнем с простейших случаев введения новой переменной при решении иррациональных уравнений.

Решим иррациональное уравнение , которое мы уже приводили в пример чуть выше. Очевидно, что в данном случае возможна замена . Она нас приведет к рациональному уравнению, которое, как выяснится, имеет два корня, что при обратной замене даст совокупность двух простейших иррациональных уравнений, решение которой не представляет трудности. Для сравнения покажем альтернативный способ решения путем проведения преобразований, которые приведут к простейшему иррациональному уравнению.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

В следующем иррациональном уравнении также очевидна возможность введения новой переменной. Но оно примечательно тем, что при его решении нам не придется возвращаться к исходной переменной. Дело в том, что полученное после введения переменной уравнение не имеет решений, что означает отсутствие решений у исходного уравнения.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Иррациональное уравнение , как и предыдущее, удобно решать методом введения новой переменной. Более того, оно, как и предыдущее, не имеет решений. Но отсутствие корней определяется иными средствами: здесь уравнение, полученное после введения переменной , решения имеет, а совокупность уравнений, записанная при проведении обратной замены, решений не имеет, поэтому не имеет решений и исходное уравнение. Разберем решение указанного уравнения.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Завершим серию примеров, в которых замена очевидна, сложным с виду иррациональным уравнением , содержащим в записи корень под корнем. Введение новой переменной часто делает структуру уравнения более понятной, что справедливо, в частности, для данного примера. Действительно, если принять , то исходное иррациональное уравнение преобразуется в более простое иррациональное уравнение , которое можно решать, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат. Приведем решение методом введения новой переменной, а также для сравнения покажем решение методом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Записи всех предыдущих примеров содержали по несколько одинаковых выражений, которые мы и принимали за новую переменную. Все было просто и очевидно: видим подходящие одинаковые выражения и вместо них вводим новую переменную, что дает более простое уравнение с новой переменной. Сейчас мы продвинемся чуть дальше – будем разбираться, как решать иррациональные уравнения, в которых подходящее для замены выражение не столь очевидно, но довольно легко просматривается и выделяется в явном виде при помощи несложных преобразований.

Рассмотрим основные приемы, позволяющие явно выделить удобное для введения новой переменной выражение. Первый из них – это вынесение за скобки общего множителя. Проиллюстрируем сказанное.

Очевидно, в иррациональном уравнении для того, чтобы ввести новую переменную, достаточно принять x2+x=t. А видна ли возможность также ввести новую переменную в уравнении ? Такая возможность просматривается, ведь очевидно, что . Последнее равенство позволяет провести равносильное преобразование уравнения, заключающееся в замене выражения тождественно равным ему выражением, не изменяющим ОДЗ, что дает возможность от исходного уравнения перейти к равносильному уравнению и решать уже его. Покажем полное решение иррационального уравнения методом введения новой переменной.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Что еще, помимо вынесения за скобки общего множителя, позволяет в иррациональном уравнении явно выделить удобное для введения новой переменной выражение? В определенных случаях – это определение корня, свойства корней и свойства степеней. Разберем характерные примеры.

Как бы мы ввели новую переменную при решении иррационального уравнения ? Конечно, мы бы приняли . А если бы стояла задача решить иррациональное уравнение , видна ли возможность введения новой переменной как ? Явно – не видна, но такая возможность просматривается, так как на ОДЗ переменной x для этого уравнения в силу определения корня и свойств корней справедливо равенство , которое позволяет перейти к равносильному уравнению .

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Позволим себе небольшое обобщение на основе предыдущего примера. В случаях, когда показатель одного корня кратен показателю другого (k·n и k), обычно прибегают к равенству и вводят новую переменную как . Так мы и действовали, решая уравнение . Чуть дальше мы поговорим о том, как решать иррациональные уравнения с неравными и некратными показателями корней.

Стоит вкратце остановиться на введении новой переменной в иррациональных уравнениях, в которых содержится корень, а также подкоренное выражение и/или его некоторая степень. В этих случаях очевидно, что в качестве новой переменной следует принять корень. Например, при решении уравнения мы бы приняли , по определению корня преобразовали бы исходное уравнение к виду , и после введения новой переменной пришли бы к квадратному уравнению 2·t2+3·t−2=0.

В случаях чуть посложнее может потребоваться еще одно дополнительное преобразование уравнения для выделения выражения, совпадающего с подкоренным. Поясним это. Как бы мы ввели новую переменную в уравнении ? Очевидно, выражение x2+5 совпадает с подкоренным выражением, поэтому, согласно информации предыдущего абзаца мы бы на базе определения корня перешли к равносильному уравнению и ввели бы новую переменную как . А как бы мы вводили новую переменную, если бы имели дело не с уравнением , а с уравнением ? Да также. Просто сначала нам бы пришлось x2+1 представить как x2+5−4, чтобы явно выделить подкоренное выражение x2+5. То есть, мы бы от иррационального уравнения перешли к равносильному уравнению , затем к уравнению , после чего с легкостью ввели бы новую переменную .

В подобных случаях имеет место и другой более универсальный подход к введению новой переменной: в качестве новой переменной брать корень и на базе этого равенства остальные старые переменный выражать через новую. Для уравнения мы бы приняли , из этого равенства выразили бы x2 через t как t2−5 (, , x2+5=t2, x2=t2−5), откуда x2+1=t2−4. Это позволяет перейти к уравнению с новой переменной t2−4+3·t=0. Для отработки навыков решим типовое иррациональное уравнение.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Введение новой переменной в подобных примерах может приводить к возникновению под знаками корней выражений, представляющих собой полные квадраты. Например, если в иррациональном уравнении принять , то это приведет к уравнению , где первое подкоренное выражение – это квадрат линейного двучлена t−2, а второе подкоренное выражение – квадрат линейного двучлена t−3. А от таких уравнений лучше всего переходить к уравнениям с модулями: , , . Это связано с тем, что такие уравнения могут иметь бесконечное множество корней, при этом их решение путем возведением обеих частей уравнения в квадрат не позволит провести проверку подстановкой, а решение по определению корня приведет к необходимости решения иррационального неравенства. Решение такого примера мы покажем ниже в пункте переход от иррационального уравнения к уравнению с модулем.

Когда еще довольно легко просматривается возможность введения новой переменной? Когда в записи уравнения фигурируют «перевернутые» дроби и (с Вашего позволения будем называть их взаимно обратными по аналогии со взаимно обратными числами). Как бы мы решали рациональное уравнение с такими дробями? Мы бы одну из таких дробей приняли за новую переменную t, при этом другая дробь выразилась бы через новую переменную как 1/t. В иррациональных же уравнениях так вводить новую переменную не совсем практично, так как для дальнейшего избавления от корней, скорее всего, придется вводить еще одну переменную. Лучше сразу принимать в качестве новой переменной корень из дроби. Ну а дальше преобразовать исходное уравнение при помощи одного из равенств и , что позволит перейти к уравнению с новой переменной. Рассмотрим пример.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Не стоит забывать про уже известные варианты замен. Например, в записи иррационального уравнения могут фигурировать выражения x+1/x и x2+1/x2, что заставляет задуматься о возможности введения новой переменной x+1/x=t. Эта мысль возникает не случайно, ведь мы так уже делали, когда решали возвратные уравнения. Такой способ введения новой переменной, как и другие уже известные нам способы, следует иметь в виду при решении иррациональных уравнений, как впрочем, и уравнений других видов.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Переходим к более сложным иррациональным уравнениям, в которых подходящее для введения новой переменной выражение разглядеть сложнее. И начнем с уравнений, в которых подкоренные выражения одинаковы, но, в отличие от разобранного выше случая, больший показатель одного корня не делится нацело на меньший показатель другого корня. Давайте разберемся, как правильно выбрать выражение, подходящее для введения новой переменной в таких случаях.

Когда подкоренные выражения одинаковые, а больший показатель одного корня k1 не делится нацело на меньший показатель другого корня k2, в качестве новой переменной можно принять корень степени НОК(k1, k2), где НОК – наименьшее общее кратное. Например, в иррациональном уравнении показатели корней равны 2 и 3, три не кратно двум, НОК(3, 2)=6, поэтому новую переменную можно ввести как . Дальше определение корня, а также свойства корней позволяют преобразовать исходное уравнение, чтобы явно выделить выражение и дальше заменить его новой переменной. Приведем полное и подробное решение этого уравнения.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

По аналогичным принципам вводится новая переменная в случаях, когда выражения под корнями отличаются степенями. Например, если в иррациональном уравнении переменная содержится только под корнями, а сами корни имеют вид и , то следует вычислить наименьшее общее кратное показателей корней НОК(3, 4)=12 и принять . При этом по свойствам корней и степеней корни и следует преобразовать как и соответственно, что позволит ввести новую переменную.

Похожим образом можно действовать и в иррациональных уравнениях, в которых под корнями с разными показателями находятся взаимно обратные дроби и . То есть, в качестве новой переменной целесообразно принимать корень с показателем, равным НОК показателей корней. Ну а дальше переходить к уравнению с новой переменной, что позволяют сделать равенства и , определение корня, а также свойства корней и степеней. Рассмотрим пример.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Теперь поговорим об уравнениях, в которых возможность введения новой переменной можно лишь подозревать, и которая при удачном раскладе открывается только после довольно серьезных преобразований. Например, иррациональное уравнение лишь после ряда не самых очевидных преобразований приводится к виду , что открывает дорогу к замене . Приведем решение этого примера.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Напоследок внесем немного экзотики. Иногда иррациональное уравнение можно решить путем введения не одной, а нескольких переменных. Такой подход к решению уравнений предложен в учебнике [2, с. 241-242]. Там для решения иррационального уравнения предлагается ввести две переменные . В учебнике приведено краткое решение, давайте восстановим и детали.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

К началу страницы

Решение иррациональных уравнений методом разложения на множители

Помимо метода введения новой переменной, для решения иррациональных уравнений используются и другие общие методы, в частности, метод разложения на множители. В статье по указанной в предыдущем предложении ссылке подробно разобрано, когда применяется метод разложения на множители, в чем его суть и на чем он основан. Здесь нас больше интересует не сам метод, а его использование при решении иррациональных уравнений. Поэтому материал представим так: кратко напомним основные положения метода, после чего будем подробно разбирать решения характерных иррациональных уравнений методом разложения на множители.

Метод разложения на множители применяется для решения уравнений, в левых частях которых находится некоторое произведение, а в правых – нули, то есть, для решения уравнений вида f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0, где f1, f2, …, fn – некоторые функции. Суть метода состоит в замене уравнения f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0 совокупностью уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, …, fn(x)=0 на ОДЗ переменной x для исходного уравнения.

Первая часть последнего предложения про переход к совокупности следует из известного с начальной школы факта: произведение нескольких чисел тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы одно из чисел равно нулю. Наличие второй части про ОДЗ объясняется тем, что переход от уравнения f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0 к совокупности уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, …, fn(x)=0 может быть неравносильным и приводить к появлению посторонних корней, от которых в данном случае позволяет избавиться учет ОДЗ. Стоит отметить, что отсеивание посторонних корней, если это удобно, может быть проведено не только через ОДЗ, но и другими способами, например, проверкой через подстановку найденных корней в исходное уравнение.

Итак, чтобы решить уравнение f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0 методом разложения на множители, в том числе и иррациональное, нужно

  • Перейти к совокупности уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, …, fn(x)=0,
  • Решить составленную совокупность,
  • Если совокупность решений не имеет, то сделать вывод об отсутствии корней у исходного уравнения. Если же корни есть, то отсеять посторонние корни.

Переходим к практической части.

Левые части типичных иррациональных уравнений, которые решаются методом разложения на множители, представляют собой произведения нескольких алгебраических выражений, обычно линейных двучленов и квадратных трехчленов, и нескольких корней с алгебраическими выражениями под ними. В правых частях нули. Такие уравнения идеальны для получения начальных навыков их решения. С решения подобного уравнения начнем и мы. При этом попробуем достичь двух целей:

  • рассмотреть все шаги алгоритма метода разложения на множители при решении иррационального уравнения,
  • вспомнить три основных способа отсеивания посторонних корней (по ОДЗ, по условиям ОДЗ и при помощи непосредственной подстановки решений в исходное уравнение).

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Следующее иррациональное уравнение типично в том плане, что при его решении методом разложения на множители отсеивание посторонних корней удобно проводить по условиям ОДЗ, а не по ОДЗ в виде числового множества, так как получить ОДЗ в виде числового множителя затруднительно. Сложность в том, что одно из условий, определяющих ОДЗ, представляет собой иррациональное неравенство . Указанный подход к отсеиванию посторонних корней позволяет обойтись без его решения, более того, иногда в школьном курсе математики вообще не знакомятся с решением иррациональных неравенств.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Хорошо, когда уравнение имеет в левой части произведение, а в правой – ноль. В этом случае сразу можно переходить к совокупности уравнений, решить ее, найти и отбросить посторонние для исходного уравнения корни, что даст искомое решение. Но чаще уравнения имеют иной вид. Если при этом просматривается возможность преобразовать их к виду, подходящему для применения метода разложения на множители, то почему бы не попробовать провести соответствующие преобразования. Например, чтобы получить произведение в левой части следующего иррационального уравнения, достаточно прибегнуть к формуле сокращенного умножения разность квадратов.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Есть еще один класс уравнений, которые обычно решают методом разложения на множители. К нему относятся уравнения, обе части которых являются произведениями, имеющими одинаковый множитель в виде выражения с переменной. Таково, например, иррациональное уравнение . Можно пойти путем деления обеих частей уравнения на одинаковый множитель, но при этом нельзя забывать отдельно проверять значения, обращающие в нуль это выражения, иначе можно потерять решения, ведь деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение может быть неравносильным преобразованием. Надежнее действовать по методу разложения на множители, это позволяет гарантированно избежать потери корней при дальнейшем корректном решении. Понятно, что для этого надо сначала получить в левой части уравнения произведение, а в правой части получить ноль. Это легко: достаточно перенести выражение из правой части в левую, изменив его знак, и вынести общий множитель за скобки. Покажем полное решение подобного, но чуть более сложного иррационального уравнения.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Решение любого уравнения (как, впрочем, и решение многих других задач) полезно начинать с нахождения ОДЗ, особенно если ОДЗ находится легко. Приведем несколько самых очевидных доводов в пользу этого.

  • Довольно часто требуется проводить какие-либо преобразования уравнения (как, например, в предыдущем примере), а они, как известно, проводятся на ОДЗ.
  • Во многих случаях так и так приходится находить ОДЗ, так как это является неотъемлемой частью алгоритма выбранного метода решения, так почему бы не найти ОДЗ сразу. Например, последний шаг алгоритма метода разложения на множители состоит в отсеивании посторонних корней, что удобно делать, используя ОДЗ.
  • А иногда ОДЗ позволяет сразу сделать вывод об отсутствии корней или ограничить круг поиска корней несколькими числами. Это относится к случаям, когда ОДЗ есть пустое множество или множество, представляющее собой некоторое количество чисел. Подробнее об этом поговорим в одном из следующих пунктов с заголовком решение иррациональных уравнений через ОДЗ.

Итак, получив задание решить уравнение, не стоит без оглядки бросаться в преобразования-вычисления, может достаточно взглянуть на ОДЗ? Это ярко демонстрирует следующее иррациональное уравнение.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

К началу страницы

Функционально-графический метод

Функционально-графический метод – это еще один общий метод решения уравнений. Как любой общий метод, он позволяет решать уравнения различных видов, в частности, с его помощью можно решать иррациональные уравнения. Именно это применение функционально-графического метода нас больше всего и интересует в рамках текущей статьи.

Функционально-графический метод вовлекает в процесс решения уравнений функции, их свойства и графики. Это очень мощный инструмент. И, как к любому мощному инструменту, к нему обычно прибегают тогда, когда более простые инструменты оказываются бессильными.

Можно выделить три основных направления функционально-графического метода решения уравнений:

  • Первое – использование графиков функций. Это направление называют графическим методом.
  • Второе – использование свойств возрастающих и убывающих функций.
  • Третье – использование свойств ограниченных функций. Наверное, под методом оценки, который в последнее время на слуху, понимают именно это направление функционально-графического метода.

Эти три направления позволяют справиться с подавляющим большинством иррациональных уравнений, для решения которых вообще подходит функционально-графический метод. В указанной последовательности – использование графиков, использование возрастания-убывания, использование свойств ограниченных функций - будем разбирать решения самых характерных примеров.

Графический метод

Итак, начнем с графического метода решения иррациональных уравнений.

Согласно графическому методу нужно:

  • во-первых, в одной системе координат построить графики функций f и g, соответствующих левой и правой частям решаемого уравнения,
  • во-вторых, по их взаимному расположению сделать выводы о корнях уравнения:
    • если графики функций не пересекаются, то уравнение не имеет решений,
    • если графики функций имеют точки пересечения, то корнями уравнения являются абсциссы этих точек.

Понятно, что в общем случае построение графиков функций – это дело непростое. Поэтому далеко не все уравнения удобно решать графически. Обычно графическим методом решают лишь уравнения f(x)=g(x), которые, во-первых, не решаются другим способом или решение другим способом сопряжено со значительными сложностями, и, во-вторых, для которых функции f и g либо основные элементарные, либо их графики могут быть получены из графиков основных элементарных функций при помощи геометрических преобразований.

Также понятно, что без использования специализированных компьютерных программ сложно достичь высокой точности построения графиков функций. Поэтому, все результаты, полученные с использованием графиков, мы можем считать лишь приближенными, нуждающимися в проверке и обосновании (кроме, разве что, самых очевидных).

Практическую часть откроем иррациональным уравнением, для решения которого непросто предложить какой-либо аналитический метод. А вот графический метод позволяет показать, что уравнение не имеет корней.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Иногда графический метод позволяет определить точные значения корней уравнения. Это обычно происходит, когда корнями являются целые числа. Но даже целые корни, найденные по графикам, полезно проверять при помощи подстановки в исходное уравнение. Продемонстрируем это при решении следующего иррационального уравнения графическим методом.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Часто при помощи графического метода невозможно получить точные значения корней. Более того, в некоторых случаях по графикам невозможно определить даже количество корней уравнения, не то что их значения. Это касается тех случаев, когда графики функций, отвечающие правой и левой части уравнения, очень близки на некоторых участках, почти совпадают. Выход из такой ситуации может состоять в построении графиков именно на этих участках в увеличенном масштабе при повышенной точности построения. Однако делать это без компьютера проблематично, и по понятным причинам предпочтительнее обратиться к какому-либо аналитическому методу решения, если, конечно, есть такая возможность.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Использование свойств возрастающих и убывающих функций

Как мы уже отмечали, графический способ решения иррациональных уравнений неудобен в тех случаях, когда выражения в левой и правой части уравнения довольно сложные в том смысле, что непросто построить соответствующие графики функций. Но довольно часто вместо графиков можно использовать свойства функций. В частности, при решении уравнений, в том числе и иррациональных, можно опираться на вытекающее из определения возрастающей (убывающей) функции утверждение:

Утверждение

если на множестве X функция f непрерывна и строго монотонна (возрастает или убывает), то уравнение f(x)=C, где C – некоторое число, либо имеет один единственный корень, либо не имеет корней вообще.

К нему сводится и следующее утверждение:

Утверждение

если на множестве X функции f и g непрерывны и одна из них возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо имеет один единственный корень, либо не имеет корней вообще.

Данные утверждения обычно используются для решения уравнений тогда, когда есть возможность каким-либо способом определить один корень уравнения, и можно доказать непрерывность и возрастание-убывание соответствующих функций.

Что касается нахождения корня уравнения, то он в характерных случаях очевиден или легко угадывается. Обычно корнем иррационального уравнения является какое-то число из ОДЗ, при подстановке которого в исходное уравнение под корнями получаются такие числа, корни из которых легко извлекаются.

Что касается непрерывности, то все основные элементарные функции, а также любые их композиции, являются непрерывными функциями на любом отдельно взятом числовом промежутке из области определения.

Что касается доказательства возрастания-убывания функций, то оно обычно проводится с опорой на свойства основных элементарных функций и известные свойства возрастающих и убывающих функций (типа корень из возрастающей функции есть возрастающая функция), либо в более сложных случаях для доказательства привлекается производная.

Разберем эти моменты при решении иррациональных уравнений.

Начнем с решения типового иррационального уравнения: доказывается возрастание функции, отвечающей одной из его частей, убывание функции, соответствующей другой части уравнения, и из ОДЗ переменной для уравнения подбирается корень, который в данном случае будет единственным.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Следующее иррациональное уравнение тоже приходится решать функционально-графическим методом. Корень уравнения находится легко, как и в предыдущем примере, но здесь возрастание одной функции и убывание другой функции приходится доказывать с использованием производной.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Подведем некоторый итог по вопросу использования свойств возрастания и убывания функций при решении уравнений:

  • если виден корень уравнения, то можно пробовать исследовать функции, соответствующие левой и правой части уравнения, на возрастание-убывание. Возможно, это позволит доказать единственность найденного корня.
  • если видно, что функции f и g непрерывны и одна из них убывает, а другая возрастает, то стоит пробовать найти единственный возможный корень уравнения любым доступным способом. Если удастся найти этот корень, то уравнение будет решено.

Метод оценки

Наконец, мы подобрались к последней из трех основных разновидностей функционально-графического метода решения уравнений, в основе которой лежит использование ограниченности функций. Давайте условимся эту разновидность функционально-графического метода называть методом оценки.

Методом оценки обычно решают уравнения, имеющие вид f(x)=C, где f(x) – некоторое выражение с переменной xf – соответствующая функция), C – некоторое число, или вид g(x)=h(x), где g(x) и h(x) – некоторые выражения с переменной xg и h – соответствующие функции). Заметим, что уравнение g(x)=h(x) всегда можно свести к равносильному уравнению вида f(x)=C (в частности, осуществив перенос выражения h(x) из правой части в левую с противоположным знаком), то есть, можно ограничиться рассмотрением метода оценки только для уравнений вида f(x)=C. Однако иногда довольно удобно работать с уравнениями вида g(x)=h(x), так что не будем отказываться от их рассмотрения.

Решение уравнений методом оценки проводится в два этапа. Первый этап – это оценка значений функции f (или соответствующего выражения f(x), что по сути одно и то же), если решается уравнение f(x)=C, или оценка значений функций g и h (или соответствующих выражений f(x) и g(x)), если решается уравнение g(x)=h(x). Второй этап – это использование полученных оценок для дальнейшего поиска корней уравнения или обоснования их отсутствия. Разъясним эти моменты.

Как оцениваются значения функций? Этот вопрос детально разобран в соответствующем пункте статьи метод оценки. Здесь мы ограничимся перечислением способов оценки, которые наиболее часто используются при решении методом оценки именно иррациональных уравнений. Вот этот список способов оценки:

  • Оценка на основании определения корня с четным показателем. Так как по определению корень с четным показателем есть неотрицательное число, то для любого x из ОДЗ для выражения , где n – натуральное число, p(x) – некоторое выражение, справедливо неравенство , причем тогда и только тогда, когда p(x)=0.
  • Оценка на основании следующего свойства корней: для любых неотрицательных чисел a и b, a<b (, >, ), выполняется неравенство (, >, ). Если для любого x из ОДЗ для выражения выполняется неравенство p(x)<c (, >, ), где c – некоторое неотрицательное число, то для любого x из ОДЗ справедливо неравенство (, >, ).
  • Оценка на базе того факта, что степень любого числа с четным показателем есть неотрицательное число. Для любого x из ОДЗ для выражения p2·n(x) справедливо неравенство p2·n(x)≥0, причем p2·n(x)=0 тогда и только тогда, когда p(x)=0.
  • Оценка значений квадратного трехчлена. Для оценки можно использовать ординату вершины параболы, и при отрицательном дискриминанте - ноль.
    • Если a>0, то a·x2+b·x+c≥y0, где y0 – ордината вершины параболы, а если a<0, то a·x2+b·x+c≤y0.
    • Если a>0 и дискриминант D<0, то a·x2+b·x+c>0, а если a<0 и D<0, где D - дискриминант, то a·x2+b·x+c<0.
  • Оценка на базе свойств числовых неравенств.
    • Если на множестве X выполняется условие p(x)<a (, >, ), где a – некоторое число, то для любого числа c на множестве X будет справедливо неравенство p(x)+c<a+c (, >, ). Равенство возможно тогда и только тогда, когда p(x)=a.
    • Если на множестве X выполняется условие p(x)<a (, >, ), где a – некоторое число, то на множестве X для любого положительного числа c будет справедливо неравенство c·p(x)<c·a (, >, ), а для любого отрицательного c – неравенство c·p(x)>c·a (, <, ). Равенство возможно тогда и только тогда, когда p(x)=a.
      Следствие. Если на множестве X выполняется условие p(x)<a (, >, ), где a – некоторое число, то на X справедливо неравенство -p(x)>-a (, <, ). Равенство возможно тогда и только тогда, когда p(x)=a.
    • Если на множестве X значения выражения p(x) положительные и выполняется условие p(x)<a (, >, ), где a – некоторое положительное число, то на X будет справедливо неравенство (, <, ).
    • Если на множестве X выполняется условие p1(x)<a1, p2(x)<a2, …, pn(x)<an (, >, ), где a1, a2, …, an – некоторые числа, то на множестве X справедливо неравенство p1(x)+p2(x)+…+pn(x)<a1+a2+…+an (, >, ). Равенство возможно тогда и только тогда, когда одновременно p1(x)=a1, p2(x)=a2, …, pn(x)=an.
    • Если на множестве X все значения всех выражений p1(x), p2(x), …, pn(x) являются положительными числами и выполняются все условия p1(x)<a1, p2(x)<a2, …, pn(x)<an (, >, ), где a1, a2, …, an – некоторые положительные числа, то на множестве X справедливо неравенство p1(x)·p2(x)·…·pn(x)<a1·a2·…·an (, >, ). Равенство возможно тогда и только тогда, когда одновременно p1(x)=a1, p2(x)=a2, …, pn(x)=an.
      Следствие. Если на множестве X все значения выражения p(x) есть положительные числа и выполняется условие p(x)<a (, >, ), где a – некоторое положительное число, то на множестве X справедливо неравенство pn(x)<an (, >, ). Равенство возможно тогда и только тогда, когда p(x)=a.
  • Оценка через наибольшее и наименьшее значение функции, найденное с использованием производной. Если a - наименьшее значение функции p на множестве X, то на X справедливо неравенство p(x)≥a. Если b - наибольшее значение функции p на множестве X, то на X справедливо неравенство p(x)≤b.

Допустим, с первым этапом мы справились, то есть, оценили значения функций. Возникает логичный вопрос о том, как дальше использовать полученные оценки для решения уравнения. А дальше нужно сослаться на одно из следующих утверждений:

  • Уравнение f(x)=C не имеет решений на множестве X в следующих случаях:
    • Если f(x)<a и a<C.
    • Если f(x)≤a и a<C.
    • Если f(x)>b и b>C.
    • Если f(x)≥b и b>C.
    • Если f(x)<C.
    • Если f(x)>C.
  • Уравнение f(x)=C на множестве X равносильно системе уравнений в следующих случаях:
    • Если на множестве X f(x)≤C, причем f(x) представляет собой сумму функций f1(x), f2(x), …, fn(x) таких, что f1(x)≤C1, f2(x)≤C2, …, fn(x)≤Cn (при этом C1+C2+…+Cn=C).
    • Если на множестве f(x)≥C, причем f(x) представляет собой сумму функций f1(x), f2(x), …, fn(x) таких, что f1(x)≥C1, f2(x)≥C2, …, fn(x)≥Cn (при этом C1+C2+…+Cn=C).
    • Если на множестве X f(x)≤C, причем f(x) представляет собой произведение функций f1(x), f2(x), …, fn(x) таких, что 0≤f1(x)≤C1, 0≤f2(x)≤C2, …, 0≤fn(x)≤Cn (при этом C1·C2·…·Cn=C).
    • Если на множестве X f(x)≤C, причем f(x) представляет собой произведение функций f1(x), f2(x), …, fn(x) таких, что f1(x)≥C1, f2(x)≥C2, …, fn(x)≥Cn, где числа C1, C2, …, Cn - неотрицательные (при этом C1·C2·…·Cn=C).
  • Уравнение g(x)=h(x) не имеет решений на множестве X в следующих случаях:
    • Если g(x)<A, h(x)>B и A<B.
    • Если g(x)≤A, h(x)>B и A<B.
    • Если g(x)<A, h(x)≥B и A<B.
    • Если g(x)≤A, h(x)≥B и A<B.
  • Уравнение g(x)=h(x) не имеет решений на множестве X и в следующих случаях:
    • Если g(x)<A, h(x)>A.
    • Если g(x)≤A, h(x)>A.
    • Если g(x)<A, h(x)≥A.
  • Если на множестве X значения одной из функций g и h не меньше некоторого числа A, а значения другой функции не больше этого числа A, то уравнение g(x)=h(x) равносильно на множестве X системе .

Положения второго блока утверждений следуют из свойств сложения и умножения верных числовых неравенств одного смысла.

Первый блок положений становится понятен, если представить взаимное расположение графика функции f и прямой y=C, а положения остальных блоков – если представить взаимное расположение графиков функций g и h.

Разберем первый блок утверждений. Когда график функции f ниже или не выше прямой y=a, которая в свою очередь ниже прямой y=C, то понятно, что он не пересекается с прямой y=C, из этого вытекает отсутствие корней уравнения f(x)=C. Когда график функции f выше или не ниже прямой y=b, которая в свою очередь выше прямой y=C, то понятно, что он не пересекается с прямой y=C, из этого вытекает отсутствие корней уравнения f(x)=C. Когда график функции f ниже или выше прямой y=С, то понятно, что он не пересекается с этой прямой, из этого также вытекает отсутствие корней уравнения f(x)=C.

Теперь обоснуем третий блок утверждений. Пусть на множестве X значения функции g меньше или не больше числа A, а значения функции h больше или не меньше числа B. Это означает, что все точки графика функции g находятся ниже или не выше прямой y=A, а точки графика функции h – выше или не ниже прямой y=B. Понятно, что на множестве X при A<B графики функций g и h не будут иметь общих точек, так как график функции g будет расположен ниже графика функции h. А это означает, что уравнение g(x)=h(x) не имеет решений.

Переходим к четвертому блоку утверждений. Здесь в первом случае один график расположен ниже этой прямой, другой – выше этой прямой. Во втором случае один график не выше этой прямой, другой – выше этой прямой. В третьем случае один график ниже этой прямой, другой – не ниже этой прямой. Понятно, что во всех случаях графики не имеют общих точек, значит, уравнение g(x)=h(x) не имеет решений.

В последней ситуации график одной функции не выше прямой y=A, а график другой функции – не ниже этой прямой. При этом понятно, что графики могут иметь общие точки только на этой прямой. Это и объясняет переход от уравнения g(x)=h(x) к системе .

Можно переходить к практике. Рассмотрим решения характерных иррациональных уравнений методом оценки.

Для начала стоит разобраться с вопросом точности оценки значений выражений. Чтобы было понятно, откуда берется такой вопрос, посмотрите на три оценки значений корня : первая , вторая , третья , и скажите, какую предпочесть? Ну, первую отбросим, так как она по большей части надумана, а вот вторая и третья оценки вполне рабочие, и в зависимости от ситуации может быть использована и первая из них, сравнительно грубая, и вторая. Посмотрим на этот вопрос с позиций практики.

Для доказательства того, что уравнение не имеет решений, бывает достаточно грубых оценок. Основное преимущество грубых оценок перед более точными оценками состоит в относительной простоте их получения. Грубые оценки практически очевидны и не требуют дополнительных исследований, так как в их основе лежат хорошо известные факты, такие как: квадратный корень – это неотрицательное число, модуль – это неотрицательное число, квадрат числа – это неотрицательное число, сумма положительных взаимно обратных чисел не меньше двух, значения квадратного трехчлена с отрицательным старшим членом и отрицательным дискриминантом - отрицательные и т.п. Так для решения следующего иррационального уравнения методом оценки достаточно грубой оценки корня с одной стороны и квадратного трехчлена с другой стороны.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Обычно проще получить грубые оценки значений функций или выражений, чем точные. Но довольно часто грубые оценки не позволяют сделать выводы о корнях решаемых уравнений, в то время как более точные оценки дают такую возможность. Давайте решим типовое иррациональное уравнение.

Пример

Решите иррациональное уравнение методом оценки.

Смотреть решение

Будем считать, что разобрались, когда применять грубые оценки, а когда более точные. Теперь перейдем к решению методом оценки иррациональных уравнений вида f(x)=C.

Начнем с решения простого, но очень характерного иррационального уравнения: оценка значений его левой части вытекает из оценок составляющих ее корней, и из полученной оценки следует вывод об отсутствии корней уравнения.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Интереснее обстоит дело, когда выражение, отвечающее левой части иррационального уравнения f(x)=C, представляет собой сумму или произведение нескольких выражений и его значения оцениваются как f(x)≤C или f(x)≥C. В таких случаях записанные выше утверждения предписывают переходить от исходного иррационального уравнения к равносильной системе уравнений. Приведем решение характерного иррационального уравнения.

Пример

Решить иррациональное уравнение методом оценки .

Смотреть решение

Закрепим навыки перехода по методу оценки от иррационального уравнения f(x)=C с суммой или произведением в левой части к равносильной системе уравнений. Для этого решим сравнительно сложное иррациональное уравнение, левая часть которого представляет собой сумму двух иррациональных выражений, одно из которых является произведением двух выражений. Принцип решения тот же: получаем оценку, которая позволяет перейти от исходного уравнения к равносильной системе.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Перейдем к иррациональным уравнениям вида g(x)=h(x).

Предыдущие примеры были довольно простые в плане оценки значений выражений и функций. Пришло время проработать аспект оценки более детально. По понятным причинам упор сделаем на способах оценки, к которым приходится прибегать наиболее часто при решении методом оценки именно иррациональных уравнений. Начнем со способов оценки, не требующих нахождения производной. Так чтобы решить следующее иррациональное уравнение, придется привлечь чуть ли не все известные средства: от свойства степеней с четным показателем и свойства монотонности функции извлечения корня до оценок на базе свойств числовых равенств.

Пример

Решить методом оценки иррациональное уравнение

Смотреть решение

Способы получения оценок, которые мы использовали во всех предыдущих примерах, не закрывают вопрос оценки значений полностью. Другими словами, не всегда с их помощью удается оценить значения функций и выражений. В частности, рассмотренные способы нехороши, когда область допустимых значений переменной x для решаемого иррационального уравнения отлична от множества всех действительных чисел R. В качестве примера приведем оценку корня в двух случаях: когда ОДЗ есть множество R и когда ОДЗ есть отрезок от 3 до 5. Опираясь на способы оценки, которыми мы пользовались выше, мы можем получить оценку . Для случая, когда ОДЗ есть множество R, эта оценка очень даже хороша. Но для случая, когда ОДЗ есть отрезок [3, 5], записанная оценка уже оказывается сравнительно грубой, и есть возможность оценить корень более точно, а именно как . Но не только ОДЗ ограничивает возможности получения оценок разобранными выше способами. Часто эти способы не дают возможности оценить значения функции из-за вида оцениваемой функции. Например, способы оценки, о которых мы говорим, позволяют оценить значения корней и , а также их сумму: , , откуда и дальше . Но эти способы оценки уже не позволяют оценить значения разности указанных корней. В подобных ситуациях приходится прибегать к исследованию функции, нахождению ее наибольшего и наименьшего значений, через которые и оценивать значения функции. Иногда удобно комбинировать различные способы получения оценок. Покажем решение характерного иррационального уравнения.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Завершая разговор о решении иррациональных уравнений функционально-графическим методом и методом оценки в частности, вспомним про одно обещание, данное в в конце пункта, посвященного решению иррациональных уравнений методом введения новой переменной. Помните, мы решили иррациональное уравнение довольно экзотическим способом через введение двух новых переменных (до которого еще надо было додуматься), и обещали показать его решение более стандартным методом. Таким методом в данном случае выступает именно метод оценки. Так выполним обещанное.

Пример

Решить иррациональное уравнение методом оценки .

Смотреть решение

К началу страницы

Решение иррациональных уравнений через ОДЗ

Очень часто частью процесса решения уравнений является нахождение ОДЗ. Причины, заставляющие искать ОДЗ, могут быть разными: требуется провести преобразования уравнения, а они, как известно, проводятся на ОДЗ, выбранный метод решения подразумевает нахождение ОДЗ, осуществление проверки по ОДЗ и т.д. А в определенных случаях ОДЗ выступает не только как вспомогательный или контрольный инструмент, но и позволяет получить решение уравнения. Здесь мы имеем в виду две ситуации: когда ОДЗ есть пустое множество и когда ОДЗ есть конечный набор чисел.

Понятно, что если ОДЗ уравнения, в частности, иррационального, есть пустое множество, то уравнение не имеет решений. Так ОДЗ переменной x для следующего иррационального уравнения является пустым множеством, откуда следует, что уравнение не имеет решений.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Когда ОДЗ переменной для уравнения представляет собой конечный набор чисел, то последовательно осуществляя проверку подстановкой этих чисел можно получить решение уравнения. Для примера рассмотрим иррациональное уравнение, ОДЗ для которого состоит из двух чисел, а подстановка показывает, что только одно из них является корнем уравнения, откуда и делается вывод, что этот корень есть единственное решение уравнения.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

К началу страницы

Решение иррациональных уравнений вида «дробь равна нулю»

Любое уравнение вида «дробь равна нулю» , в частности, иррациональное, на ОДЗ переменной x для этого уравнения равносильно уравнению f(x)=0. Из этого утверждения вытекают два подхода к решению уравнений такого вида:

  1. Найти ОДЗ переменной x для уравнения , решить уравнение f(x)=0 и выяснить, какие из его корней принадлежат ОДЗ, они и образуют искомое решение.
  2. Решить уравнение f(x)=0 и проверить, какие из его корней являются решениями исходного уравнения .

Понятно, что к первому подходу к решению уравнения лучше прибегать тогда, когда проще найти ОДЗ, чем решить уравнение f(x)=0. При этом ОДЗ может оказаться пустым множеством или состоять из нескольких чисел, в этих случаях можно будет вообще обойтись без решения уравнения f(x)=0 (смотрите решение уравнений через ОДЗ). Решим типовое иррациональное уравнение.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Второй озвученный подход к решению уравнения предпочтительнее тогда, когда решить уравнение f(x)=0 довольно легко. После решения уравнения f(x)=0 останется сделать проверку найденных корней, которая обычно проводится одним из следующих способов:

  • через подстановку в знаменатель исходного уравнения, те из найденных корней, которые обращают знаменатель в нуль или в не имеющее смысла выражение, не являются корнями, а найденные корни, обращающие знаменатель в отличное от нуля число, являются корнями исходного уравнения.
  • непосредственно по ОДЗ (когда ОДЗ находится довольно легко, при этом первый и второй подходы к решению иррациональных уравнений вида «дробь равна нулю» практически равносильны), найденные корни, принадлежащие ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а не принадлежащие – не являются.
  • или через условия ОДЗ (часто записать условия, определяющие ОДЗ легко, а найти по ним ОДЗ в виде числового множества затруднительно), те из найденных корней, которые удовлетворяю всем условиям ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, остальные – не являются.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

К началу страницы

Иррациональные уравнения, сводящиеся к числовым равенствам

Нам известны преобразования уравнений, которые используются для решения уравнений. В некоторых случаях эти преобразования приводят уравнение к числовому равенству. В качестве примера приведем уравнение x3+1=x3, которое, очевидно, сводится к неверному числовому равенству 1=0. Решение подобных уравнений имеет свои особенности, они подробно разобраны в отдельной общей статье «решение уравнений, приводящихся к числовым равенствам», затрагивающей не только иррациональные уравнения, но и уравнения других видов. Но в рамках текущей статьи нас интересуют только иррациональные уравнения, поэтому мы сочли целесообразным выделить из указанной статьи ту часть информации, которая касается специфики решения именно иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам, и дать ее здесь.

Начнем с самого простого случая: с иррациональных уравнений, сводящихся к неверным числовым равенствам. Такие иррациональные уравнения не имеют решений. Дадим краткое обоснование этого факта.

Когда мы разбирали преобразования уравнений, то условились при решении уравнений прибегать лишь к преобразованиям, дающим либо равносильные уравнения, либо уравнения-следствия (как исключение мы допустили деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной, при котором происходит сужение ОДЗ; это случай мы разобрали отдельно, здесь его опускаем). Так вот, допустим, осуществляя такие преобразования, мы пришли от исходного иррационального уравнения к неверному числовому равенству. Это означает, что последнее уравнение нашей цепочки преобразований не имеет решений, так как при подстановке в него любого значения переменной из ОДЗ мы будем получать неверное числовое равенство, соответствующее тому, к которому свелось исходное уравнение. А из отсутствия решений у последнего уравнения цепочки преобразований и из того, что оно является уравнением-следствием исходного уравнения, следует, что исходное иррациональное уравнение не имеет решений.

Разъясним это на примере.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Теперь остановимся на случаях, когда иррациональные уравнения сводятся к верным числовым равенствам. Эту часть информации удобно рассмотреть с двух сторон:

  • когда в цепочке преобразований нет возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;
  • и когда в цепочке преобразований есть возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Если иррациональное уравнение приводится к верному числовому равенству без использования возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то его решением является множество, совпадающее с областью допустимых значений для исходного уравнения. Другими словами, любое число из ОДЗ для такого уравнения является решением этого уравнения. Обоснуем это.

Пусть цепочка переходов к равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям получена без использования возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, и она привела к верному числовому равенству. Это означает, что последнее уравнение этой цепочки имеет решением множество, совпадающее с его ОДЗ. Действительно, при подстановке в это уравнение любого значения из его ОДЗ, мы будем получать верное числовое равенство, соответствующее равенству, к которому свелось исходное уравнение. Мы знаем, что переход к уравнениям-следствиям может приводить к появлению посторонних корней, причем причин возможного возникновения посторонних корней две: из-за расширения ОДЗ и из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Так как к последнему преобразованию мы не прибегали, то в нашем случае посторонние корни могли появиться лишь по причине расширения ОДЗ. А нам известно, что такие посторонние корни можно отсеять по ОДЗ для исходного уравнения. Из этого следует, что решением исходного иррационального уравнения является его ОДЗ.

Обратимся к конкретному примеру для разъяснения.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Когда среди преобразований, приводящих иррациональное уравнение к верному числовому равенству, присутствует возведение обеих частей уравнения в четную степень, то нужно либо добавлять дополнительные условия, делающие это преобразование равносильным, либо отказываться от возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в пользу другого метода решения. Почему же возведение в четную степень привносит такие сложности. Да потому, что это преобразование в общем случае неравносильное и может приводить к появлению посторонних корней, которые не всегда отсеиваются через ОДЗ. Следующий пример разъясняет сказанное.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

К началу страницы

Переход к модулям

Если в записи иррационального уравнения под знаком корня четной степени находится степень некоторого выражения с показателем, равным показателю корня, то можно осуществить переход к модулю. Такое преобразование имеет место в силу одного из свойств корней, которому отвечает формула , где 2·m – четное число, a – любое действительное число. Стоит заметить, что это преобразование является равносильным преобразованием уравнения. Действительно, при таком преобразовании происходит замена корня тождественно равным ему модулем, при этом ОДЗ не изменяется.

Рассмотрим характерное иррациональное уравнение, решить которое позволяет переход к модулю.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Всегда ли стоит переходить к модулям, когда есть такая возможность? В подавляющем большинстве случаев такой переход оправдан. Исключение составляют те случаи, когда очевидно, что альтернативные методы решения иррационального уравнения требуют сравнительно меньших трудозатрат. Давайте возьмем иррациональное уравнение, которое можно решить и через переход к модулям и какими-нибудь еще методами, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат или по определению корня, и посмотрим, какое из решений будет наиболее простым и компактным.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

В решенном примере предпочтительнее всех выглядит решение по определению корня: оно короче и проще как решения через переход к модулю, так и решения по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат. Могли ли мы это знать до решения уравнения всеми тремя методами? Скажем прямо, это было не очевидно. Так что когда просматриваются несколько методов решения и сразу непонятно, какой из них предпочесть, стоит пробовать получить решение любым из них. Если это получиться, то хорошо. Если же выбранный метод не приводит к результату или решение оказывается очень сложным, то стоит пробовать другой метод.

В заключение этого пункта вернемся к иррациональному уравнению . В предыдущем пункте мы его уже решали и увидели, что попытка его решения через уединение радикала и возведение обеих частей уравнения в квадрат привела к числовому равенству 0=0 и невозможности сделать вывод о корнях. А решение по определению корня было сопряжено с решением иррационального неравенства, что само по себе довольно сложно. Хорошим методом решения этого иррационального уравнения является переход к модулям. Приведем подробное решение.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

К началу страницы

Преобразование иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений почти никогда не обходится без их преобразования. К моменту изучения иррациональных уравнений мы уже знакомы с равносильными преобразованиями уравнений. При решении иррациональных уравнений они используются так же, как и при решении ранее изученных видов уравнений. Примеры проведения таких преобразований иррациональных уравнений Вы видели в предыдущих пунктах, и, согласитесь, они довольно естественно воспринимались, так как хорошо нам знакомы. Выше мы узнали и про новое для нас преобразование – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которое типично для иррациональных уравнений, оно в общем случае не является равносильным. Про все эти преобразования стоит поговорить детально, чтобы знать все тонкие моменты, возникающие при их проведении, и не допускать ошибок.

Будем разбирать преобразования иррациональных уравнений в следующей последовательности:

  1. Замена выражений тождественно равными им выражениями, не изменяющими ОДЗ.
  2. Прибавление одного и того же числа к обеим частям уравнения или вычитание одного и того же числа из обеих частей уравнения.
  3. Прибавление одного и того же выражения, не изменяющего ОДЗ, к обеим частям уравнения или вычитание одного и того же выражения, не изменяющего ОДЗ, из обеих частей уравнения.
  4. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
  5. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
  6. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, не изменяющее область допустимых значений переменной и не обращающееся на ней в нуль.
  7. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Итак, круг вопросов очерчен. Начнем разбираться с ними на примерах.

Первое интересующее нас преобразование – это замена выражений в уравнении тождественно равными им выражениями. Мы знаем, что оно является равносильным, если ОДЗ для уравнения, полученного в результате преобразования, такая же, как ОДЗ для исходного уравнения. Из этого понятно, что есть две основные причины возникновения ошибок при проведении этого преобразования: первая – это изменение ОДЗ, происходящее в результате проведенного преобразования, вторая – это замена выражения не тождественно равным ему выражением. Разберем эти аспекты подробно и по порядку, рассматривая примеры типичных преобразований этого вида.

Сначала пробежимся по типичным преобразованиям уравнений, заключающимся в замене выражения тождественно равным ему выражением, которые всегда являются равносильными. Вот соответствующий список.

  • Перестановка местами слагаемых и множителей. Это преобразование можно проводить как в левой, так и в правой части иррационального уравнения. Оно может использоваться, например, для группировки и последующего приведения подобных слагаемых с целью упрощения вида уравнения. Перестановка местами слагаемых или множителей, очевидно, является равносильным преобразованием уравнения. Оно и понятно: исходное выражение и выражение с переставленными местами слагаемыми или множителями являются тождественно равными (если, конечно, перестановка осуществлена корректно), и очевидно, что такое преобразование не изменяет ОДЗ. Приведем пример. В левой части иррационального уравнения в произведении x·3·x можно переставить местами первый и второй множители x и 3, что в дальнейшем позволит представить многочлен, находящийся под знаком корня, в стандартном виде. А в правой части уравнения в сумме 4+x+5 можно провести перестановку местами слагаемых 4 и x, что в дальнейшем позволит выполнить сложение чисел 4 и 5. После указанных перестановок иррациональное уравнение примет вид , полученное уравнение равносильно исходному.
  • Раскрытие скобок. Равносильность этого преобразования уравнений очевидна: выражения до и после раскрытия скобок являются тождественно равными и имеют одинаковую область допустимых значений. Для примера возьмем иррациональное уравнение . Его решение требует раскрытия скобок. Раскрыв скобки в левой части уравнения, а также в правой части уравнения придем к равносильному уравнению .
  • Группировка слагаемых и/или множителей. Это преобразование уравнения по своей сути представляет замену какого-либо выражения, являющегося частью уравнения, тождественно равным ему выражением со сгруппированными слагаемыми или множителями. Очевидно, при этом не изменяется ОДЗ. Значит, указанное преобразование уравнения является равносильным. Для иллюстрации возьмем иррациональное уравнение . Перестановка слагаемых (о ней мы говорили двумя абзацами выше) и группировка слагаемых позволяет перейти к равносильному уравнению . Цель подобной группировки слагаемых отчетливо просматривается - провести следующее равносильное преобразование , что позволит ввести новую переменную.
  • Вынесение за скобки общего множителя. Понятно, что выражения до вынесения общего множителя за скобки и после вынесения за скобки общего множителя являются тождественно равными. Также понятно, что вынесение общего множителя за скобки не изменяет ОДЗ. Поэтому, вынесение за скобки общего множителя в выражении, находящемся в составе уравнения, является равносильным преобразованием уравнения. Такое преобразование используется, например, для представления левой части уравнения в виде произведения с целью его решения методом разложения на множители. Вот конкретный пример. Рассмотрим иррациональное уравнение . Левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения, для этого нужно вынести за скобки общий множитель . В результате этого преобразования будет получено иррациональное уравнение , равносильное исходному, которое может быть решено методом разложения на множители.
  • Замена числовых выражений их значениями. Понятно, что если в записи уравнения присутствует некоторое числовое выражение, и мы заменим это числовое выражение его значением (правильно вычисленным), то такая замена будет равносильной. Действительно, ведь по сути происходит замена выражения тождественно равным ему выражением и при этом не изменяется ОДЗ уравнения. Так, заменив в иррациональном уравнении сумму двух чисел −3 и 1 значением этой суммы, которое равно −2, получим равносильное иррациональное уравнение . Аналогично можно провести равносильное преобразование иррационального уравнения , выполнив действия с числами под знаком корня (1+2=3 и ), это преобразование приведет нас к равносильному уравнению .
  • Выполнение действий с одночленами и многочленами, находящимися в записи иррационального уравнения. Понятно, что правильное выполнение этих действий будет приводить к равносильному уравнению. Действительно, при этом будет происходить замена выражения тождественно равным ему выражением и не будет изменяться ОДЗ. К примеру, в иррациональном уравнении можно сложить одночлены x2 и 3·x2 и перейти к равносильному ему уравнению . Еще пример: вычитание многочленов в левой части иррационального уравнения является равносильным преобразованием, которое приводит к равносильному уравнению .

Продолжаем рассматривать преобразования уравнений, состоящие в замене выражений тождественно равными им выражениями. Такие преобразования могут быть и неравносильными, так как могут изменять ОДЗ. В частности, может происходить расширение ОДЗ. Это может иметь место при приведении подобных слагаемых, при сокращении дробей, при замене нулем произведения с несколькими нулевыми множителями или дроби с равным нулю числителем и наиболее часто при использовании формул, соответствующих свойствам корней. Кстати, небрежное использование свойств корней может приводить и к сужению ОДЗ. И если преобразования, расширяющие ОДЗ, допустимы при решении уравнений (они могут быть причиной возникновения посторонних корней, которые определенным образом отсеиваются), то от преобразований, сужающих ОДЗ, нужно в обязательном порядке отказаться, так как они могут быть причиной потери корней. Остановимся на этих моментах.

  • Приведение подобных слагаемых в уравнении может быть неравносильным преобразованием! Приведение подобных слагаемых может дать нуль, при этом ОДЗ может расшириться. Вот пример. ОДЗ для иррационального уравнения определяется условиями , они задают множество [−1, 0)∪(0, +∞). Преобразование, заключающееся в приведении подобных слагаемых 1/x, приводит уравнение к виду , для него ОДЗ есть множество [−1, +∞). Очевидно, ОДЗ расширилась числом 0. Для данного примера это преобразование приводит к появлению постороннего корня 0, так как корнями уравнения являются числа 0 и −1, но 0 не является корнем исходного уравнения. Приведем еще один пример расширения ОДЗ при приведении подобных слагаемых в уравнении. Приведение подобных слагаемых в уравнении приводит к уравнению . Это преобразование расширяет ОДЗ (для исходного уравнения областью допустимых значений является множество всех неотрицательных чисел, а для полученного – множество всех действительных чисел), что может вызвать появление посторонних корней. Так что при таком ходе решения нужно будет обязательно позаботиться об отсеивании посторонних корней.
  • Сокращение дробей в уравнении может способствовать расширению ОДЗ! Проиллюстрируем сказанное. Рассмотрим иррациональное уравнение . Сократив дробь в левой части уравнения, мы придем к уравнению . Посмотрим, что при этом происходит с ОДЗ. ОДЗ для исходного уравнения есть множество (−2, 1]∪[3, +∞), а для полученного – (−∞, 1]∪[3, +∞). Очевидно, ОДЗ расширилась. В нашем случае это проходит безболезненно – посторонние корни не появляются. Но в других случаях могут и появиться. Так что если преобразования уравнения были связаны с сокращением дробей, то не стоит забывать о проверке с целью отсеивания посторонних корней.
  • Из-за замены нулем произведений с нулевыми множителями и дробей с нулем в числителе может расшириться ОДЗ! Вот пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , для него ОДЗ определяется условиями , которые задают числовое множество [2, +∞). Замена произведения и дроби в правой части уравнения нулями дает уравнение . При этом происходит расширение ОДЗ до множества (−∞, −1]∪[2, +∞). В нашем случае такое преобразование уравнения оказывается неравносильным и влечет появление постороннего корня −1.
  • Очень часто преобразования иррациональных уравнений, проводящиеся на базе определения корня, свойств корней и свойств степеней, бывают неравносильными! Таким образом, работая с корнями и степенями, нужно все время быть на чеку: смотреть, не изменяется ли ОДЗ при проведении преобразования, и правильно ли мы используем свойства корней (тождественным ли выражением мы заменяем выбранное выражение). Объять все многообразие таких преобразований практически невозможно, поэтому мы ограничимся решением двух, но очень характерных иррациональных уравнений.

Первое иррациональное уравнение таково . Его решение начинается с преобразования уравнения к виду на базе одного из свойств степеней. Это преобразование является равносильным, так как выражение заменяется тождественно равным выражением, и ОДЗ при этом не изменяется. А вот следующий переход к уравнению , проводящийся на базе определения корня, уже может быть неравносильным преобразованием уравнения, так как при таком преобразовании расширяется ОДЗ. Покажем полное решение этого уравнения.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Второе иррациональное уравнение, хорошо подходящее для иллюстрации того, что преобразования иррациональных уравнений с использованием свойств корней и определения корня могут быть неравносильными, имеет вид . Хорошо, если Вы не позволите себе начинать решение так


или так


чтобы дальше воспользоваться методом введения новой переменной. Разберем, в чем здесь подвох.

Начинаем с первого случая. Первое преобразование - переход от исходного иррационального уравнения к уравнению состоит в замене выражения x+3 выражением . Эти выражения тождественно равные. Но при такой замене происходит сужение ОДЗ с множества (−∞, −3)∪[−1, +∞) до множества [−1, +∞). А мы договорились отказаться от преобразований, сужающих ОДЗ, так как они могут приводить к потере корней.

А что не так во втором случае? Расширение ОДЗ при последнем переходе от к числом −3? Не только это. Большую озабоченность вызывает первый переход от исходного иррационального уравнения к уравнению . Суть этого перехода – замена выражения x+3 выражением . Но эти выражения не являются тождественно равными: при x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , откуда следует, что .

Так как же тогда решать это иррациональное уравнение ? Здесь лучше всего сразу вводить новую переменную , при этом (x+3)·(x+1)=t2. Приведем подробное решение.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Подведем итог по первому из разбираемых преобразований уравнений – замене выражения, находящегося в составе уравнения, тождественно равным ему выражением. Каждый раз при его проведении необходимо выполнение двух условий: первое - чтобы выражение заменялось именно тождественно равным выражением и второе - чтобы при этом не происходило сужение ОДЗ. Если при такой замене ОДЗ не изменяется, то в результате преобразования получится равносильное уравнение. Если при такой замене происходит расширение ОДЗ, то могут появиться посторонние корни, и необходимо позаботиться об их отсеивании.

Переходим ко второму преобразованию списка – прибавлению к обеим частям уравнения одного и того же числа и вычитанию из обеих частей уравнения одного и того же числа. Это равносильное преобразование уравнения. Обычно мы прибегаем к нему, когда в левой и правой части уравнения находятся одинаковые числа, вычитание из обеих частей уравнения этих чисел позволяет в дальнейшем избавиться от них. Например, и в левой и в правой части иррационального уравнения есть слагаемое 3. Вычитание тройки из обеих частей уравнения приводит к уравнению , которое после выполнения действий с числами принимает вид и дальше упрощается до . По результату рассматриваемое преобразование перекликается с переносом слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, но об этом преобразовании чуть позже. Есть и другие примеры применения этого преобразования. Например, в иррациональном уравнении прибавление к обеим частям числа 3 нужно для организации полного квадрата в левой части уравнения и дальнейшего преобразования уравнения к виду с целью введения новой переменной.

Обобщение только что рассмотренного преобразования – это прибавление к обеим частям уравнения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения. Это преобразование уравнений является равносильным тогда, когда не изменяется ОДЗ. Данное преобразование проводится в основном для того, чтобы в дальнейшем избавиться от одинаковых слагаемых, находящихся одновременно и в левой и в правой части уравнения. Приведем пример. Допустим перед нами иррациональное уравнение . Очевидно, что и в левой и в правой части уравнения присутствует слагаемое . Резонно вычесть это выражение из обеих частей уравнения: . В нашем случае при таком переходе не изменяется ОДЗ, поэтому проделанное преобразование является равносильным. А делается оно для того, чтобы дальше перейти к более простому иррациональному уравнению .

Следующее преобразование уравнений, которое мы затронем в этом пункте, это - перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Это преобразование уравнения всегда равносильное. Сфера его применения довольно широка. С его помощью можно, например, уединить радикал или собрать подобные слагаемые в одной части уравнения, чтобы потом привести их и тем самым упростить вид уравнения. Приведем пример. Для решения иррационального уравнения можно перенести слагаемые −1 и в правую часть, изменив их знак, это даст равносильное уравнение , которое можно решать дальше, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Движемся дальше по пути рассмотрения преобразований уравнений к умножению или делению обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование является равносильным преобразованием уравнения. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число используется в основном для перехода от дробей к целым числам. Например, чтобы в иррациональном уравнении избавиться от дробей следует умножить обе его части на 8, что дает равносильное уравнение , которое дальше приводится к виду . Деление обеих частей уравнения проводится в основном с целью уменьшения числовых коэффициентов. Например, обе части иррационального уравнения целесообразно разделить на набольший общий делитель (НОД) числовых коэффициентов 18 и 12, то есть, на 6, такое деление дает равносильное уравнение , от которого в дальнейшем можно перейти к уравнению , имеющему меньшие, но тоже целые коэффициентами.

Следующее преобразование уравнения – это умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Данное преобразование равносильное тогда, когда выражение, на которое производится умножение или деление, не изменяет область допустимых значений переменной и не обращается на ней в нуль. Обычно умножение обеих частей на одно и то же выражение по целям похоже на умножение обеих частей уравнения на одно и то же число. Наиболее часто к этому преобразованию прибегают, чтобы дальнейшими преобразованиями избавиться от дробей. Покажем это на примере.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Не обойдем стороной и иррациональные уравнения, для решения которых приходится прибегать к делению обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Чуть выше мы отметили, что такое деление является равносильным преобразованием, если оно не влияет на ОДЗ и это выражение на ОДЗ не обращается в нуль. Но иногда деление приходится проводить и на выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ. Так вполне можно поступать, если при этом отдельно проверять нули этого выражения на предмет того, нет ли среди них корней решаемого уравнения, иначе при таком делении эти корни могут потеряться.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Последнее преобразование иррациональных уравнений, которое мы затронем в этом пункте, заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Это преобразование можно назвать типичным для иррациональных уравнений, так как практически не используется при решении уравнений других видов. Это преобразование мы уже упоминали в текущей статье, когда разбирали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Там же приведено и множество примеров проведения этого преобразования. Здесь не будем повторяться, а лишь напомним, что в общем случае это преобразование не является равносильным. Оно может приводить к появлению посторонних корней. Поэтому, если в процессе решения мы обращались к этому преобразованию, то найденные корни нужно обязательно проверить на наличие среди них посторонних корней.

К началу страницы

О потере корней

Из-за чего может произойти потеря корней при решении уравнения? Главная причина потери корней – это проведение преобразований уравнения, при которых сужается ОДЗ. Для понимания этого момента обратимся к примеру.

Возьмем иррациональное уравнение , которое мы уже решили в рамках текущей статьи. Его решение мы начали с предостережения от проведения следующих преобразований уравнения

Первое же преобразование – переход от уравнения к уравнению – сужает ОДЗ. Действительно, ОДЗ для исходного уравнения есть (−∞, −3)∪[−1, +∞), а для полученного - [−1, +∞). Это влечет выпадение из рассмотрения промежутка (−∞, −3) и, как следствие, потерю всех корней уравнения из этого промежутка. В нашем случае при проведении указанного преобразования будут потеряны все корни уравнения, которых два и .

Итак, если преобразование уравнения приводит к сужению ОДЗ, то будут потеряны все корни уравнения, находящиеся в той части, на которую произошло сужение. Вот поэтому мы и призываем не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ. Однако есть одна оговорка.

Эта оговорка касается преобразований, при которых происходит сужение ОДЗ на одно или несколько чисел. Самым характерным преобразованием, при котором из ОДЗ выпадают несколько отдельных чисел, является деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Понятно, что при проведении подобного преобразования могут потеряться лишь корни, находящиеся среди этого конечного набора чисел, выпадающего при сужении ОДЗ. Поэтому, если отдельно проверить все числа этого набора на предмет того, есть ли среди них корни решаемого уравнения, например, путем подстановки, и включить найденные корни в ответ, то дальше можно проводить намеченное преобразование без боязни потери корней. Проиллюстрируем сказанное примером.

Рассмотрим иррациональное уравнение , которое тоже уже было решено в предыдущем пункте. Чтобы решить это уравнение методом введения новой переменной, полезно сначала провести деление обеих частей уравнения на 1+x. При таком делении из ОДЗ выпадает число −1. Подстановка этого значения в исходное уравнение дает неверное числовое равенство (), откуда следует, что −1 не является корнем уравнения. После такой проверки можно спокойно проводить намеченное деление без боязни потерять корень.

В заключение этого пункта заметим, что наиболее часто при решении иррациональных уравнений к сужению ОДЗ приводит деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, а также преобразования, базирующиеся на свойствах корней. Так что нужно быть очень аккуратным при проведении таких преобразований и не допускать потери корней.

К началу страницы

О посторонних корнях и способах их отсеивания

Решение подавляющего числа уравнений проводится через преобразование уравнений. Определенные преобразования могут приводить к уравнениям-следствиям, а среди решений уравнения-следствия могут быть корни, посторонние для исходного уравнения. Посторонние корни не являются корнями исходного уравнения, поэтому, они не должны попасть в ответ. Другими словами, они должны быть отсеяны.

Итак, если в цепочке преобразований решаемого уравнения есть хотя бы одно уравнение-следствие, то нужно позаботиться об обнаружении и отсеивании посторонних корней.

Методы обнаружения и отсеивания посторонних корней зависят от причин, вызывающих их потенциальное появление. А причин возможного появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений две: первая – это расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения, вторая – это возведение обеих частей уравнения в четную степень. Разберем соответствующие методы.

Начнем с методов отсеивания посторонних корней, когда причиной их возможного появления выступает только расширение ОДЗ. В этом случае отсеивание посторонних корней проводится одним из трех следующих способов:

  • По ОДЗ. Для этого находится ОДЗ переменной для исходного уравнения и проверяется принадлежность ей найденных корней. Те корни, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
  • Через условия ОДЗ. Записываются условия, определяющие ОДЗ переменной для исходного уравнения, и в них по очереди подставляются найденные корни. Те корни, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями, а те, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
  • Через подстановку в исходное уравнение (или в любое равносильное ему уравнение). Найденные корни по очереди подставляются в исходное уравнение, те из них, при подстановке которых уравнение обращается в верное числовое равенство, являются корнями, а те из них, при подстановке которых получается выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Давайте при решении следующего иррационального уравнения проведем отсеивание посторонних корней каждым из указанных способов, чтобы получить общее представление о каждом из них.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Понятно, что мы не будем каждый раз выявлять и отсеивать посторонние корни всеми известными способами. Для отсеивания посторонних корней мы будем выбирать самый подходящий способ в каждом конкретном случае. Например, в следующем примере отсеивание посторонних корней удобнее всего провести через условия ОДЗ, так как по этим условиям сложно найти ОДЗ в виде числового множества.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Теперь поговорим про отсеивание посторонних корней, когда решение иррационального уравнения проводится методом возведения обеих частей уравнения в четную степень. Здесь уже не выручит отсеивание через ОДЗ или через условия ОДЗ, так как оно не позволит отсеять посторонние корни, возникающие по другой причине – из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Почему появляются посторонние корни при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень? Появление посторонних корней в этом случае следует из того, что возведение в одну и ту же четную степень обеих частей неверного числового равенства может давать верное числовое равенство. Например, неверное числовое равенство 3=−3 после возведения его обеих частей в квадрат становится верным числовым равенством 32=(−3)2, что то же самое 9=9.

С причинами появления посторонних корней при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень разобрались. Осталось указать, как в этом случае отсеиваются посторонние корни. Отсеивание в основном проводится через подстановку найденных потенциальных корней в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Продемонстрируем это на примере.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Но стоит иметь в виду еще один способ, позволяющий отсеять посторонние корни в случаях, когда возводятся в одну и ту же четную степень обе части иррационального уравнения с уединенным радикалом. При решении иррациональных уравнений , где 2·k – четное число, методом возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень, отсеивание посторонних корней можно проводить через условие g(x)≥0 (то есть, фактически решать иррациональное уравнение по определению корня). Такой метод часто выручает тогда, когда отсеивание посторонних корней через подстановку оказывается связанным со сложными вычислениями. Следующий пример является хорошей иллюстрацией сказанного.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

К началу страницы