Выражения, преобразование выражений

Умножение многочлена на многочлен: правило, примеры.


Продолжаем изучать действия с многочленами. В этой статье мы разберем умножение многочлена на многочлен. Здесь мы получим правило умножения, после чего рассмотрим его применение при решении примеров на умножение многочленов различного вида.


Правило

Чтобы подойти к правилу умножения многочлена на многочлен, рассмотрим пример. Возьмем два многочлена a+b и c+d и выполним их умножение.

Сначала составим их произведение, для этого заключим каждый из многочленов в скобки, и поставим между ними знак умножения, имеем (a+b)·(c+d). Теперь обозначим (c+d) как x, после этой замены записанное произведение примет вид (a+b)·x. Выполним умножение так, как проводится умножение многочлена на одночлен: (a+b)·x=a·x+b·x. На этом этапе проведем обратную замену x на c+d, что нас приведет к выражению a·(c+d)+b·(c+d), которое с помощью правила умножения одночлена на многочлен преобразуется к виду a·c+a·d+b·c+b·d. Таким образом, умножению исходных многочленов a+b и c+d соответствует равенство (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d.

Из проведенных рассуждений можно сделать два важных вывода. Во-первых, результатом умножения многочлена на многочлен является многочлен. Это утверждение справедливо для любых умножаемых многочленов, а не только для тех, которые мы взяли в примере. Во-вторых, произведение многочленов равно сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого. Отсюда следует, что при умножении многочленов, содержащих m и n членов соответственно, указанная сумма произведений членов будет состоять из m·n слагаемых.

Теперь сделанные выводы нам позволяют сформулировать правило умножения многочленов:
чтобы провести умножение многочлена на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и сложить полученные произведения.

К началу страницы

Примеры умножения многочлена на многочлен


На практике при решении примеров правило умножения многочлена на многочлен, полученное в предыдущем пункте, разбивается на последовательные шаги:

Разберемся с этим на конкретном примере.

Пример.

Выполните умножение многочленов 2−3·x и x2−7·x+1.

Решение.

Записываем произведение: (2−3·x)·(x2−7·x+1).

Теперь составляем сумму произведений каждого члена многочлена 2−3·x на каждый член многочлена x2−7·x+1. Для этого берем первый член первого многочлена, то есть, 2, и умножаем его на каждый член второго многочлена, имеем 2·x2, 2·(−7·x) и 2·1. Теперь берем второй член первого многочлена −3·x и умножаем его на каждый член второго многочлена, имеем −3·x·x2, −3·x·(−7·x) и −3·x·1. Из всех полученных выражений составляем сумму: 2·x2+2·(−7·x)+2·1−3·x·x2−3·x·(−7·x)−3·x·1.

Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно и не забыли про произведение каких-нибудь членов, посчитаем количество членов в полученной сумме. Там их 6. Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов, а 2·3=6.

Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:
2·x2+2·(−7·x)+2·1−3·x·x2−3·x·(−7·x)−3·x·1=2·x2−14·x+2−3·x3+21·x2−3·x=(2·x2+21·x2)+(−14·x−3·x)+2−3·x3=23·x2−17·x+2−3·x3.

Таким образом, умножение исходных многочленов дает многочлен 23·x2−17·x+2−3·x3.

Удобно решение записывать в виде цепочки равенств, которая отражает все выполняемые действия. Для нашего примера краткое решение выглядит так:
(2−3·x)·(x2−7·x+1)=2·x2+2·(−7·x)+2·1−3·x·x2−3·x·(−7·x)−3·x·1=2·x2−14·x+2−3·x3+21·x2−3·x=(2·x2+21·x2)+(−14·x−3·x)+2−3·x3=23·x2−17·x+2−3·x3.

Ответ:

(2−3·x)·(x2−7·x+1)=23·x2−17·x+2−3·x3.

Стоит заметить, что если умножаемые многочлены заданы в виде, отличном от стандартного, то перед умножением их целесообразно привести к стандартному виду. В результате получится тот же результат, что и при умножении многочленов в исходном не стандартном виде, но решение получится намного короче.

Пример.

Выполните умножение многочленов и x·y−1.

Решение.

Многочлен дан не в стандартном виде. Прежде чем выполнять умножение, приведем многочлен его к стандартному виду:

Теперь можно выполнять умножение многочленов:

Ответ:

.

В заключение скажем, что иногда приходится выполнять умножение трех, четырех и большего количества многочленов. Оно сводится к последовательному умножению двух многочленов. То есть, сначала умножаются первые два многочлена, полученный результат умножается на третий многочлен, этот результат умножается на четвертый многочлен и так далее.

Пример.

Найдите произведение трех многочленов x2+x·y−1, x+y и 2·y−3.

Решение.

Запишем их произведение: (x2+x·y−1)·(x+y)·(2·y−3). Сначала умножаем первые два многочлена, имеем (x2+x·y−1)·(x+y)=x2·x+x2·y+x·y·x+x·y·y−1·x−1·y=x3+2·x2·y+x·y2−x−y. Таким образом, (x2+x·y−1)·(x+y)·(2·y−3)=(x3+2·x2·y+x·y2−x−y)·(2·y−3). И вновь выполняем умножение двух многочленов:
(x3+2·x2·y+x·y2−x−y)·(2·y−3)=x3·2·y+x3·(−3)+2·x2·y·2·y+2·x2·y·(−3)+x·y2·2·y+x·y2·(−3)−x·2·y−x·(−3)−y·2·y−y·(−3)=2·x3·y−3·x3+4·x2·y2−6·x2·y+2·x·y3−3·x·y2−2·x·y+3·x−2·y2+3·y.

Ответ:

(x2+x·y−1)·(x+y)·(2·y−3)=2·x3·y−3·x3+4·x2·y2−6·x2·y+2·x·y3−3·x·y2−2·x·y+3·x−2·y2+3·y.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.



К началу страницы