Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Деление натуральных чисел: правила, примеры и решения.

В этой статье мы разберемся с правилами, по которым проводится деление натуральных чисел. Здесь мы будем рассматривать лишь деление натуральных чисел без остатка, или, как его еще называют, деление нацело (то есть, только те случаи, в которых сохраняется смысл деления натуральных чисел). Деление натуральных чисел с остатком> заслуживает отдельной статьи.

Правила деления натуральных чисел невозможно сформулировать, если не проследить связь деления с умножением, что и сделано в самом начале этой статьи. Далее разобраны самые простые правила деления, напрямую следующие из свойств этого действия - это деление равных натуральных чисел и деление натурального числа на единицу. После этого подробно на примерах рассмотрено деление с использованием таблицы умножения. Дальше показано, как выполняется деление на десять, сто, тысячу и т.д., деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0, и все остальные случаи. Весь материал снабжен примерами с детальным описанием решений. В конце статьи показано, как выполняется проверка результата деления при помощи умножения. В итоге Вы будете владеть всеми навыками, необходимыми для деления произвольных натуральных чисел.

Связь деления с умножением

Давайте проследим связь между делением и умножением. Для этого вспомним, что деление связано с представлением множества, которое мы делим, в виде объединения нескольких одинаковых множеств, на которые мы делим исходное множество (об этом мы говорили в разделе общее представление о делении). В свою очередь умножение связано с объединением некоторого количества одинаковых множеств в одно (при необходимости обращайтесь к разделу теории общее представление об умножении). Таким образом, деление является действием, обратным к умножению.

Поясним, что же означает последняя фраза.

Для этого рассмотрим следующую ситуацию. Пусть мы имеем b множеств по c предметов в каждом, и мы объединяем их в одно множество, в котором получается a предметов. На основании смысла умножения натуральных чисел можно утверждать, что описанному действию отвечает равенство c·b=a. Теперь полученное множество вновь разделим на b одинаковых множеств. Понятно, что при этом в каждом полученном множестве будет c предметов. Тогда, вспомнив смысл деления натуральных чисел, можно записать равенство a:b=c.

Приходим к следующему утверждению: если произведение натуральных чисел c и b равно a, то частное от деления a на b равно c.

Итак, если c·b=a, то a:b=c. Однако в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел мы можем равенство c·b=a переписать в виде b·c=a, откуда следует, что a:c=b. Таким образом, если мы знаем, что произведение двух натуральных чисел с и b равно a, то есть, c·b=a, то мы можем сказать, что частные a:b и a:c равны c и b соответственно.

На основании всей приведенной информации можно дать определение деления натуральных чисел на основе умножения.

На базе этого определения мы и будем строить правила деления натуральных чисел.

Деление натуральных чисел как последовательное вычитание

В принципе знание того, что деление является действием, обратным к умножению, достаточно для того, чтобы научиться проводить это действие. Однако хочется рассказать еще об одном подходе к проведению деления натуральных чисел, в котором деление рассматривается как последовательное вычитание. Связано это с его простотой и очевидностью.

Чтобы все было максимально понятно, давайте рассмотрим пример.

Теперь давайте отойдем от предметов и посмотрим, что же мы делали с натуральными числами 12 и 4? Мы проводили последовательное вычитание делителя 4 до того момента, пока не получили нуль, при этом считали количество требуемых действий, которое и дало нам результат деления.

Вывод: деление одного натурального числа на другое можно провести, выполняя последовательное вычитание.

Для закрепления материала этого пункта статьи рассмотрим решение еще одного примера.

Стоит заметить, что деление натуральных чисел таким способом удобно применять лишь тогда, когда требуется небольшое количество последовательных вычитаний для получения результата. В остальных случаях используются правила деления натуральных чисел, которые мы подробно разберем ниже.

Деление равных натуральных чисел

Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице. Это утверждение является свойством деления равных натуральных чисел.

К примеру, 1:1=1, 143:143=1, результатом деления натуральных чисел 10 555 и 10 555 также является единица.

Деление натурального числа на единицу

Свойство деления натурального числа на единицу позволяет нам сразу сформулировать соответствующее правило деления. Оно звучит так: частное от деления любого натурального числа на единицу равно делимому натуральному числу.

Например, 21:1=21, 13 003:1=13 003, аналогично, результатом деления натурального числа 555 987 на единицу является число 555 987.

Деление натуральных чисел с использованием таблицы умножения

Как известно, таблица умножения позволяет найти произведение двух однозначных натуральных чисел.

По таблице умножения можно также отыскать один из двух однозначных множителей, если известно произведение и другой множитель. А мы в первом пункте данной статьи выяснили, что деление – это нахождение одного из множителей по произведению и другому множителю. Таким образом, с помощью таблицы умножения можно проводить деление любого из натуральных чисел, расположенных в таблице умножения на розовом фоне, на однозначное натуральное число.

Для примера, разделим 48 на 6. С помощью таблицы умножения это можно сделать одним из двух способов. Приведем сначала графическую иллюстрацию, после чего дадим описание.

Первый способ (соответствует рисунку выше слева). Находим делимое (в нашем примере это натуральное число 48) в том столбце, в верхней ячейке которого находится делитель (для нашего примера число 6). Результат деления находится в крайней левой ячейке той строки, в которой расположено найденное делимое. Для нашего примера это число 8, которое обведено окружностью синего цвета.

Второй способ (соответствует рисунку выше справа). Находим делимое 48 в той строке, в левой ячейке которого расположен делитель 6. Искомое частное в этом случае находится в верхней ячейке того столбца, в котором расположено найденное делимое 48. Результат обведен синей окружностью.

Итак, мы с помощью таблицы умножения разделили 48 на 6 и получили 8.

Для закрепления материала приведем чертеж, показывающий процесс деления натурального числа 7 на 1.

Рекомендуем научиться проводить деление натуральных чисел с помощью таблицы умножения настолько хорошо, чтобы Вы даже не задумывались при выполнении этого действия.

Деление на 10, 100, 1 000 и т.д.

Сразу дадим формулировку правила деления натуральных чисел на 10, 100, 1 000, … (будем считать, что такое деление возможно) и приведем пример, а потом приведем необходимые разъяснения.

Результатом деления натурального числа на 10, 100, 1 000 и т.д. является натуральное число, запись которого получается из записи делимого, если справа отбросить один, два, три и так далее нулей (то есть, отбрасывается столько цифр 0, сколько их содержится в записи делимого).

Например, частное от деления числа 30 на 10 равно 3 (от делимого 30 справа отбросили одну цифру 0), а частное 120 000:1 000 равно 120 (от 120 000 справа убрали три цифры 0).

Озвученное правило достаточно просто обосновать. Для этого достаточно вспомнить правила умножения натурального числа на десять, сто, тысячу и т.д. Приведем пример. Пусть нам требуется вычислить частное 10 200:100. Так как 102·100=10 200, то в силу связи между сложением и умножением результатом деления натурального числа 10 200 на 100 является натуральное число 102.

Представление делимого в виде произведения

Иногда провести деление натуральных чисел позволяет представление делимого в виде произведения двух чисел, хотя бы одно из которых делится на делитель. Этот способ деления основан на свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число.

Рассмотрим один из самых простых характерных примеров.

Приведем решения еще пары аналогичных примеров.

В более сложных примерах при представлении делимого в виде произведения приходится ориентироваться на таблицу умножения. Из следующих примеров будет понятно, что мы имеем в виду.

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.

Деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0

Здесь нам потребуется вспомнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел. Поясним, для чего. Чтобы выполнить деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0, делитель представляется в виде произведения двух натуральных чисел, после чего применяется упомянутое свойство деления.

Разберемся с этим на примерах. Возьмем два натуральных числа, записи которых оканчиваются цифрами ноль, и разделим их.

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного более сложного примера.

Информацию этого пункта можно подытожить следующим утверждением: если в записи и делимого и делителя справа находятся цифры 0, то в записях нужно избавиться от одинакового количества крайних справа нолей, после чего выполнить деление полученных чисел. Например, деление натуральных чисел 818 070 000 и 201 000 сводится к делению чисел 818 070 и 201 после того, как мы в записях делимого и делителя справа уберем по три цифры 0.

Подбор частного

Пусть натуральные числа a и b таковы, что a делится на b, причем если b умножить на 10, то получится число, которое больше, чем a. В этом случае частное a:b является однозначным натуральным числом, то есть, числом от 1 до 9, и его проще всего подобрать. Для этого делитель последовательно умножается на 1, 2, 3 и так далее до того момента, пока произведение не будет равно делимому. Как только такое равенство будет получено, то будет найдено частное a:b.

Рассмотрим пример.

В заключении этого пункта отметим, что частное в таких случаях можно не подбирать, а находить его с помощью последовательного вычитания.

Представление делимого в виде суммы натуральных чисел

Если все способы, рассмотренные выше, не позволяют выполнить деление натуральных чисел, то нужно делимое представить в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых легко делится на делитель. Далее придется использовать свойство деления суммы натуральных чисел на данное число, и закончить вычисления. Остается главный вопрос: «В виде каких слагаемых представлять делимое"?

Опишем алгоритм получения слагаемых, дающих в сумме делимое. Для большей доступности будем одновременно рассматривать пример, в котором делимое равно 8 551, а делитель равен 17.

1. Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.

   Например, если делимым является натуральное число 8 551, а делителем – число 17, то запись делимого содержит на 2 знака больше (8 551 – четырехзначное число, 17 – двухзначное, таким образом, разница в количестве знаков определяется разностью 4−2=2). То есть, запоминаем число 2.

2. Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1.

   Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 17 дописываем справа две цифры 0, при этом получаем число 1 700. Это число меньше, чем делимое 8 551, поэтому запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1. Таким образом, у нас в памяти остается число 2.

3. После этого к цифре 1 справа приписываем цифры 0 в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.

   В нашем примере к цифре 1 приписываем 2 ноля, имеем число 100, то есть, мы будем работать с разрядом сотен.

4. Теперь последовательно умножаем делитель на 1, 2, 3, … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее чем делимое.

   В нашем примере рабочим разрядом является разряд сотен. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда сотен, то есть, умножаем 17 на 100, получаем 17·100=1 700. Полученное число 1 700 меньше делимого 8 551, поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда сотен, то есть 17 умножаем на 200. Имеем 17·200=3 400<8 551, поэтому продолжаем процесс. Умножаем 17 на 300, имеем 17·300=5 100<8 551; двигаемся дальше 17·400=6 800<8 551; дальше 17·500=8 500<8 551; наконец 17·600=10 200>8 551.

   Число, полученное на предпоследнем шаге при умножении, является первым из искомых слагаемых.

   В разбираемом примере искомым слагаемым является число 8 500 (это число равно произведению 17·500, откуда видно, что 8 500:17=500, это равенство мы используем дальше).

5. После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число не равно нулю, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, отличное от нуля, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет равно нулю. Как только здесь получаем 0, то все слагаемые найдены, и можно переходить к финальной части вычисления исходного частного.

   Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 8 551−8 500=51. Так как 51 не равно 0, то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все шаги алгоритма.

1. Количество знаков в записях чисел 51 и делителя 17 одинаковое, поэтому запоминаем число 0.

2. В записи делителя не нужно дописывать справа ни одной цифры 0, так как мы запоминали число 0. То есть, число 17 остается как есть. Это число меньше, чем 51, поэтому из запомненного числа 0 вычитать единицу не нужно. Таким образом, у нас в памяти остается число 0.

3. К цифре 1 мы не будем справа приписывать ни одной цифры 0, так как в памяти у нас находится число 0. То есть, мы будем работать с разрядом единиц.

4. Теперь последовательно умножаем делитель 17 на 1, 2, 3 и так далее, пока не получим число, превосходящее 51. Имеем 17·1=17<51, 17·2=34<51, 17·3=51, 17·4=68>51. На предпоследнем шаге мы получили число 51 (это число равно произведению 17·3, и это мы используем дальше). Поэтому, вторым слагаемым является число 51.

5. Находим разность между числом 51 и числом 51, полученным в предыдущем пункте. Имеем 51−51=0. Следовательно, останавливаем поиск слагаемых.

Теперь мы знаем, что делимое 8 551 нужно представить в виде суммы двух слагаемых 8 500 и 51.

Закончим нахождение частного. Имеем 8 551:17=(8 500+51):17. Теперь вспоминаем свойство деления суммы двух чисел на натуральное число, которое нас приводит к равенству (8 500+51):17=8 500:17+51:17. Выше мы выяснили, что 8 500:17=500 и 51:17=3. Таким образом, 8 500:17+51:17=500+3=503. Итак, 8 551:17=503.

Для закрепления навыков представления делимого в виде суммы слагаемых, рассмотрим решение еще одного примера.

Решим еще один пример.

На этом основные правила деления натуральных чисел можно считать изученными, и этих правил достаточно, чтобы провести деление произвольных натуральных чисел (если это действие вообще возможно выполнить). Но следует обратить внимание еще на одно правило, которое в некоторых случаях позволяет выполнить деление натуральных чисел рациональнее, быстрее и проще.

Представление делимого в виде разности двух натуральных чисел

Иногда делимое проще представить в виде разности двух натуральных чисел, чем в виде суммы, что значительно ускоряет процесс деления. Разберемся с этим на примере.

Разберем решение еще одного примера.

Проверка результата деления натуральных чисел умножением

После того, как деление натуральных чисел закончено, не лишним будет сделать проверку полученного результата. Проверка результата деления осуществляется при помощи умножения: чтобы проверить правильность результата деления нужно частное умножить на делитель, при этом должно получиться делимое. Если при умножении получилось число, которое отлично от делимого, то в процессе деления где-то была допущена ошибка.

Немного поясним, откуда взялось это правило для проверки результата деления натуральных чисел. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, при этом в каждой кучке оказалось c предметов. По смыслу деления натуральных чисел мы можем записать равенство вида a:b=c, которое отвечает проведенному нами действию. Теперь, если обратно объединить все b кучек, в каждой из которых по c предметов, то понятно, что мы получим исходное множество предметов, в котором их будет a штук. То есть, по смыслу умножения натуральных чисел имеем b·c=a. Таким образом, если a:b=c, то также должно быть справедливо равенство b·c=a. На этом и основано правило проверки результата деления натуральных чисел при помощи умножения.

Рассмотрим решения примеров, в которых осуществляется проверка результата деления с помощью умножения.

Проверка результата деления натуральных чисел делением

Проверить результат деления натуральных чисел можно не только при помощи умножения, но и при помощи деления. Сформулируем правило, позволяющее проводить проверку результата деления делением.

Чтобы проверить, правильно ли найдено частное от деления двух натуральных чисел, нужно делимое разделить на полученное частное. При этом, если получается число, равное делителю, то деление выполнено верно, в противном случае, где-то в вычислениях была допущена ошибка.

Это правило основано на достаточно очевидной связи делимого, делителя и частного. Проследить эту связь нам помогут следующие рассуждения. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, после чего в каждой кучке оказалось c предметов в каждой. Понятно, что если эти a предметов разложить в кучки по c предметов в каждой, то таких кучек получится b штук. Таким образом, если a:b=c, то a:c=b, аналогично, если a:c=b, то a:b=c. Об этом же мы упоминали выше в пункте связь деления с умножением.

Осталось рассмотреть несколько примеров проверки результата деления натуральных чисел при помощи деления.