Решите уравнение

Перед нами иррациональное уравнение. Давайте определимся с методом решения иррационального уравнения. Можно пробовать возводить обе части уравнения в квадрат, ведь радикал уже уединен. Но предварительно не помешает ввести новую переменную , что позволит работать с менее громоздкими выражениями. Как такая замена приходит на ум? С ней мы уже знакомы, с ее помощью решаются возвратные уравнения. А уместна ли она здесь? Вполне, ведь исходное уравнение можно переписать в виде , где явно видны выражения x+1/x и x²+1/x², последнее из которых выражается через t как t²−2. Действительно, так как , то , что то же самое , и дальше , наконец, .

Итак, будем решать иррациональное уравнение методом введения новой переменной. Алгоритм метода таков:

• Вводится новая переменная g(x)=t.
• Решается уравнение с новой переменной. Если оно решений не имеет, то делается вывод об отсутствии решений исходного уравнения. Если же оно имеет решения, то переходят к следующему шагу.
• Осуществляется возврат к старой переменной. Для чего составляется или одно уравнение (в случае одного корня), или совокупность уравнений (с случае конечного числа корней), или совокупность уравнений, неравенств, двойных неравенств (в случае бесконечного числа корней).
• Решается составленное уравнение или совокупность, что дает искомое решение исходного уравнения.

Осуществим задуманное.

Исходное уравнение преобразовываем к виду , принимаем , при этом . Это позволяет записать уравнение с новой переменной: , которое после приведения подобных слагаемых принимает вид .

Полученное иррациональное уравнение решаем методом возведения обеих частей уравнения в квадрат:

Еще раз возводим в квадрат обе части уравнения:

Получили квадратное уравнение, решаем его через четвертую часть дискриминанта D₁, так как коэффициент при t - четный:

Проверяем, нет ли среди найденных корней посторонних корней, для чего подставляем найденные значения в уравнение и смотрим, обращается ли оно в верное числовое равенство:

Итак, уравнение с новой переменной решено, оно имеет два корня t₁=−2 и t₂=6.

Возвращаемся к старой переменной. Мы принимали и нашли t₁=−2 и t₂=6. Поэтому имеем совокупность двух уравнений .

Остается решить совокупность. Для этого решим отдельно каждое ее уравнение и объединим полученные результаты. По очереди решаем рациональные уравнения и :

Таким образом, совокупность имеет три корня: −1, , . Они же являются корнями исходного уравнения. Можно выполнить проверку для контроля, но в данном случае она не обязательна.

−1, , .