Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Умножение многочлена на одночлен: правило, примеры.


Частным случаем умножения многочлена на многочлен является умножение многочлена на одночлен. В этой статье мы получим правило, позволяющее выполнять это действие, а также на примерах рассмотрим, как с его помощью находится произведение многочлена и одночлена.


Правило умножения многочлена на одночлен

Сначала стоит разобраться, что лежит в основе умножения многочлена на одночлен.

Умножение многочлена на одночлен базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Буквенная запись этого свойства имеет вид (a+b)·c=a·c+b·c, под буквами a, b и c мы подразумевали некоторые числа. Однако, в этой записи выражение (a+b)·c представляет собой ни что иное как произведение многочлена a+b на одночлен c, а правая часть равенства a·c+b·c представляет собой сумму произведений одночленов a и b на одночлен c.

Из приведенных рассуждений можно сделать вывод, что умножение многочлена на одночлен сводится к умножению всех членов многочлена на данный одночлен с последующим сложением произведений. Сформулируем это утверждение в виде правила умножения многочлена на одночлен.

Чтобы выполнить умножение многочлена на одночлен, надо

Дадим пояснения шагов озвученного правила.

При составлении произведения многочлен заключается в скобки, после этого ставиться знак умножения, дальше записывается одночлен, причем, если его запись начитается со знака минус, то он тоже заключается в скобки. Например, произведение многочлена −2·x2+x−1 и одночлена 5·x·y запишется как (−2·x2+x−1)·5·x·y, а произведение многочлена a5·b−3·a·b и одночлена −2·a2 – как (a5·b−3·a·b)·(−2·a2).

Дальше каждый член многочлена нужно умножить на данный одночлен. Так как членами многочлена являются одночлены, то на этом шаге мы выполняем умножение одночленов на одночлен. Пусть, к примеру, на первом шаге мы составили произведение вида (2·x2+x+3)·5·x. На втором шаге мы каждый из членов многочлена 2·x2+x+3 умножаем на одночлен 5·x, имеем 2·x2·5·x=10·x3, x·5·x=5·x2 и 3·5·x=15·x. В итоге получаем одночлены 10·x3, 5·x2 и 15·x.

На последнем этапе нам нужно сложить полученные выше результаты. В рассматриваемом примере это нам даст сумму вида 10·x3+5·x2+15·x.

Обычно все выполняемые действия записывают в виде цепочки равенств. Так запись умножения многочлена 2·x2+x+3 на одночлен 5·x кратко оформляется в следующем виде: (2·x2+x+3)·5·x=10·x3+5·x2+15·x. Чаще в решение включают и промежуточные вычисления второго шага, при этом решение выглядит так: (2·x2+x+3)·5·x=2·x2·5·x+x·5·x+3·5·x=10·x3+5·x2+15·x.

Из разобранных примеров видна важная деталь: в результате умножения многочлена на одночлен получается многочлен. Это утверждение справедливо для любых умножаемых многочлена и одночлена.

Аналогично умножению многочлена на одночлен проводится умножение одночлена на многочлен. При этом данный одночлен умножают на каждый член многочлена и полученные произведения складывают.

Примеры


С теорией разобрались. Теперь можно рассмотреть решения примеров на умножение многочлена и одночлена.

Пример.

Выполните умножение .

Решение.

Нам требуется провести умножение многочлена на одночлен. Произведение уже записано, по правилу умножения из предыдущего пункта нам остается лишь умножить каждый член многочлена на данный одночлен и сложить результаты. В нашем случае вычисления удобно вести, осуществив перевод десятичных дробей в обыкновенные. Имеем:

Ответ:

.

Стоит отметить, что если умножаемые многочлен и одночлен записаны не в стандартном виде, то их перед умножением лучше привести к стандартному виду.

Пример.

Выполните умножение одночлена −0,5·a·b·(−2)·a на многочлен 3+a−2·a2+3·a−2.

Решение.

Очевидно, данный одночлен и данный многочлен записаны не в стандартном виде. Прежде чем выполнить умножение, приведем их к стандартному виду: −0,5·a·b·(−2)·a=(−0,5)·(−2)·(a·a)·b=1·a2·b=a2·b и 3+a−2·a2+3·a−2=(3−2)+(a+3·a)−2·a2=1+4·a−2·a2.

Теперь выполняем умножение одночлена a2·b на многочлен 1+4·a−2·a2:
a2·b·(1+4·a−2·a2)=a2·b·1+a2·b·4·a+a2·b·(−2·a2)=a2·b+4·a3·b−2·a4·b.

Если бы мы не приводили исходные многочлен и одночлен к стандартному виду, то решение оказалось бы длиннее. Более того, нам бы пришлось на последнем этапе выполнять приведение подобных членов:
−0,5·a·b·(−2)·a·(3+a−2·a2+3·a−2)=−0,5·a·b·(−2)·a·3−0,5·a·b·(−2)·a·a−0,5·a·b·(−2)·a·(−2·a2)−0,5·a·b·(−2)·a·3·a−0,5·a·b·(−2)·a·(−2)=3·a2·b+a3·b−2·a4·b+3·a3·b−2·a2·b=a2·b+4·a3·b−2·a4·b.

Ответ:

−0,5·a·b·(−2)·a·(3+a−2·a2+3·a−2)=a2·b+4·a3·b−2·a4·b.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+