Числа, действия с числами Помощь в написании работ

Общее представление о делении натуральных чисел.


В этой статье мы познакомимся с делением. Начнем с общего представления об этом действии, после чего, основываясь на смысле деления, придадим смысл делению натуральных чисел. Дальше определимся с терминологией и обозначениями. В заключении рассмотрим основные задачи, решаемые с помощью деления натуральных чисел.


Деление – общее представление об этом действии.

Деление – это действие, которое связано с разъединением данного множества на некоторое количество множеств. Приведем пример, поясняющий эту мысль.

Достаточно часто можно слышать, что кто-то с кем-то чем-то поделился. Например, мальчик поделился конфетами со своими друзьями. Здесь слово «поделился» означает, что мальчик отдал часть конфет одному другу, часть конфет – другому другу и т.д. Иными словами, мальчик разделил все свои конфеты на несколько частей, после чего одну часть отдал одному другу, другую часть – другому другу и т.д. В этом случае деление имеет смысл последовательного вычитания (смотрите теорию из раздела вычитание – общее представление об этом действии).

Наибольший интерес представляет деление на равные части. При этом исходное множество (которое делят), следует рассматривать в виде объединения некоторого количества одинаковых множеств (на которые делят исходное множество).

К примеру, пусть некоторое количество конфет раздали группе детей так, что у каждого ребенка оказалось одинаковое количество конфет. Тогда можно сказать, что конфеты разделили поровну. В таких случаях деление является действием, обратным к умножению (смотрите раздел теории умножение – общее представление об этом действии).

Дальше в этой статье мы будем говорить только о делении на равные части, которое связано с разъединением данного множества на несколько одинаковых множеств.

Смысл деления натуральных чисел.


На основании озвученного смысла деления придадим смысл делению двух натуральных чисел. При этом будем различать натуральное число, которое делят, и натуральное число, на которое делят.

Нам известно, что натуральные числа связаны с количеством некоторых предметов. Будем считать, что число, которое делят, определяет количество предметов в исходном множестве. Смысл, который несет в себе результат деления двух натуральных чисел, зависит от того, какое значение придать натуральному числу, на которое делят. Возможны два следующих варианта.

Понятно, что в озвученном смысле деление натуральных чисел далеко не всегда возможно. Например, мы не можем разделить 8 яблок на три кучки так, чтобы в каждой из них было одинаковое количество яблок. Мы также не можем разложить 8 яблок в 9, 10, 11 и так далее кучек. (Смысл последних случаев раскрыт в статье общее представление о делении натуральных чисел с остатком.)

Если же деление двух натуральных чисел возможно, то результатом их деления является натуральное число.

Делимое, делитель, частное, знак разделить «:».

Сейчас введем термины и обозначения, которые мы будем использовать при описании деления натуральных чисел.

Для обозначения деления на письме будем использовать знак «разделить» вида «:». Следует отметить, что наряду со знаком «:» используется знак «÷», который также означает деление. Сначала будем записывать натуральное число, которое делим, далее – знак разделить, далее – натуральное число, на которое делим. Например, запись 15:5 (подобные записи называются числовыми выражениями) означает, что 15 делится на 5.

Теперь введем необходимые термины.

Число, которое делим, будем называть делимым. Число, на которое делим, будем называть делителем. Число, которое является результатом деления, будем называть частным. Частным будем также называть числовое выражение, составленные из делимого, делителя и знака разделить между ними. К примеру, в частном 12:4 натуральное число 12 является делимым, а число 4 – делителем.

Фразы «найти частное», «вычислить частное» и т.п. будем понимать так: требуется определить число, которое является результатом деления двух данных натуральных чисел.

Делимое, делитель и результат деления удобно записывать в виде равенства. Допустим, мы выяснили, что натуральное число 6 является результатом деления числа 18 на число 3. Тогда этот результат будем записывать в виде равенства 18:3=6 (о знаке равенства мы говорили в разделе равные натуральные числа). Эту запись можно прочитать как «восемнадцать разделить на три равно шести», так и «частное от деления восемнадцати на три равно шести».

Итак, деление двух натуральных чисел можно представить в виде следующей схемы:
делимое : делитель = частное.

Основные задачи, решаемые с помощью деления.

Очертим круг задач, решение которых основано на делении натуральных чисел.

Первый класс таких задач составляют задачи на нахождение количества множеств, полученных после деления исходного множества, а также задачи на нахождение количества предметов в каждом из множеств, полученных после деления. Примеры таких задач мы уже упоминали, когда выясняли смысл деления натуральных чисел. Приведем еще пару примеров.

Имеется 50 карандашей и их нужно разложить в 5 коробок так, чтобы в каждой коробке оказалось одинаковое количество карандашей. Сколько карандашей нужно положить в каждую коробку? Искомое количество карандашей определяет результат деления натурального числа 50 на натуральное число 5.

К обеду на каждую тарелку нужно положить 2 голубца. Всего было приготовлено 36 голубцов. Сколько нужно тарелок, чтобы разложить все голубцы? Ответом на поставленный вопрос является частное от деления числа 36 на 2.

Ко второму классу задач отнесем задачи, подобные уже разобранным, но связанных не с количествами каких-либо предметов, а с некоторыми величинами (длинами, площадями, объемами, температурой, временем и т.п.). Приведем примеры.

Моторное масло привезли в бочке, емкостью 200 литров. Сколько нужно четырех литровых фляжек, чтобы разлить в них все привезенное масло? Для решения этой задачи нам нужно разделить натуральное число 200 на 4.

Веревку длиной 50 метров нужно разрезать на 25 равных частей. Какой длины будет каждая часть? В этой задаче нам нужно вычислить частное 50:25.

К третьему классу задач относятся задачи, в которых исходное количество или исходное значение какой-либо величины уменьшается в данное число раз. Или требуется выяснить, во сколько раз одна величина больше или меньше другой (во сколько раз количество предметов в одном множестве больше или меньше количества предметов в другом множестве). Рассмотрим примеры.

Сначала организация планировала арендовать помещение под офис площадью 210 квадратных метров, но было принято решение ограничиться площадью в три раза меньшей. Какую площадь будет иметь офис? Для решения этой задачи нам нужно разделить число 210 на 3.

С земельного участка на южном склоне холма собрали 64 арбуза. Оказалось, что с участка на северном склоне собрали в два раза меньше арбузов. Какое количество арбузов собрали с участка на северном склоне. Чтобы ответить на вопрос этой задачи, нам необходимо 64 разделить на 2.

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+