Числа, действия с числами Помощь в написании работ

Деление натуральных чисел: правила, примеры и решения.


В этой статье мы разберемся с правилами, по которым проводится деление натуральных чисел. Здесь мы будем рассматривать лишь деление натуральных чисел без остатка, или, как его еще называют, деление нацело (то есть, только те случаи, в которых сохраняется смысл деления натуральных чисел). Деление натуральных чисел с остатком> заслуживает отдельной статьи.

Правила деления натуральных чисел невозможно сформулировать, если не проследить связь деления с умножением, что и сделано в самом начале этой статьи. Далее разобраны самые простые правила деления, напрямую следующие из свойств этого действия - это деление равных натуральных чисел и деление натурального числа на единицу. После этого подробно на примерах рассмотрено деление с использованием таблицы умножения. Дальше показано, как выполняется деление на десять, сто, тысячу и т.д., деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0, и все остальные случаи. Весь материал снабжен примерами с детальным описанием решений. В конце статьи показано, как выполняется проверка результата деления при помощи умножения. В итоге Вы будете владеть всеми навыками, необходимыми для деления произвольных натуральных чисел.


Связь деления с умножением

Давайте проследим связь между делением и умножением. Для этого вспомним, что деление связано с представлением множества, которое мы делим, в виде объединения нескольких одинаковых множеств, на которые мы делим исходное множество (об этом мы говорили в разделе общее представление о делении). В свою очередь умножение связано с объединением некоторого количества одинаковых множеств в одно (при необходимости обращайтесь к разделу теории общее представление об умножении). Таким образом, деление является действием, обратным к умножению.

Поясним, что же означает последняя фраза.

Для этого рассмотрим следующую ситуацию. Пусть мы имеем b множеств по c предметов в каждом, и мы объединяем их в одно множество, в котором получается a предметов. На основании смысла умножения натуральных чисел можно утверждать, что описанному действию отвечает равенство c·b=a. Теперь полученное множество вновь разделим на b одинаковых множеств. Понятно, что при этом в каждом полученном множестве будет c предметов. Тогда, вспомнив смысл деления натуральных чисел, можно записать равенство a:b=c.

Приходим к следующему утверждению: если произведение натуральных чисел c и b равно a, то частное от деления a на b равно c.

Итак, если c·b=a, то a:b=c. Однако в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел мы можем равенство c·b=a переписать в виде b·c=a, откуда следует, что a:c=b. Таким образом, если мы знаем, что произведение двух натуральных чисел с и b равно a, то есть, c·b=a, то мы можем сказать, что частные a:b и a:c равны c и b соответственно.

На основании всей приведенной информации можно дать определение деления натуральных чисел на основе умножения.

Определение.

Деление – это действие, с помощью которого находится один множитель, когда известно произведение и другой множитель.

На базе этого определения мы и будем строить правила деления натуральных чисел.

Деление натуральных чисел как последовательное вычитание


В принципе знание того, что деление является действием, обратным к умножению, достаточно для того, чтобы научиться проводить это действие. Однако хочется рассказать еще об одном подходе к проведению деления натуральных чисел, в котором деление рассматривается как последовательное вычитание. Связано это с его простотой и очевидностью.

Чтобы все было максимально понятно, давайте рассмотрим пример.

Пример.

Чему равен результат деления 12 на 4?

Решение.

Отталкиваясь от смысла деления натуральных чисел, поставленную задачу можно смоделировать так: имеется 12 предметов, их нужно разделить на равные кучки по 4 предмета в каждой, количество полученных кучек даст нам ответ на вопрос, чему равно частное 12:4.

Давайте последовательно шаг за шагом будем из исходных предметов забирать по 4 предмета и формировать из них требуемые кучки до того момента, пока не закончатся исходные предметы. Количество шагов, которые нам потребуется сделать, укажет нам количество получившихся кучек, а значит и ответ на поставленный вопрос.

Итак, из исходных 12 предметов откладываем 4 в сторону, они образуют первую кучку. После этого действия в исходной куче остается 12−4=8 предметов (при необходимости вспомните смысл вычитания натуральных чисел). Из этих 8 предметов забираем еще 4 предмета, и формируем из них вторую кучку. После этого действия в исходной куче предметов остается 8−4=4 предмета. Очевидно, что из оставшихся предметов можно сформировать еще одну, третью по счету, кучку, после чего у нас не останется ни одного предмета в исходной куче (то есть, у нас будет 4−4=0 предметов в исходной куче). Таким образом, мы получили 3 кучки, и можно сказать, что мы выполнили деление натурального числа 12 на натуральное число 4, при этом получили 3.

Ответ:

12:4=3.

Теперь давайте отойдем от предметов и посмотрим, что же мы делали с натуральными числами 12 и 4? Мы проводили последовательное вычитание делителя 4 до того момента, пока не получили нуль, при этом считали количество требуемых действий, которое и дало нам результат деления.

Вывод: деление одного натурального числа на другое можно провести, выполняя последовательное вычитание.

Для закрепления материала этого пункта статьи рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Вычислим частное 108:27, проводя последовательное вычитание.

Решение.

Первое действие: 108−27=81 (при затруднениях с вычитание смотрите статью вычитание натуральных чисел).

Второе действие: 81−27=54.

Третье действие: 54−27=27.

Четвертое действие 27−27=0 (это свойство вычитания равных натуральных чисел).

Итак, мы получили нуль, последовательно проведя вычитание 4 раза, следовательно, 108:27=4.

Ответ:

108:27=4.

Стоит заметить, что деление натуральных чисел таким способом удобно применять лишь тогда, когда требуется небольшое количество последовательных вычитаний для получения результата. В остальных случаях используются правила деления натуральных чисел, которые мы подробно разберем ниже.

Деление равных натуральных чисел

Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице. Это утверждение является свойством деления равных натуральных чисел.

К примеру, 1:1=1, 143:143=1, результатом деления натуральных чисел 10 555 и 10 555 также является единица.

Деление натурального числа на единицу

Свойство деления натурального числа на единицу позволяет нам сразу сформулировать соответствующее правило деления. Оно звучит так: частное от деления любого натурального числа на единицу равно делимому натуральному числу.

Например, 21:1=21, 13 003:1=13 003, аналогично, результатом деления натурального числа 555 987 на единицу является число 555 987.

Деление натуральных чисел с использованием таблицы умножения

Как известно, таблица умножения позволяет найти произведение двух однозначных натуральных чисел.

таблица умножения

По таблице умножения можно также отыскать один из двух однозначных множителей, если известно произведение и другой множитель. А мы в первом пункте данной статьи выяснили, что деление – это нахождение одного из множителей по произведению и другому множителю. Таким образом, с помощью таблицы умножения можно проводить деление любого из натуральных чисел, расположенных в таблице умножения на розовом фоне, на однозначное натуральное число.

Для примера, разделим 48 на 6. С помощью таблицы умножения это можно сделать одним из двух способов. Приведем сначала графическую иллюстрацию, после чего дадим описание.

Первый способ (соответствует рисунку выше слева). Находим делимое (в нашем примере это натуральное число 48) в том столбце, в верхней ячейке которого находится делитель (для нашего примера число 6). Результат деления находится в крайней левой ячейке той строки, в которой расположено найденное делимое. Для нашего примера это число 8, которое обведено окружностью синего цвета.

Второй способ (соответствует рисунку выше справа). Находим делимое 48 в той строке, в левой ячейке которого расположен делитель 6. Искомое частное в этом случае находится в верхней ячейке того столбца, в котором расположено найденное делимое 48. Результат обведен синей окружностью.

Итак, мы с помощью таблицы умножения разделили 48 на 6 и получили 8.

Для закрепления материала приведем чертеж, показывающий процесс деления натурального числа 7 на 1.

Рекомендуем научиться проводить деление натуральных чисел с помощью таблицы умножения настолько хорошо, чтобы Вы даже не задумывались при выполнении этого действия.

Деление на 10, 100, 1 000 и т.д.

Сразу дадим формулировку правила деления натуральных чисел на 10, 100, 1 000, … (будем считать, что такое деление возможно) и приведем пример, а потом приведем необходимые разъяснения.

Результатом деления натурального числа на 10, 100, 1 000 и т.д. является натуральное число, запись которого получается из записи делимого, если справа отбросить один, два, три и так далее нулей (то есть, отбрасывается столько цифр 0, сколько их содержится в записи делимого).

Например, частное от деления числа 30 на 10 равно 3 (от делимого 30 справа отбросили одну цифру 0), а частное 120 000:1 000 равно 120 (от 120 000 справа убрали три цифры 0).

Озвученное правило достаточно просто обосновать. Для этого достаточно вспомнить правила умножения натурального числа на десять, сто, тысячу и т.д. Приведем пример. Пусть нам требуется вычислить частное 10 200:100. Так как 102·100=10 200, то в силу связи между сложением и умножением результатом деления натурального числа 10 200 на 100 является натуральное число 102.

Представление делимого в виде произведения

Иногда провести деление натуральных чисел позволяет представление делимого в виде произведения двух чисел, хотя бы одно из которых делится на делитель. Этот способ деления основан на свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число.

Рассмотрим один из самых простых характерных примеров.

Пример.

Разделим 30 на 3.

Решение.

Очевидно, что делимое 30 можно представить в виде произведения натуральных чисел 3 и 10. Имеем 30:3=(3·10):3. Воспользоваться свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10. Итак, частное от деления 30 на 3 равно 10.

Ответ:

30:3=10.

Приведем решения еще пары аналогичных примеров.

Пример.

Разделите 7 200 на 72.

Решение.

В этом случае делимое 7 200 можно рассматривать как произведение чисел 72 и 100. При этом получаем следующий результат: 7 200:72=(72·100):72=(72:72)·100=1·100=100.

Ответ:

7 200:72=100.

Пример.

Разделим 1 600 000 на 160.

Решение.

Очевидно, что 1 600 000 – это произведение 160 и 10 000, поэтому 1 600 000:160=(160·10 000):160=(160:160)·10 000=1·10 000=10 000.

Ответ:

1 600 000:160=10 000.

В более сложных примерах при представлении делимого в виде произведения приходится ориентироваться на таблицу умножения. Из следующих примеров будет понятно, что мы имеем в виду.

Пример.

Выполните деление натурального числа 5 400 на 9.

Решение.

По таблице умножения мы можем разделить 54 на 9, поэтому делимое 5 400 логично представить в виде произведения 54·100 и закончить деление: 5 400:9=(54·100):9=(54:9)·100=6·100=600.

Ответ:

5 400:9=600.

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Вычислим частное 120:4.

Решение.

Для этого делимое 120 представим в виде произведения 12 и 10, после чего воспользуемся свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30.

Ответ:

120:4=30.

Деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0

Здесь нам потребуется вспомнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел. Поясним, для чего. Чтобы выполнить деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0, делитель представляется в виде произведения двух натуральных чисел, после чего применяется упомянутое свойство деления.

Разберемся с этим на примерах. Возьмем два натуральных числа, записи которых оканчиваются цифрами ноль, и разделим их.

Пример.

Разделим 490 на 70.

Решение.

Так как 70=10·7, то 490:70=490:(10·7). Последнее выражение в силу свойства деления натурального числа на произведение равно (490:10):7. Делить на 10 мы научились в одном из предыдущих пунктов, получаем (490:10):7=49:7. Полученное частное находим по таблице умножения, в итоге получаем 490:70=7.

Ответ:

490:70=7.

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного более сложного примера.

Пример.

Вычислим частное 54 000:5 400.

Решение.

Представляем 5 400 в виде произведения 100·54 и выполняем деление натурального числа на произведение: 54 000:5 400=54 000:(100·54)=(54 000:100):54=540:54. Здесь осталось представить 540 как 54·10 (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту) и закончить вычисления: 540:6=(54·10):54=(54:54)·10=1·10=10. Итак, 54 000:5 400=10.

Ответ:

54 000:5 400=10.

Информацию этого пункта можно подытожить следующим утверждением: если в записи и делимого и делителя справа находятся цифры 0, то в записях нужно избавиться от одинакового количества крайних справа нолей, после чего выполнить деление полученных чисел. Например, деление натуральных чисел 818 070 000 и 201 000 сводится к делению чисел 818 070 и 201 после того, как мы в записях делимого и делителя справа уберем по три цифры 0.

Подбор частного

Пусть натуральные числа a и b таковы, что a делится на b, причем если b умножить на 10, то получится число, которое больше, чем a. В этом случае частное a:b является однозначным натуральным числом, то есть, числом от 1 до 9, и его проще всего подобрать. Для этого делитель последовательно умножается на 1, 2, 3 и так далее до того момента, пока произведение не будет равно делимому. Как только такое равенство будет получено, то будет найдено частное a:b.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдем частное 108:27.

Решение.

Очевидно, что делитель 108 меньше, чем 27·10=270 (при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Подберем частное. Для этого последовательно будем умножать делитель 27 на 1, 2, 3, …, пока не получим делимое 108. Поехали: 27·1=27, 27·2=54, 27·3=81, 27·4=108 (при необходимости смотрите статью умножение натуральных чисел). Следовательно, 108:27=4.

Ответ:

108:27=4.

В заключении этого пункта отметим, что частное в таких случаях можно не подбирать, а находить его с помощью последовательного вычитания.

Представление делимого в виде суммы натуральных чисел

Если все способы, рассмотренные выше, не позволяют выполнить деление натуральных чисел, то нужно делимое представить в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых легко делится на делитель. Далее придется использовать свойство деления суммы натуральных чисел на данное число, и закончить вычисления. Остается главный вопрос: «В виде каких слагаемых представлять делимое"?

Опишем алгоритм получения слагаемых, дающих в сумме делимое. Для большей доступности будем одновременно рассматривать пример, в котором делимое равно 8 551, а делитель равен 17.

  1. Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.

    Например, если делимым является натуральное число 8 551, а делителем – число 17, то запись делимого содержит на 2 знака больше (8 551 – четырехзначное число, 17 – двухзначное, таким образом, разница в количестве знаков определяется разностью 4−2=2). То есть, запоминаем число 2.

  2. Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1.

    Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 17 дописываем справа две цифры 0, при этом получаем число 1 700. Это число меньше, чем делимое 8 551, поэтому запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1. Таким образом, у нас в памяти остается число 2.

  3. После этого к цифре 1 справа приписываем цифры 0 в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.

    В нашем примере к цифре 1 приписываем 2 ноля, имеем число 100, то есть, мы будем работать с разрядом сотен.

  4. Теперь последовательно умножаем делитель на 1, 2, 3, … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее чем делимое.

    В нашем примере рабочим разрядом является разряд сотен. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда сотен, то есть, умножаем 17 на 100, получаем 17·100=1 700. Полученное число 1 700 меньше делимого 8 551, поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда сотен, то есть 17 умножаем на 200. Имеем 17·200=3 400<8 551, поэтому продолжаем процесс. Умножаем 17 на 300, имеем 17·300=5 100<8 551; двигаемся дальше 17·400=6 800<8 551; дальше 17·500=8 500<8 551; наконец 17·600=10 200>8 551.

    Число, полученное на предпоследнем шаге при умножении, является первым из искомых слагаемых.

    В разбираемом примере искомым слагаемым является число 8 500 (это число равно произведению 17·500, откуда видно, что 8 500:17=500, это равенство мы используем дальше).

  5. После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число не равно нулю, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, отличное от нуля, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет равно нулю. Как только здесь получаем 0, то все слагаемые найдены, и можно переходить к финальной части вычисления исходного частного.

    Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 8 551−8 500=51. Так как 51 не равно 0, то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все шаги алгоритма.

  1. Количество знаков в записях чисел 51 и делителя 17 одинаковое, поэтому запоминаем число 0.

  2. В записи делителя не нужно дописывать справа ни одной цифры 0, так как мы запоминали число 0. То есть, число 17 остается как есть. Это число меньше, чем 51, поэтому из запомненного числа 0 вычитать единицу не нужно. Таким образом, у нас в памяти остается число 0.

  3. К цифре 1 мы не будем справа приписывать ни одной цифры 0, так как в памяти у нас находится число 0. То есть, мы будем работать с разрядом единиц.

  4. Теперь последовательно умножаем делитель 17 на 1, 2, 3 и так далее, пока не получим число, превосходящее 51. Имеем 17·1=17<51, 17·2=34<51, 17·3=51, 17·4=68>51. На предпоследнем шаге мы получили число 51 (это число равно произведению 17·3, и это мы используем дальше). Поэтому, вторым слагаемым является число 51.

  5. Находим разность между числом 51 и числом 51, полученным в предыдущем пункте. Имеем 51−51=0. Следовательно, останавливаем поиск слагаемых.

Теперь мы знаем, что делимое 8 551 нужно представить в виде суммы двух слагаемых 8 500 и 51.

Закончим нахождение частного. Имеем 8 551:17=(8 500+51):17. Теперь вспоминаем свойство деления суммы двух чисел на натуральное число, которое нас приводит к равенству (8 500+51):17=8 500:17+51:17. Выше мы выяснили, что 8 500:17=500 и 51:17=3. Таким образом, 8 500:17+51:17=500+3=503. Итак, 8 551:17=503.

Для закрепления навыков представления делимого в виде суммы слагаемых, рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Разделим 64 на 2.

Решение.

1) В записи делимого на один знак больше, чем в записи делителя, поэтому запоминаем число 1.

2) Если в записи делителя справа дописать одну цифру 0, то мы получим число 20, которое меньше, чем делимое 64. Поэтому запомненное число 1 уменьшать на единицу не нужно.

3) Теперь к 1 приписываем справа одну (так как у нас в памяти число 1) цифру 0, получаем число 10, то есть, будем работать с десятками.

4) Начинаем делитель 2 последовательно умножать на 10, 20, 30 и т.д. Имеем: 2·10=20<64; 2·20=40<64; 2·30=60<64; 2·40=80>64. Таким образом, первым слагаемым является число 60 (так как 2·30=60, то 60:2=30, это равенство нам пригодится дальше).

5) Вычисляем разность 64−60, которая равна 4. Это число мы легко можем разделить на делитель 2, поэтому примем это число в качестве второго (и последнего) слагаемого. (Несомненно, можно было принять это число в качестве делимого, и пройти все шаги алгоритма еще раз, они нас приведут к тому, что вторым слагаемым является число 4.)

Итак, делимое 64 мы представили в виде суммы двух слагаемых 60 и 4. Остается закончить вычисления: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32.

Ответ:

64:2=32.

Решим еще один пример.

Пример.

Вычислим частное 1 178:31.

Решение.

1) В записи делимого на 2 знака больше, чем в записи делителя. Поэтому запоминаем число 2.

2) Если к записи делителя справа добавить две цифры 0, то мы получим число 3 100, которое больше делимого. Следовательно, запомненное в предыдущем пункте число 2 нужно уменьшить на единицу: 2−1=1, запоминаем это число.

3) Теперь к цифре 1 добавляем справа одну цифру 0, получаем число 10 и дальше работаем с десятками.

4) Последовательно умножаем делитель на 10, 20, 30 и т.д. Получаем 31·10=310<1 178; 31·20=620<1 178; 31·30=930<1 178; 31·40=1 240>1 178. Так мы нашли первое слагаемое. Оно равно 930 (дальше нам пригодится равенство 930:31=30, которое следует из равенства 31·30=930).

5) Вычисляем разность: 1 178−930=248. Так как получили число, не равное нулю, то принимаем его в качестве делимого, и начинаем поиск второго слагаемого по тому же алгоритму.

1) В записи числа 248 на 1 знак больше, чем в записи делителя 31. Поэтому запоминаем число 1.

2) Добавляем в записи делителя справа одну цифру 0, получаем число 310, которое больше, чем число 248. Поэтому, из запомненного числа 1 нужно вычесть 1, при этом получим число 0 и запомним его.

3) Так как у нас в памяти число 0, то к цифре 1 справа дописывать нулей не нужно. Таким образом, мы работаем с единицами.

4) Последовательно умножаем делитель 31 на 1, 2, 3 и так далее. Имеем 31·1=31<248, 31·2=62<248, 31·3=93<248, 31·4=124<248, 31·5=155<248, 31·6=186<248, 31·7=217<248, 31·8=248, 31·9=279>248. Второе слагаемое равно 248 (из равенства 248=31·8 следует, что 248:31=8, это нам потребуется дальше).

5) Вычисляем разность между числом 248 и полученным числом 248, имеем 248−248=0. Следовательно, на этом поиск слагаемых прекращается.

Таким образом, 1 178 представляем в виде суммы 930+248. Осталось лишь закончить вычисления: 1 178:31=(930+248):31=930:31+248:31=30+8=38 (на результаты 930:31=30 и 248:31=8 мы обращали внимание выше).

Ответ:

1 178:31=38.

Пример.

Разделите натуральное число 13 984 на 32, представив делимое в виде суммы нескольких слагаемых.

Решение.

В этом примере делимое будет представлено в виде трех слагаемых, так как алгоритм придется применять три раза. При этом получится, что первое слагаемое будет равно 12 800 (при этом 12 800=32·400, следовательно, 12 800:32=400), второе – 960 (при этом 960=32·30, следовательно, 960:32=30), а третье – 224 (при этом 224=32·7, следовательно, 224:32=7).

Тогда 13 984:32=(12 800+960+224):32=12 800:32+960:32+224:32=400+30+7=437.

Ответ:

13 984:32=437.

На этом основные правила деления натуральных чисел можно считать изученными, и этих правил достаточно, чтобы провести деление произвольных натуральных чисел (если это действие вообще возможно выполнить). Но следует обратить внимание еще на одно правило, которое в некоторых случаях позволяет выполнить деление натуральных чисел рациональнее, быстрее и проще.

Представление делимого в виде разности двух натуральных чисел

Иногда делимое проще представить в виде разности двух натуральных чисел, чем в виде суммы, что значительно ускоряет процесс деления. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Разделите 594 на 6.

Решение.

Несомненно, мы можем воспользоваться алгоритмом из предыдущего пункта, по которому делимое 594 представляется в виде суммы 540+54. При этом мы получим 594:6=(540+54):6=540:6+54:6=90+9=99.

Но проще поступить немного иначе. Несложно видеть, что делимое 594 можно представить в виде разности 600−6, причем натуральные числа 600 и 6 легко делятся на 6. Тогда 594:6=(600−6):6. Теперь по свойству деления разности двух чисел на натуральное число полученное частное (600−6):6 равно разности 600:6−6:6, которая очень легко вычисляется: 600:6−6:6=100−1=99.

Ответ:

594:6=99.

Разберем решение еще одного примера.

Пример.

Вычислите частное 483:7.

Решение.

Натуральное число 483 удобно представить в виде разности 490−7, в которой и уменьшаемое и вычитаемое легко делятся на 7. Получаем 483:7=(490−7):7=490:7−7:7=70−1=69.

Ответ:

483:7=69.

Проверка результата деления натуральных чисел умножением

После того, как деление натуральных чисел закончено, не лишним будет сделать проверку полученного результата. Проверка результата деления осуществляется при помощи умножения: чтобы проверить правильность результата деления нужно частное умножить на делитель, при этом должно получиться делимое. Если при умножении получилось число, которое отлично от делимого, то в процессе деления где-то была допущена ошибка.

Немного поясним, откуда взялось это правило для проверки результата деления натуральных чисел. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, при этом в каждой кучке оказалось c предметов. По смыслу деления натуральных чисел мы можем записать равенство вида a:b=c, которое отвечает проведенному нами действию. Теперь, если обратно объединить все b кучек, в каждой из которых по c предметов, то понятно, что мы получим исходное множество предметов, в котором их будет a штук. То есть, по смыслу умножения натуральных чисел имеем b·c=a. Таким образом, если a:b=c, то также должно быть справедливо равенство b·c=a. На этом и основано правило проверки результата деления натуральных чисел при помощи умножения.

Рассмотрим решения примеров, в которых осуществляется проверка результата деления с помощью умножения.

Пример.

Натуральное число 475 было разделено на натуральное число 19, при этом получилось частное 25. Правильно ли выполнено деление?

Решение.

Выполним проверку результата деления. Для этого частное 25 умножим на делитель 19, получаем 25·19=475 (при необходимости обращайтесь к материалу статьи умножение натуральных чисел). Мы получили число, равное делимому, следовательно, деление было выполнено правильно.

Ответ:

проверка показала, что деление было выполнено правильно.

Пример.

Разделите натуральное число 1 024 на натуральное число 32, результат проверьте умножением.

Решение.

Деление можно выполнить, если делимое 1 024 представить в виде суммы 960+64 (это мы сделали по алгоритму, описанному в одном из предыдущих пунктах этой статьи). Тогда 1 024:32=(960+64):32=960:32+64:32=30+2=32.

Осталось выполнить проверку полученного результата. Для этого умножим полученное частное 32 на делитель 32, имеем 32·32=1 024. Полученное число совпадает с делимым, поэтому частное вычислено правильно.

Ответ:

1 024:32=32.

Проверка результата деления натуральных чисел делением

Проверить результат деления натуральных чисел можно не только при помощи умножения, но и при помощи деления. Сформулируем правило, позволяющее проводить проверку результата деления делением.

Чтобы проверить, правильно ли найдено частное от деления двух натуральных чисел, нужно делимое разделить на полученное частное. При этом, если получается число, равное делителю, то деление выполнено верно, в противном случае, где-то в вычислениях была допущена ошибка.

Это правило основано на достаточно очевидной связи делимого, делителя и частного. Проследить эту связь нам помогут следующие рассуждения. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, после чего в каждой кучке оказалось c предметов в каждой. Понятно, что если эти a предметов разложить в кучки по c предметов в каждой, то таких кучек получится b штук. Таким образом, если a:b=c, то a:c=b, аналогично, если a:c=b, то a:b=c. Об этом же мы упоминали выше в пункте связь деления с умножением.

Осталось рассмотреть несколько примеров проверки результата деления натуральных чисел при помощи деления.

Пример.

При делении натурального числа 104 на 13 было получено число 8. Правильно ли было выполнено деление?

Решение.

Несомненно, правильность полученного результата можно проверить, выполнив умножение частного 8 на делитель 13. Имеем 8·13=104. Вычисленное число 104 равно делителю 104, значит, деление было выполнено верно.

Проверить результат можно было и с помощью деления. Для этого можно разделить делимое 104 на натуральное число 8 и посмотреть, получится ли число, равное делителю 13. Выполним деление: 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13. Следовательно, деление было выполнено правильно.

Ответ:

да, правильно.

Пример.

Вычислите частное 240:15, результат проверьте делением.

Решение.

Чтобы выполнить деление, делимое 240 представляем в виде суммы 150+90 по алгоритму, разобранному в одном из предыдущих пунктов этой статьи, получаем 240:15=(150+90):15=150:15+90:15=10+6=16.

Осталось выполнить проверку делением. Для этого разделим делимое 240 на полученное число 16. Имеем 240:16=(160+80):16=160:16+80:16=10+5=15. Так как получили число, равное делителю, то можно говорить, что частное 240:15 вычислено правильно.

Ответ:

240:15=16.

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+