Методы решения иррациональных уравнений

Перечислим все основные методы решения иррациональных уравнений:

К началу страницы

Для решения заданного иррационального уравнения обычно подходят далеко не все перечисленные выше методы, а один-два из них. Естественно, нужно уметь выбрать нужный метод решения. Справиться в этой задачей позволяют следующие рекомендации по выбору метода решения иррационального уравнения:

• Первая рекомендация относится к иррациональным уравнениям, которые имеют вид , где f(x) – некоторое выражение с переменной x, а C – некоторое число. Для их решения удобно применять метод решения уравнений по определению корня. Например, по определению корня можно решить иррациональные уравнения , и подобные им.
• Если решаемое иррациональное уравнение
  • имеет вид , например, , и др.
  • представляет собой равенство корней с одинаковыми показателями , например,
  • является равенством двух корней с разными показателями корня , к примеру,
  • содержит в записи два корня, таким, в частности, является иррациональное уравнение
  • имеет в записи три корня, как в случае иррационального уравнения
  • содержит в записи корень под корнем, например,
  то рекомендуем пробовать провести решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Решения приведенных в пример иррациональных уравнений приведены в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
• Когда иррациональное уравнение имеет вид «дробь равна нулю», как в случае , то следует действовать в согласии с методом решения уравнений «дробь равна нулю». Все нюансы использования указанного метода при решении иррациональных уравнений разобраны в статье решение иррациональных уравнений «дробь равна нулю».
• Если в левой части уравнения находится произведение нескольких выражений, а в правой – нуль, например, таким является уравнение , то нужно решать уравнение методом разложения на множители. Примеры решения иррациональных уравнений указанным методом можно посмотреть в материале решение иррациональных уравнений методом разложения на множители.
• Следующая рекомендация касается иррациональных уравнений, в которых под корнем n-й степени находится n-я степень некоторого выражения. Такими, например, являются иррациональные уравнения . В подобных случаях следует решать иррациональные уравнения методом перехода к модулям.
• Когда под корнем четной степени 2·k находится степень с показателем 2·k некоторого выражения, то следует применить метод перехода к модулям. Например, этим методом можно решить иррациональные уравнения и .
• Если мы имеем дело с иррациональным уравнением f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)), то есть, если в уравнении переменная находится только в составе одинаковых выражений g(x), то целесообразно обратиться к методу введения новой переменной. Этим методом можно решить, например, иррациональные уравнения ,
  
  и .
  Метод введения новой переменной применяется для решения иррациональных уравнений и в следующих случаях:
  • Когда переменная находится только в составе корней кратных степеней, как, например, в уравнении .
  • Когда переменная в уравнении находится под корнем и в выражении, совпадающем с подкоренным. Например, таким является уравнение .
  • Когда переменная находится только в составе взаимно обратных дробей. Это касается уравнений, подобных уравнению .
  • Когда в уравнении присутствуют выражения x+1/x, x²+1/x². Например, .
  • Когда в уравнении присутствуют корни не кратных степеней из одних и тех же выражений. Например, .
  Примеры решения иррациональных уравнений смотрите в статье решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной.
• Если просматривается возможность привести иррациональное уравнение к одному из перечисленных выше видов при помощи преобразований уравнения, то следует провести эти преобразования. То есть, сначала следует действовать по методу решения уравнений через преобразования, а уже дальше применять метод, подходящий для решения полученного иррационального уравнения. Множество примеров преобразования иррациональных уравнений содержатся в материале решение иррациональных уравнений через преобразования.
  • В частности, если преобразования приводят исходное иррациональное уравнение к уравнению, сводящемуся к числовому равенству, например, , то следует воспользоваться методом решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам. Примеры решения иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам, смотрите здесь.
• В остальных случаях иррациональные уравнения решаются, скорее всего, либо функционально-графическим методом, либо через ОДЗ, либо каким-нибудь специфическим методом.
  • Так если функции, отвечающие частям решаемого иррационального уравнения, довольно простые в плане построения их графиков, и не видно других более простых методов решения, то можно пробовать получить решение иррационального уравнения графическим методом. Например, графически можно решить уравнения , и .
  • Если очевидно или легко устанавливается возрастание функции, отвечающей одной части решаемого иррационального уравнения, и убывание функции, отвечающей другой части уравнения, при этом очевиден или легко подбирается корень уравнения, а также не видно других более простых методов решения, то можно пробовать решить иррациональное уравнение через возрастание/убывание. Этот метод позволяет решить, например, уравнение .
  • Когда легко оценить значения выражений, отвечающих частям решаемого иррационального уравнения, то можно пробовать получить решение иррационального уравнения методом оценки. Например, методом оценки с успехом решаются уравнения
    ,
    ,
    ,
    ,
    
    
• В заключение скажем про метод решения иррациональных уравнений через ОДЗ. На основании внешнего вида заданного иррационального уравнения невозможно сказать, можно его решить через ОДЗ или нет. Это становится понятно только после нахождения ОДЗ. Как известно, метод применим тогда, когда ОДЗ оказывается либо пустым множеством, либо конечным набором чисел. Например, иррациональные уравнения и имеют такую область допустимых значений, значит, могут быть решены через ОДЗ. Их решения приведены в статье решение иррациональных уравнений через ОДЗ.

Итак, мы дали все основные рекомендации по выбору метода решения иррационального уравнения. Если они помогли определиться с методом решения, то можно переходить по приведенной ссылке для знакомства с соответствующим методом решения иррационального уравнения. В противном случае придется подробно разбираться со всеми методами. Освоив их, Вы почти наверняка справитесь с решением любого иррационального уравнения.

Ну что, начинаем разбирать методы по порядку. Первый на очереди метод решения иррациональных уравнений по определению корня.