Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Умножение многочлена на одночлен: правило, примеры.

Частным случаем умножения многочлена на многочлен является умножение многочлена на одночлен. В этой статье мы получим правило, позволяющее выполнять это действие, а также на примерах рассмотрим, как с его помощью находится произведение многочлена и одночлена.

Правило умножения многочлена на одночлен

Сначала стоит разобраться, что лежит в основе умножения многочлена на одночлен.

Умножение многочлена на одночлен базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Буквенная запись этого свойства имеет вид (a+b)·c=a·c+b·c, под буквами a, b и c мы подразумевали некоторые числа. Однако, в этой записи выражение (a+b)·c представляет собой ни что иное как произведение многочлена a+b на одночлен c, а правая часть равенства a·c+b·c представляет собой сумму произведений одночленов a и b на одночлен c.

Из приведенных рассуждений можно сделать вывод, что умножение многочлена на одночлен сводится к умножению всех членов многочлена на данный одночлен с последующим сложением произведений. Сформулируем это утверждение в виде правила умножения многочлена на одночлен.

Чтобы выполнить умножение многочлена на одночлен, надо

• составить произведение из умножаемых многочлена и одночлена;
• после этого умножить каждый член многочлена на этот одночлен;
• наконец, сложить полученные произведения.

Дадим пояснения шагов озвученного правила.

При составлении произведения многочлен заключается в скобки, после этого ставиться знак умножения, дальше записывается одночлен, причем, если его запись начитается со знака минус, то он тоже заключается в скобки. Например, произведение многочлена −2·x²+x−1 и одночлена 5·x·y запишется как (−2·x²+x−1)·5·x·y, а произведение многочлена a⁵·b−3·a·b и одночлена −2·a² – как (a⁵·b−3·a·b)·(−2·a²).

Дальше каждый член многочлена нужно умножить на данный одночлен. Так как членами многочлена являются одночлены, то на этом шаге мы выполняем умножение одночленов на одночлен. Пусть, к примеру, на первом шаге мы составили произведение вида (2·x²+x+3)·5·x. На втором шаге мы каждый из членов многочлена 2·x²+x+3 умножаем на одночлен 5·x, имеем 2·x²·5·x=10·x³, x·5·x=5·x² и 3·5·x=15·x. В итоге получаем одночлены 10·x³, 5·x² и 15·x.

На последнем этапе нам нужно сложить полученные выше результаты. В рассматриваемом примере это нам даст сумму вида 10·x³+5·x²+15·x.

Обычно все выполняемые действия записывают в виде цепочки равенств. Так запись умножения многочлена 2·x²+x+3 на одночлен 5·x кратко оформляется в следующем виде: (2·x²+x+3)·5·x=10·x³+5·x²+15·x. Чаще в решение включают и промежуточные вычисления второго шага, при этом решение выглядит так: (2·x²+x+3)·5·x=2·x²·5·x+x·5·x+3·5·x=10·x³+5·x²+15·x.

Из разобранных примеров видна важная деталь: в результате умножения многочлена на одночлен получается многочлен. Это утверждение справедливо для любых умножаемых многочлена и одночлена.

Аналогично умножению многочлена на одночлен проводится умножение одночлена на многочлен. При этом данный одночлен умножают на каждый член многочлена и полученные произведения складывают.

Примеры

С теорией разобрались. Теперь можно рассмотреть решения примеров на умножение многочлена и одночлена.

Стоит отметить, что если умножаемые многочлен и одночлен записаны не в стандартном виде, то их перед умножением лучше привести к стандартному виду.