Методы решения иррациональных уравнений

Решение иррационального уравнения начинается с выбора метода решения. В этой статье мы будем разбираться, как осуществляется этот выбор. Естественно, нужно знать, из чего выбирать. Поэтому, сначала мы перечислим все методы решения иррациональных уравнений. А после этого дадим рекомендации по выбору метода, позволяющие из всего множества методов выбрать один-два, которые почти наверняка позволят получить решение заданного уравнения. Здесь мы дадим ссылки на материалы с подробным описанием, как каждый метод используется при решении именно иррациональных уравнений.

Список

Методов решения иррациональных уравнений довольно много. Перечислим их все. Вот список:

  • Метод, базирующийся на определении корня.
  • Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень.
  • Метод введения новой переменной.
  • Метод разложения на множители.
  • Функционально-графический метод.
    • Графический метод.
    • Метод, базирующийся на возрастании и убывании функций, отвечающих частям уравнения.
    • Метод оценки.
  • Метод решения с опорой на ОДЗ.
  • Метод освобождения от внешней функции.
  • Метод решения иррациональных уравнений «дробь равна нулю».
  • Метод решения иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам.
  • Метод перехода к равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям.
  • Метод перехода к модулям.
  • Специфические методы.

К началу страницы

Рекомендации по выбору метода

Для решения заданного иррационального уравнения обычно подходят далеко не все перечисленные выше методы, а один-два из них. Естественно, нужно уметь выбрать нужный метод решения. Справиться в этой задачей позволяют следующие рекомендации:

  • Если уравнение имеет вид , где f(x) – некоторое выражение с переменной x, а C – некоторое число, то его целесообразно решать по определению корня. Например, по определению корня можно решить иррациональные уравнения , и подобные им.
  • Провести решение уравнений часто получается методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Например, при помощи указанного метода можно решить уравнения , и другие.
  • Иррациональные уравнения , например, , обычно решаются методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для их решения также можно воспользоваться методом освобождения от внешней функции.
  • Иррациональные уравнения с двумя корнями чуть более сложного вида, наподобие , также обычно решаются методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом в процессе решения к этому методу приходится прибегать дважды.
  • Метод возведения обеих частей в одну и ту же степень также подходит и для решения иррациональных уравнений , корни в которых имеют различные показатели. Например, с его помощью может быть решено уравнение .
  • Если в уравнении корень находится под корнем, как, например, в уравнении , то опять же часто выручает метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
  • В уравнении присутствуют три радикала? И здесь часто срабатывает метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Например, с его помощью может быть решено иррациональное уравнение .
  • Иррациональное уравнение имеет вид «дробь равна нулю», как в случае ? В подобных ситуациях следует действовать в согласии с методом решения иррациональных уравнений «дробь равна нулю».
  • Если в левой части уравнения находится произведение нескольких выражений, а в правой – нуль, например, таким является уравнение , то естественно провести решение иррационального уравнения методом разложения на множители.
  • Когда под корнем четной степени 2·n находится степень с показателем 2·n некоторого выражения, то следует применить метод перехода к модулям. Например, этим методом можно решить уравнения , .
  • Если мы имеем дело с уравнением f(g(x))=0 или f1(g(x))=f2(g(x)), то есть, если в уравнении переменная находится только в составе одинаковых выражений g(x), то целесообразно обратиться к методу введения новой переменной для решения иррационального уравнения. Этим методом решаются, например, уравнения , и .
  • Метод введения новой переменной для решения иррациональных уравнений применяется в следующих случаях:
    • Когда переменная находится только в составе корней кратных степеней, как, например, в уравнении .
    • Когда переменная в уравнении находится под корнем и в выражении, совпадающем с подкоренным. Например, таким является уравнение .
    • Когда переменная находится только в составе взаимно обратных дробей. Это касается уравнений, подобных уравнению .
    • Когда в уравнении присутствуют выражения x+1/x, x2+1/x2. Например, .
    • Когда в уравнении присутствуют корни не кратных степеней из одних и тех же выражений. Например, .

Если просматривается возможность привести уравнение к одному из перечисленных выше видов при помощи преобразований уравнения, то следует провести эти преобразования, то есть, начинать решение иррационального уравнения методом перехода к равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям, а дальше прибегать к одному из перечисленных выше методов. В частности, если преобразования приводят исходное уравнение к уравнению, сводящемуся к числовому равенству, например, , то следует воспользоваться методом решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам.

В остальных случаях иррациональные уравнения решаются, скорее всего, либо функционально-графическим методом, либо через ОДЗ, либо каким-нибудь специфическим методом.

  • Так если легко построить графики функций, отвечающих частям уравнения, и не видно других более простых методов решения, то можно пробовать получить решение иррационального уравнения графическим методом. Например, графически можно решить уравнения , и .
  • Если очевидно или легко устанавливается возрастание функции, отвечающей одной части уравнения, и убывание функции, отвечающей другой части уравнения, при этом очевиден или легко подбирается корень уравнения, а также не видно других более простых методов решения, то можно пробовать решить иррациональное уравнение через возрастание/убывание. Этот метод позволяет решить, например, уравнение .
  • Когда легко оценить значения выражений, отвечающих частям решаемого иррационального уравнения, то можно пробовать получить решение иррационального уравнения методом оценки. Например, методом оценки с успехом решаются уравнения , , , , и
    .

В заключение скажем про метод решения иррациональных уравнений через ОДЗ. Он может быть применен, когда очевидно, что ОДЗ есть пустое множество. В других случаях по взгляду на уравнение практически невозможно понять, что оно может быть решено через ОДЗ. Это становится понятно только после нахождения ОДЗ, когда ОДЗ оказывается либо пустым множеством, либо конечным набором чисел. Например, через ОДЗ решаются иррациональные уравнения и .

Итак, мы перечислили все основные методы решения иррациональных уравнений и дали рекомендации по выбору метода решения. Если рекомендации помогли определиться с методом решения, то можно переходить по приведенной ссылке для знакомства с применением соответствующего метода к решению иррационального уравнения. В противном случае следует подробно разобрать все методы решения иррациональных уравнений. Освоив их, Вы почти наверняка справитесь с решением любого иррационального уравнения.

Ну что, начинаем разбирать методы по порядку. Первый на очереди метод решения иррациональных уравнений по определению корня.

К началу страницы