Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.


Среди обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка существуют такие, в которых возможно переменные x и y разнести по разные стороны знака равенства. В уравнениях вида формула переменные уже разделены, а в ОДУ формула переменные разделяются посредством преобразований. Кроме того, некоторые дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными после введения новых переменных.

В этой статье сначала рассмотрим метод решения уравнений с разделенными переменными, далее перейдем к уравнениям с разделяющимися переменными и закончим дифференциальными уравнениями, сводящимися к уравнениям с разделяющимися переменными. Для пояснения теории будем подробно разбирать решения характерных примеров и задач.

При необходимости обращайтесь к разделу основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.


Дифференциальные уравнения с разделенными переменными формула.

Дифференциальные уравнения формула называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.

Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство формула. Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными формула.

Решение.

Проинтегрируем обе части равенства: формула. По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных:
формула
где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Мы пришли к неявно заданной функции формула, которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. Итак, формула, где формула. То есть, функция формула является общим решением исходного дифференциального уравнения.

Замечание.

Ответ можно записать в любом из трех видов формула или формула, или формула. Но имейте в виду, что многие преподаватели наряду с Вашим умением решать дифференциальные уравнения хотят также проверить умение брать интегралы и преобразовывать выражения. Так что, если есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно заданной функции Ф(x, y) = 0.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными формула.

Прежде чем продолжить, напомним, что формула когда y является функцией аргумента x.

В дифференциальных уравнениях формула или формула переменные могут быть разделены, проведением преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными запишется как формула.

При разделении переменных следует быть очень внимательными, чтобы проводимые преобразования были эквивалентными (чтобы f2(y) и g1(x) не обращались в ноль на интервале интегрирования). В противном случае можно потерять некоторые решения. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Найти все решения дифференциального уравнения формула.

Решение.

Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y:
формула

Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество формула, поэтому, y = 0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными формула:
формула

В преобразованиях мы заменили C2 - C1 на С.

Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции формула. На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства:
формула

Ответ:

формула.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными формула, a ≠ 0, b ≠ 0.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида формула, a ≠ 0, b ≠ 0 приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными введением новой переменной z = ax + by, где z представляет собой функцию аргумента x.

В этом случае
формула

После подстановки в исходное уравнение и небольших преобразований приходим к уравнению с разделенными переменными
формула

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения формула и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e.

Решение.

Пусть z = 2x + y, тогда
формула

Подставим полученные результаты в исходное уравнение и преобразуем его к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:
формула

Разделяем переменные и интегрируем обе части равенства формула. Интеграл в левой части найдем методом интегрирования по частям, а интеграл в правой части является табличным:
формула

Следовательно, формула. Если принять C = C2 - C1 и сделать обратную замену z = 2x + y, то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции: формула.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e. Для этого подставляем x = 0 и y(0) = e в общее решение дифференциального уравнения и находим значение константы С:
формула

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее условию y(0) = e, имеет вид формула.

Замечание.

В условии задачи ничего не сказано об интервале, на котором требуется найти общее решение дифференциального уравнения. В таких случаях решение проводится для всех значений аргумента x, при которых исходное дифференциальное уравнение и его решения имеют смысл. Для данного примера дифференциальное уравнение имеет смысл при формула.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными формула или формула.


Дифференциальные уравнения вида формула или формула могут быть сведены к ОДУ с разделяющимися переменными, если произвести замену формула или формула, где z – функция аргумента x.

Если формула, то формула и по правилу дифференцирвания дроби формула. В этом случае уравнения примут вид формула или формула.

Если принять формула, то y = x ⋅ z и по правилу производной произведения формула. В этому случае уравнения сведутся к формула или формула.

Пример.

Решите дифференциальное уравнение формула.

Решение.

Примем формула, тогда формула. Подставим в исходное уравнение:
формула

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его.
формула

После обратной замены получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции формула.

Следует остановиться на дифференциальных уравнениях вида
формула.

Делением числителя и знаменателя правой части на yn или xn такие дифференциальные уравнения приводятся к виду формула или формула.

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения формула.

Решение.

В этом примере x и y отличны от нуля. Разделим и числитель и знаменатель правой части равенства на x2:
формула

Введем новую переменную формула, тогда формула.

Подставляем в исходное уравнение
формула

Получили дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Решаем его
формула

В этом примере можно получить решение и в явном виде. Для этого примем формула и воспользуемся свойствами логарифма:
формула

Осталось сделать обратную замену y = x ⋅ z и записать ответ формула. Это общее решение дифференциального уравнения.

Замечание: это уравнение (как и другие подобного типа) можно решить и используя замену формула.

Опишем решение для этой замены.

Разделим и числитель и знаменатель на y2:
формула

Пусть формула, тогда формула.

Подставляем все в исходное уравнение и получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными формула. После разделения переменных приходим к равенству формула. Интегрируем его формула

Возьмем сначала интеграл формула. После разложения на простейшие дроби подынтегральной функции интеграл примет вид формула. Теперь проведем интегрирование простейших дробей:
формула

Теперь найдем интеграл формула:
формула

В итоге имеем формула или формула, где формула.

После проведения обратной замены формула и некоторых преобразований придем к тому же результату формула.

Сделаем вывод. В этом примере при замене формула решение оказалось более трудоемким, чем при замене формула. Для себя можно отметить, что если решение дифференциального уравнения формула или формула оказывается сложным при выбранной замене формула, то можно попробовать ввести другую переменную, то есть формула.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными формула

Дифференциальные уравнения формула можно свести к уравнениям формула или формула, следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x0 , y0) - решение системы двух линейных однородных уравнений формула и вводятся новые переменные формула. После такой замены уравнение примет вид формула.

Разберемся на примере.

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения формула.

Решение.

Составляем и решаем систему линейных уравнений
формула

Делаем замену переменных
формула

После подстановки в исходное уравнение получаем формула. После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем формула.

Вводим новую переменную формула, тогда
формула

Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену формула:
формула

Это есть общее решение дифференциального уравнения.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+