Числа, действия с числами

Деление целых чисел с остатком, правила, примеры.


В этой статье мы разберем деление целых чисел с остатком. Начнем с общего принципа деления целых чисел с остатком, сформулируем и докажем теорему о делимости целых чисел с остатком, проследим связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Дальше озвучим правила, по которым проводится деление целых чисел с остатком, и рассмотрим применение этих правил при решении примеров. После этого научимся выполнять проверку результата деления целых чисел с остатком.


Общее представление о делении целых чисел с остатком

Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел.

Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.

Мы будем говорить о делении с остатком произвольного целого числа a на целое число b, которое отлично от нуля. Для b=0 деление с остатком не определяют, также как не определяют деление целого числа на нуль без остатка.

По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b (b не равно нулю) являются два целых числа c и d. Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b, а целое число c называется неполным частным (или просто частным, если остаток равен нулю).

Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число, и его величина не превосходит модуля числа b, то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о сравнении трех и большего количества целых чисел).

Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b, то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d).

Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.

Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.

С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.

Так как целые положительные числа являются натуральными числами, то смысл деления с остатком целых положительных чисел должен полностью совпадать со смыслом деления натуральных чисел с остатком.

Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг. Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1).

Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.

К началу страницы

Теорема о делимости целых чисел с остатком


Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a, делитель b, неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d. Для целых чисел a, b, c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком.

Теорема.

Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r, где q и r – некоторые целые числа, причем .

Доказательство.

Сначала докажем возможность представления a=b·q+r.

Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q, что a=b·q. В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0.

Теперь будем считать, что b – целое положительное число. Выберем целое число q таким образом, чтобы произведение b·q не превышало числа a, а произведение b·(q+1) было уже больше, чем a. То есть, возьмем q таким, чтобы выполнялись неравенства b·q<a<b·(q+1). После вычитания из всех частей этого неравенства произведения b·q приходим к неравенствам вида 0<a−b·q<b. Так как значение выражения a−b·q положительно и не превышает b (b – положительное число), то это значение можно принять в качестве r, то есть, r=a−b·q. Откуда получаем нужное представление числа a вида a=b·q+r.

Осталось доказать возможность представления a=b·q+r для отрицательных b.

Так как модуль числа b в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q1 – некоторое целое число, а r – целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q1, получаем нужное нам представление a=b·q+r для отрицательных b.

Переходим к доказательству единственности.

Предположим, что помимо представления a=b·q+r, q и r – целые числа и , существует еще одно представление a=b·q1+r1, где q1 и r1 – некоторые целые числа, причем q1≠q и .

После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q1)+r−r1, которое равносильно равенству r−r1=b·(q1−q). Тогда должно быть справедливо и равенство вида , а в силу свойств модуля числа - и равенство .

Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q и q1 – целые и q≠q1, то , откуда заключаем, что . Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a, кроме a=b·q+r.

К началу страницы

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком

Равенство a=b·c+d позволяет находить неизвестное делимое a, если известны делитель b, неполное частное c и остаток d. Рассмотрим пример.

Пример.

Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21 получилось неполное частное 5 и остаток 12?

Решение.

Нам требуется вычислить делимое a, когда известен делитель b=−21, неполное частное c=5 и остаток d=12. Обратившись к равенству a=b·c+d, получаем a=(−21)·5+12. Соблюдая порядок выполнения действий, сначала проводим умножение целых чисел −21 и 5 по правилу умножения целых чисел с разными знаками, после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками: (−21)·5+12=−105+12=−93.

Ответ:

−93.

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c, c=(a−d):b и d=a−b·c. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a на целое число b, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.

Пример.

Найдите остаток от деления целого числа −19 на целое число 3, если известно, что неполное частное равно −7.

Решение.

Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c. Из условия имеем все необходимые данные a=−19, b=3, c=−7. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=−19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21) мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).

Ответ:

2.

К началу страницы

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел, так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.

С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком, этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.

Пример.

Выполните деление с остатком числа 14 671 на 54.

Решение.

Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:

Неполное частное получилось равным 271, а остаток равен 37.

Ответ:

14 671:54=271 (ост. 37).

К началу страницы

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число.

Неполное частное от деления целого положительного числа a на целое отрицательное число b представляет собой число, противоположное неполному частному от деления модуля числа a на модуль числа b, а остаток от деления a на b равен остатку от деления на .

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом.

Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное:

Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Пример.

Выполните деление с остатком целого положительного числа 17 на целое отрицательное число −5.

Решение.

Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Модуль делимого равен 17, модуль делителя равен 5.

Разделив 17 на 5, получаем неполное частное 3 и остаток 2.

Число, противоположное числу 3, - это −3. Таким образом, искомое неполное частное от деления 17 на −5 равно −3, а остаток равен 2.

Ответ:

17:(−5)=−3 (ост. 2).

Пример.

Разделите 45 на −15.

Решение.

Модули делимого и делителя равны 45 и 15 соответственно. Число 45 делится на 15 без остатка, частное при этом равно 3. Следовательно, целое положительное число 45 делится на целое отрицательное число −15 без остатка, частное при этом равно числу, противоположному 3, то есть, −3. Действительно, по правилу деления целых чисел с разными знаками имеем .

Ответ:

45:(−15)=−3.

К началу страницы

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры

Дадим формулировку правила деления с остатком целого отрицательного числа на целое положительное.

Чтобы получить неполное частное c от деления целого отрицательного числа a на целое положительное число b нужно взять число, противоположное неполному частному от деления модулей исходных чисел и вычесть из него единицу, после чего остаток d вычислить по формуле d=a−b·c.

Из данного правила деления с остатком следует, что неполное частное от деления целого отрицательного на целое положительное число является целым отрицательным числом.

Из озвученного правила вытекает алгоритм деления с остатком целого отрицательного числа a на целое положительное b:

Разберем решение примера, в котором воспользуемся записанным алгоритмом деления с остатком.

Пример.

Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17 на целое положительное число 5.

Решение.

Модуль делимого −17 равен 17, а модуль делителя 5 равен 5.

Разделив 17 на 5, получаем неполное частное 3 и остаток 2.

Число, противоположное 3, есть −3. Вычитаем из −3 единицу: −3−1=−4. Итак, искомое неполное частное равно −4.

Осталось вычислить остаток. В нашем примере a=−17, b=5, c=−4, тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)=−17−(−20)=−17+20=3.

Таким образом, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17 на целое положительное число 5 равно −4, а остаток равен 3.

Ответ:

(−17):5=−4 (ост. 3).

Пример.

Разделите целое отрицательное число −1 404 на целое положительное число 26.

Решение.

Модуль делимого равен 1 404, модуль делителя равен 26.

Разделим 1 404 на 26 столбиком:

Так как модуль делимого разделился на модуль делителя без остатка, то исходные целые числа делятся без остатка, причем искомое частное равно числу, противоположному 54, то есть, −54.

Ответ:

(−1 404):26=−54.

К началу страницы

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Чтобы получить неполное частное c от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное число b, нужно вычислить неполное частное от деления модулей исходных чисел и прибавить к нему единицу, после этого остаток d вычислить по формуле d=a−b·c.

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел является целым положительным числом.

Перепишем озвученное правило в виде алгоритма деления целых отрицательных чисел:

Рассмотрим применение алгоритма деления целых отрицательных чисел при решении примера.

Пример.

Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17 на целое отрицательное число −5.

Решение.

Воспользуемся соответствующим алгоритмом деления с остатком.

Модуль делимого равен 17, модуль делителя равен 5.

Деление 17 на 5 дает неполное частное 3 и остаток 2.

К неполному частному 3 прибавляем единицу: 3+1=4. Следовательно, искомое неполное частное от деления −17 на −5 равно 4.

Осталось вычислить остаток. В этом примере a=−17, b=−5, c=4, тогда d=a−b·c=−17−(−5)·4=−17−(−20)=−17+20=3.

Итак, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17 на целое отрицательное число −5 равно 4, а остаток равен 3.

Ответ:

(−17):(−5)=4 (ост. 3).

К началу страницы

Проверка результата деления целых чисел с остатком

После того, как выполнено деление целых чисел с остатком, полезно выполнить проверку полученного результата. Проверка проводится в два этапа. На первом этапе проверяется, является ли остаток d неотрицательным числом, а также проверяется выполнение условия . Если все условия первого этапа проверки выполнены, то можно приступать ко второму этапу проверки, в противном случае можно утверждать, что при делении с остатком где-то была допущена ошибка. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d. Если это равенство справедливо, то деление с остатком было проведено верно, в противном случае – где-то была допущена ошибка.

Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется проверка результата деления целых чисел с остатком.

Пример.

При делении числа −521 на −12 было получено неполное частное 44 и остаток 7, выполните проверку результата.

Решение.

Во-первых, остаток 7 является положительным числом, и его величина меньше, чем модуль делителя (модуль делителя −12 равен 12). Таким образом, можно переходить ко второму этапу проверки.

В этом примере a=−521, b=−12, c=44, d=7. Вычислим значение выражения b·c+d, имеем b·c+d=−12·44+7=−528+7=−521. Следовательно, равенство a=b·c+d верное.

Результаты деления прошли проверку, то есть, деление с остатком было выполнено верно.

Пример.

Правильно ли было выполнено деление с остатком, если был получен следующий результат (−17):5=−3 (ост. −2)?

Решение.

Первый этап проверки позволяет нам заключить, что деление целых чисел с остатком проведено неправильно, так как получился остаток −2, а остаток не может быть отрицательным числом.

(Отметим, что условие второго этапа проверки оказывается выполненным, но этого не достаточно).

Ответ:

нет.

Пример.

Целое отрицательное число −19 было разделено на целое отрицательное число −3, при этом было получено неполное частное 7 и остаток 1. Выполните проверку результата.

Решение.

Остаток 1 – положительное число, при этом его величина меньше, чем модуль делителя (модуль делителя равен 3). То есть, первый этап проверки пройден успешно. Переходим ко второму этапу.

Вычисляем значение выражения b·c+d при b=−3, c=7, d=1. Имеем b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Таким образом, равенство a=b·c+d – неверное (в нашем примере a=−19).

Следовательно, деление с остатком было проведено неверно.




К началу страницы